Ly thuyet bai tap ve goc noi tiep hinh hoc toan 9 day du co loi giai

BÀI TẬP GÓC NỘI TIẾP I Phương pháp giải 1 Định nghĩa góc nội tiếp Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó Cung nằm giữa hai cạnh của góc được gọ[.]

BÀI TẬP GÓC NỘI TIẾP

I Phương pháp giải

1.Định nghĩa góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó Cung nằm giữa hai cạnh của góc được gọi là cung bị chắn

Một góc muốn được công nhận là góc nội tiếp đường tròn thì góc đó phải đạt được hai yêu cầu

*Yêu cầu 1 : Đỉnh của góc phải nằm trên đường tròn

*Yêu cầu 2: Hai cạnh của góc phải chứa hai dây cung của đường tròn đó

Ví dụ ở các hình vẽ sau :

Các góc ở các hình a, b, c là các góc nội tiếp

Các góc ở các hình từ 1 đến 6 không phải là các góc nội tiếp và không đạt đủ hai yêu cầu của góc nội tiếp đường tròn

2.Định lí

Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

3.Hệ quả :Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau c) Các góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

II Bài tập

Bài 1: (15/75/SGK T2)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai ?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

b) Trong một đường tròn các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung

Giải

a) Khẳng định ở câu a) là khẳng định đúng (theo hệ quả 2)

b) Khẳng định ở câu b) là khẳng định sai.Ví dụ : Tam giác cân nội tiếp đường tròn có hai góc nội tiếp bằng nhau nhưng chắn hai cung khác nhau (hai cung này có số đo bằng nhau)

Bài 2: (16/75/SGK T2)

Xem hình 19 ( Hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C) a) Biết MAN   30 Tính PCQ

b) Nếu PCQ 136  thì MAN có số đo là bao nhiêu ?

Giải

a) Với đường tròn tâm B thì MAN là

góc nội tiếp chắn MNcòn góc MBN

là góc ở tâm cũng chắn MN và theo

hệ quả c) thì góc nội tiếp có số đo

bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một

cung Từ đó ta có 1

2

MAN  MBN( vì

cùng chắn cung MN)

MBN MAN

Vậy MBN có số đo là 60 

b) Tính MAN khi PCQ 136 

Với đường tròn tâm C thì PBQ là góc nội tiếp chắn PQ còn PCQ là góc ở tâm cũng chắn cung PQ

Theo hệ quả c) thì 1 1.136 68

PBQ PCQ   

Vậy khi PCQ 136  thì 68 1 1.68 34

MBN   MAN  MBN    

Bài 3: (17/75/SGK T2)

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng Êke thì phải làm thế nào ?

Giải

Đặt đỉnh góc vuông của Êke

nằm trên đường tròn, kẻ

theo hai cạnh góc vuông hai

đường thẳng cho cắt đường

tròn tại B và C

Nối B với C được dây BC

Lại đặt đỉnh Êke ở vị trí

khác, để đỉnh Êke nằm trên

đường tròn

Kẻ hai đường thẳng theo hai

cạnh góc vuông của Êke cho

cắt đường tròn tại hai điểm K

và I Nối K với I BC và KI

cắt nhau ở đâu đó là tâm đường tròn phải tìm (vì theo hệ quả 4: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông)

Bài 4: (18/75/SGK T2)

Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ Bóng được đặt ở ba vị trí

A, B, C trên một cung tròn như hình 20 Hãy so sánh các góc PAO PBQ PCQ; ;

Giải

Các góc PAQ, PBQ, PCQ là các

góc nội tiếp cùng chắn cung PQ

của một đường tròn nên chúng

bằng nhau (Theo hệ quả 2: các

góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau)

Bài 5: (19/75/SGK T2)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn SA

và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N Gọi H là giao điểm của BM và AN Chứng minh rằng SH AB

Giải

Chứng minh

Muốn chứng minh SH AB ta phải

chứng minh SH là đường cao ứng

với cạnh AB của ASB

Muốn chứng minh được SH AB ta

phải chứng minh H chính là trực

tâm của ASB

Muốn chứng minh được H là trực tâm của ASB ta chứng minh H là

giao điểm của các đường cao của ASB

Muốn chứng minh AN và BM là các đường cao của ASB ta dựa vào giả thiết : “AB là đường kính” vì có đường kính sẽ có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn sẽ có góc vuông, có góc vuông sẽ có đường vuông góc

AMB (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 90 ) BM SA hay BM là đường cao ứng với cạnh SA của ASB

Chứng minh tương tự cũng được AN là đường cao ứng với cạnh SB của ASB AN và

BM là hai đường cao giao nhau tại H nên H là trực tâm của ASBSH cũng là đường cao của tam giác này Hay SHAB

Bài 6: (20/76/SGK T2)

Cho hai đường tròn (O) và  O cắt nhau tại A và B Vẽ các đường kính AC và AD của hai dường tròn Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng

Giải

Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta sử dụng các kiến thức cơ bản

*Định nghĩa góc bẹt Góc bẹt là góc có hai cạnh làm thành một đường thẳng

*Định nghĩa hai góc đối đỉnh :

*Tiên đề Oclit

Qua một điểm ở ngoài một đường

thẳng chỉ có một đường thẳng song song

với đường thẳng đã cho v.v…

Ta dùng kiến thức cơ bản nào để chứng minh C, B, D thẳng hàng ?

