Ly thuyet hinh cau dien tich mat cau va the tich hinh cau moi 2023 bai tap hay chi tiet toan 9

BÀI TẬP HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU I Phương pháp giải 1 Hình cầu Khi quay một hình tròn quanh tâm O, bán kính R một vòng quanh đường sinh AB cố định thì được một hình cầu 2 Cắt[.]

BÀI TẬP HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU

I Phương pháp giải

1 Hình cầu:

Khi quay một hình tròn quanh tâm O, bán

kính R một vòng quanh đường sinh AB cố

định thì được một hình cầu

2 Cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì

phần mặt phẳng nằm trong hình đó (mặt

cắt) là một hình nón

3 Diện tích mặt cầu:

Tính diện tích mặt cầu bằng công thức:

4 hay

S R S d

(R là bán kính, d là đường kính)

4 Thể tích hình cầu:

Tính thể tích hình cầu bằng công thức

3

4 3

(V là thể tích R là bán kính)

II Bài tập

Bài 1 (30/124/SGK T2)

Nếu thể tích của một hình cầu là 1131 3

7cm thì trong các kết quả sau kết quả nào là bán

kính của nó (Lấy 22

7

  )?

(A) 2cm;

(B) 3cm;

(C) 5 cm;

(D) 6 cm;

(E) Một kết quả khác

Giải

Muốn tính được bán kính hình cầu khi biết thể tích của hình cầu đó, ta dựa vào công thức tính thể tích hình cầu:

 

1 113

3 4.3,14 4.3,4

3

V

V   R R  R   R cm

Vậy đáp án (B) là đáp án đúng

Bài 2 (31/124/SGK T2)

Hãy điền vào ô trống trong bảng sau những số thích hợp:

Bán kính hình

cầu 0,3 mm

6,21

dm

0,283

m 100 km 6 hm 50 dam Diện tích mặt

cầu Thể tích hình

cầu

Giải

Bán kính hình

Diện tích mặt

cầu 11,13 mm

2 484,37 dm 2 1 m 2 125600 km 2 452,16 hm 2 31400 dam 2

Thể tích hình

3 1002,63 dm 3 0,09 m 3 4166666 km 3 904,32 hm 3 523333 dam 3

Bài 3 (32/125/SGK T2)

Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r

Chiều cao 2π (đơn vị là cm)

Người ta khoét rỗng thành hai nửa hình cầu như hình 108

Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả

ngoài lẫn trong)

Giải

Theo đề bài phần ta phải tính diện tích gồm diện tích xung quanh của khối gỗ hình trụ bán kính đường tròn đáy là r (cm) Chiều cao là 2r (cm) và diện tích 2 nửa mặt cầu bán kính r (cm)

Diện tích xung quanh của khối gỗ hình trụ là:

 

2 2

2  r h 2 2 r r 4 r cm

Diện tích hai nửa mặt cầu là: 4 r2  4 r2  8 r cm2  2

Bài 4 (33/125/SGK T2)

Dụng cụ thể thao:

Các loại bóng trong bảng sau có dạng hình cầu Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau các

số thích hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Loại bóng Quả bóng

gôn

Quả khúc côn cầu Quả ten-nít

Quả bóng bàn Quả bi-a

Độ dài

đường tròn

lớn

23 cm

Diện tích

Thể tích

Giải

Muốn giải được bài này ta phải vận dụng các công thức:

* Công thức tính độ dài đường tròn: C 2 R hay C d

* Công thức tính diện tích mặt cầu S 4 R2 hay S  d2

* Công thức tính thể tích hình cầu bán kính R: 4 3

3

V  R

Loại bóng Quả bóng

gôn

Quả khúc côn cầu Quả ten-nít

Quả bóng bàn Quả bi-a Đường kính 42,7 mm 7,32 cm 6,5 cm 40 mm 61 mm

Độ dài

đường tròn

lớn

0,34,08 mm 23 cm 21,41 cm 125,6 mm 191,54 mm

Diện tích 5725 mm2 168,25 cm2 132,66 cm2 5024 mm2 11683,9

mm2

Thể tích 40743 mm3 205,26 cm3 143,72 cm3 33493 mm3 118786,7

mm3

Bài 5 (34/125/SGK T2)

Khinh khí cầu của nhà Mông-gô-ti-ê

Ngày 4/6/1783 anh em nhà Mông-gô-ti-ê

(người Pháp) phát minh ra khí cầu dùng

không khí nóng Coi khinh khí cầu là hình

cầu có đường kính là 11m Hãy tính diện tích

mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến

chữ số thập phân thứ hai)

Giải

Khinh khí cầu có bán kính là 11 : 2 5,5 m  

Diện tích của mặt khinh khí cầu là:  2  2

4.3,14 5,5 379,94 m

Bài 6 (35/126/SGK T2)

Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa

hình cầu và một hình trụ (hình 110)