Với giả thiết : “Hai đường tròn (O) và  O cắt nhau tại A và B”, “Đường kính AC và đường kính AD” với giả thiết đường kính ta có các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Có hai đường kính và có các giao điểm của hai đường tròn ta có hai góc nội tiếp chắn hai nửa đường tròn dĩ nhiên có hai góc vuông, nếu cộng hai góc vuông kề nhau mà mỗi góc bằng 90  sẽ được bằng 180 Có góc có số đo bằng 180 là có góc bẹt, có góc bẹt sẽ có thẳng hàng

90

ABC   (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

90

ABD (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

ABC ABD

       

 là góc bẹt, theo định nghĩa góc bẹt thì C, B , D thẳng hàng

Bài 7: (21/76/SGK T2)

Cho hai đường tròn (O) và  O cắt nhau tại A và B Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại

M, cắt  O tại N (A nằm giữa M và N), tam giác MBN là tam giác gì ?tại sao ?

Giải

Chứng minh

Theo yêu cầu của đề bài ta phải chứng minh MBN cân

Làm thể nào để chứng minh được MBN cân?

Có 3 cách chứng minh một tam giác là tam giác cân, được sử dụng nhiều nhất là :

*Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau (Vận dụng định nghĩa)

*Muốn chứng minh một tam cân ta chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau (cách này vận dụng định lí: Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau)

*Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta chứng minh tam giác có một đường chủ yếu mang hai tính chất (cách lợi dụng tính chất của hai tam giác cân: Tam giác cân

có đường trung tuyến thuộc cạnh đáy vừa là trung trực vừa là phân giác, vừa là đường cao)

Còn các cách chứng minh khác ít sử dụng

Với bài toán này ta sử dụng cách nào trong các cách vừa điểm ở trên để chứng minh

BMNcân?

Với giả thiết : “Hai đường tròn (O) và  O bằng nhau” và “ cắt nhau tại hai điểm A và B”

Từ giả thiết này ta sử dụng cách chứng minh MBN có hai góc bằng nhau

Có nhiều cách để chứng minh BMN BNM

Cách 1:

Cách 1 ta sử dụng định lí về sự liên hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung

Với đường tròn (O) thì BMN là góc nội tiếp chắn cung AmB

Với đường tròn  O thì BNM là góc nội tiếp chắn cung AnB

AOB là góc ở tâm chắn cung AmB

AO B là góc ở tâm chắn cung AnB

Hai AOB và AO B có bằng nhau không ?

Tứ giác AO BO có : OA AO O B BO(vì cùng bán kính của hai đường tròn bằng nhau)



AO BOlà hình thoi (Theo dấu hiệu 1: tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi)

AOB AO B

  (Hai góc đối của hình thoi)

2

AMB AOB(số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung)

1

2

ANB AO B (số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung)

AMBANB MBNcân tại B (Theo định lí : Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân)

Cách 2:

Do (O) và  O (giả thiết) cắt nhau tại A và B  dây AB là dây chung AmB AnB

(Theo định lí: trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau) AmB AnBBMNBNM(Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)  MBNcân tại B (Theo định lí : Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân)

Bài 8: (22/76/SGK T2)

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A, đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C Chứng minh rằng ta luôn có :

2

.

MA MB MC

Giải

Chứng minh

Bài toán này thuộc thể loại chứng

minh tích này bằng tích kia

Muốn chứng minh tích này bằng tích kia ta thường dùng các kiến thức

cơ bản:

*Định lí Talet: Vì định lí Talet nói đến tỷ số bằng nhau Đã có tỷ số bằng nhau là có tỷ lệ thức, có tỷ lệ thức là có tích nhân chéo, tức là có tích này bằng tích kia

*Áp dụng tính chất phân giác của tam giác Đã áp dụng tính chất phân giác của tam giác

là có tỷ số bằng nhau, có tỷ số bằng nhau là có tỷ lệ thức, có tỷ lệ thức là có tích này bằng tích kia

*Áp dụng định lí về các trường hợp của hai tam giác đồng dạng Có đồng dạng là có tỷ

số, có tỷ số là có tích bằng nhau

Vậy hai tam giác đồng dạng, có tam giác đồng dạng là có tỷ số, có tỷ số là có tích này bằng tích kia

*Sử dụng bốn định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông v.v…

Bài này ta sử dụng kiến thức cơ bản nào để giải?