Hãy tính thể tích bồn chứa theo các

kích thước trên hình vẽ

Giải

Muốn tính được thể tích bồn xăng ta phải tính được diện tích đáy

Muốn tính được diện tích đáy của bồn phải tính được bán kính của mặt đáy

Bồn xăng hình trụ có bán kính mặt đáy là 1,80 : 2 0,9 m  

Chiều cao của bồn xăng hình trụ là 3,62m

Ta sử dụng công thức tính thể tích hình trụ: V Sh  R h2

Thể tích bồn xăng là: 0,9 3,62 2 4 0,9 3 12,26  3

3

Bài 7 (36/126/SGK T2)

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị đo là cm)

a) Tìm hệ thức giữa x và h khi AA’ có độ dài không đổi và bằng 2a

b) Với điều kiện ở câu a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và

a

Giải

a) Theo đề bài bán kính hình cầu là x thì AA  h 2x 2a h  2x

Đây là hệ thức giữa x và h khi AA’ có độ dài không đổi

b) Với 2a h  2x h 2a x 

Diện tích phần hình trụ là: S 2 r h

Diện tích hai nửa mặt cầu là: S 2 r h

Diện tích hai nửa mặt cầu là 4 2 41 2

2

Diện tích bề mặt chi tiết máy là:

2

2 r h 4 r  2 r h 2r  2 rx a.2  4 rx a

Gọi thể tích phần hình trụ của chi tiết máy là V1 ta có:

V  r h x a x

Gọi thể tích hai nửa hình cầu của chi tiết máy là V2 ta

có:

2

4 .21 4

V  r  x

Thể tích chi tiết máy là:

  2   2  

Bài 8 (37/126/SGK T2)

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R; Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường trịn tại A và B Lấy trên tia Ax điểm M, rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N

a) Chứng minh ∆MIN ∽ ∆APB

b) Chứng minh hệ thức AM BN R  2

c) Tính tỉ số MON

APB

S

R

AM

d) Tính thể tích của hình do nửa đường trịn APB quay quanh AB sinh ra

Giải

GT

Nửa đường tròn (O; R) đường kính AB

; ,

Ax AB By AB

M Ax MP OP

MP By N

KL

2

*

*

2

* Thể tích của hình cầu.

MON

APB

AB BN R

S

s

R Khi AM







Chứng minh

a) Chứng minh ∆MON ∽ ∆APB

Muốn chứng minh được ∆MON ∽ ∆APB ta phải chứng minh được Mµ1  µA1 và µ µ1

1

N B

Muốn chứng minh được Nµ1 Bµ1 ta phải chứng minh tứ giác BOPN nội tiếp đường trịn

Tứ giác AMPO cĩ:

·

·

90 (Theo định lí: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm)

90 (Theo định lí về tiếp tuyến)

OAM

OPM





· · 90 90 180

OAM OPM

        Mà OAM· và OPM· là hai gĩc đối diện của tứ giác

AMPO nên AMPO nội tiếp được đường trịn đường kính MO (Theo định lí: Nếu một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 180  thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn)

µ µ1 1

M A

  (Hai gĩc nội tiếp cùng chắn OP» ) (1)

Tứ giác BOPN cĩ:

·

·

90 (vì By là tiếp tuyến của (O)

90 (Định lí về tiếp tuyến)

OBN OPN





· · 90 90 180

OBN OPN

        mà OBN· và OPN· hai gĩc đối diện của tứ giác BOPN nên BOPN nội tiếp được đường trịn đường kính ON (theo định lí đảo của định lí về tứ giác nội tiếp)

µ µ1

1

N B

  (Hai gĩc nội tiếp cùng chắn OP» ) (2)

∆MON và ∆APB cĩ:

1 1

1

1

(Theo (1)

(Theo (2)



  ∆MON ∽ ∆APB (g-g)

· 90

APB  (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

∆MON ∽ ∆APB (chứng minh trên)  ·MON APB ·  90  (Hai gĩc tương ứng của hai tam giác đồng dạng)

Do đĩ ∆MON và ∆APB là hai tam giác vuơng đồng dạng

b) Chứng minh AM BN R  2

Ta cĩ MN OP (Định lí: Tiếp tuyến vuơng gĩc với bán kính đi qua tiếp điểm) = OP là đường cao ứng với cạnh huyền MN của ∆MON vuơng tại O Từ đĩ ta cĩ:

giác vuơng bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền)

Mà OP R và PM AM (định lí: Hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đĩ cách đều hai tiếp điểm) và PN BN (Định lí: Hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm) Do đĩ AM BN R  2

c) Tính tỷ số diện tích của ∆MON và ∆APB

Với giả thiết

2

R

AM  và kết quả của câu b) AM BN R  2 BN  2R

5 2

MN MP PN AM BN      R

Lại cĩ ∆MON ∽ ∆APB (chứng minh trên) nên:

2 2

MON

APB

Vậy tỉ số diện tích của ∆MON và ∆APB là: 25

16

d) Tính thể tích:

Nửa hình tròn APB đường kính AB 2R quay quanh AB tạo ra hình cầu có bán kính là R nên có thể là: 4 3

3

caàu

V   R