Với giả thiết : “Đường kính”, “ tiếp tuyến “ ta sử dụng định lí 2 của hệ thức lượng trong tam giác vuông

Do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AC AB (Theo định lí về tiếp tuyến)

 ABC vuông tại A

Cạnh huyền BC của ABC cắt đường tròn (O) tại M AMB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông) AM là đường cao thuộc cạnh huyền BC nên ta có :

2

.



AM MB MC (Theo định lí 2: trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Bài 9: (23/76/SGK T2)

Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C

và D Chứng minh : MA MB MC MD.

Giải

Đề bài khụng núi rừ M nằm trong hay

nằm ngoài đường trũn nờn xảy ra hai

trường hợp

a) Điểm M nằm bờn trong đường trũn

Bài này lại thuộc thể loại chứng minh

tớch nọ bằng tớch kia

Từ giả thiết “Hai dõy AB và CD cắt nhau tại M nằm trong đường trũn”

ta phải sử dụng một trong ba định lớ về 3 trường hợp của hai tam giỏc đồng dạng

Cỏch 1: AMD và CMB cú :

1 2 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Hai góc nội tiếp cùng chắn

M M





 .

 AMD CMB g g  MA  MD

MC MB

∽

Áp dụng tớnh chất cơ bản của tỷ lệ thức ta cú :

MA MD

MA MB MC MD

MC  MB  

Cỏch 2: AMD và CMB cú:











hai góc nội tiếp cùng chắn cung hai góc nội tiếp cùng chắn cung

 .

 AMD CMB g g  MA  MD

MC MB

∽ Áp dụng tớnh chất cơ bản của tỷ lệ thức: trong một tỷ lệ thức, tớch cỏc ngoại tỷ bằng tớch cỏc trung tỷ Ta cú:

MA MD

MA MB MC MD

MC  MB  

b) Trường hợp M nằm bờn ngoài đường trũn (O)

AMDvà CMBcó





gãc chung cña hai tam gi¸c hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n

A MD CMB

 .

 AMD CMB g g  MA  MD

MC MB

∽

Áp dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ thức :

Trong một tỷ lệ thức, tích các ngọai tỷ

bằng tích các trung tỷ

Do đó MA MD MA MB. MC MD.

MC  MB  

Bài 10: (24/76/SGK T2)

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 Có độ dài AB 40m Chiều cao MK 3m Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB

Giải

Gọi MI là đường kính của đường tròn

chứa cung AMB thì MI  2R

Ta có MI ABKAKB(Theo định

lí : Trong một đường tròn đường kính

vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm

20

KAKB AB   m

Ta có MAC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 ) AMC vuông tại A Có

AK là đường cao thuộc cạnh huyền MC

Do AK là đường cao thuộc cạnh huyền MC nên:

 

2

AK KM KC (Theo định lí 2 của hệ thức lượng trong tam giác vuông :

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền

bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Thay KA 20 và KC 2RKM vào (1) ta có :

2

20 KM 2RKM

400 3 2RKM

400  6R 3KM

3

R 

409

2

3

R

406

6

R

 

68, 2



Bài 11: (25/76/SGK T2)

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh

huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông

dài 2,5cm

Giải

Giả sử đã dựng được ABC có BC 4cm

90

BAC   và AB 2,5cm

Ta thấy ngay ABC nội tiếp đường

tròn (O) đường kính BC 4cm, cạnh

góc vuông AB 2,5cm là dây AB của

(O) Từ đó ta có cách dựng:

_Vẽ đường tròn đường kính BC 4cm

_Lấy B là tâm quay cung tròn bán kính 2,5cm cung này cắt (O) tại A Nối A với B và A với C ta được ABC vuông tại A, có cạnh huyền BC 4cm và cạnh góc vuông AB 2,5cm

Bài 12: (26/76/SGK T2)

Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (O) Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với BC Gọi giao điểm của MN và AC là S Chứng minh SM SC và

SN SA

Giải

Chứng minh

*Chứng minh SM SC

Đây là thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Quan sát hình vẽ ta thấy SM và SC là hai cạnh của MSCMuốn chứng minh SM SC

ta chứng minh SMCcân tại S

Muốn chứng minhSMCcân tại S ta phải chứng minh SMCSCM SMC và SCM là hai góc nội tiếp của đường tròn (O)

Dựa vào giả thiết “M là điểm chính giữa của cung AB” và “Dây MN song song với dây BC” Từ đó ta có cách chứng minh

Do M là điểm chính giữa của AB (giả thiết)  AM BM

Lại có CN BM(Theo định lí : trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)  AM CN(cùng bằng BM) SCM SMC(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau của một đường tròn)  SMC cân tại S (Theo định lí : Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân) SM SC(hai cạnh bên của một tam giác cân)

*Chứng minh tương tự cũng được SAN cân tại SSASN