Ly thuyet bai tap goc tao boi tiep tuyen va day cung day du co loi giai

Bài này thuộc thể loại toán chứng minh hai góc bằng nhau Muốn chứng minh hai góc bằng nhau có nhiều cách *Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai tam giác chứa hai góc đó bằn

BÀI TẬP GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

I Phương pháp giải

1.Khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung

Hình bên , xy là tiếp tuyến của đường tròn

(O) tại A, tiếp tuyến A là gốc chung của

hai tia đối nhau Mỗi tia đó là một tia tiếp tuyến

Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn,

cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia

chứa dây cung AB

Ta gọi góc BAx là góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung

2.Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

3.Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

II Bài tập

Bài 1: (27/79/SGK T2)

Cho đường tròn (O), đường kính AB, lấy điểm P khác A và B trên đường tròn Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn

Chứng minh APOPBT

Giải

Chứng minh

Bài này thuộc thể loại toán chứng minh

hai góc bằng nhau

Muốn chứng minh hai góc bằng nhau

có nhiều cách

*Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai tam giác chứa hai góc đó bằng nhau

*Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác cân

*Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc đối đỉnh

*Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc so le trong hoặc

so le ngoài tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến

*Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc đồng vị của hai đường thẳng song song với một cát tuyến

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó cùng bù (hoặc cùng phụ) với một góc thứ ba

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc đối đỉnh của một hình bình hành

Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta chứng minh hai góc đó là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc chắn hai cung bằng nhau) của một đường tròn v.v…với giả thiết “tiếp tuyến”

“đường kính” ta chứng minh thông qua góc cùng phụ

Do BxAB(vì Bx là tiếp tuyến của (O) tại B)  ABT vuông tại B A1  T1 90 (theo định lí: Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) (1)

Do AB là đường kính APB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BPT   90 (kề bù với

90

APB )  BPT vuông tại P

    (2)

Từ (1) và (2) có B1 T1 (3)

AOP

 có OAOP(hai bán kính của một đường tròn)  AOP cân tại O (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)

  (4)

Từ (1) và (4) ta có P1  T1 90 (5)

Từ (2) và (5) ta có P1  B1(cùng phụ với T1 )

Vậy APOPBT

Bài 2: (28/79/SGK T2)

Cho hai đường tròn (O) và  O cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến tại A của đường (O) cắt đường tòn (O) tại điểm thức hai P Tia PB cắt đường  O tại Q Chứng minh rằng đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O)

Giải

Chứng minh

Bài toán này thuộc thể loại chứng minh hai đường thẳng song song

Tôi xin nhắc lại, nhắc lại nghìn lần vẫn phải nhắc lại : Tôi viết bộ sách này nhằm mục đích cung cấp phương pháp tư duy tìm cách giải toán, không nhằm mục đích giải bài tập một cách đơn thuần để cho học sinh hoặc ai đó chép lại như photo một cách máy móc Chép xong cứ tưởng “mình đã học song, làm xong bài tập” Chính vì nguyên nhân này mà học sinh ngày nay rất kém toán Tại sao các phương tiện thông tin đại chúng, các cuộc hội nghị hầu như không bao giờ đả động đến toán Xã hội tôn vong phát triển mạnh hay yếu đều do toán, lý, hóa, sinh học quyết định Định hướng có tốt đến đâu mà không vận dụng tốt kiến thức toán,

lý, hóa, sinh học thì xã hội vẫn không phát triển mạnh và vững chắc được Tất cả dân Việt Nam đều giỏi toán, lý, hóa, sinh học và có sự định hướng tốt của nhà nước thì nước Việt Nam không thua kém bất kỳ nước nào

Chính muốn học sinh học tốt môn toán, để học tốt toán thì lý, hóa, sinh cũng học tốt nên tôi phải nhắc đi nhắc lại các phương pháp tư duy và giải toán

Muốn chứng minh hai đường thẳng song song có nhiều cách :

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thứ ba

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai đường thẳng đó cùng

vuông góc với đường thẳng thứ ba

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai đường thẳng đó tạo với đường thẳng thứ ba một cặp góc :

_Đồng vị bằng nhau

_So le trong bằng nhau

_So le ngoài bằng nhau

_Hai góc trong cùng phía bù nhau

_Hai góc ngoài cùng phía bù nhau

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, ta chứng minh hai đường thẳng đó

là đường trung bình và cạnh tương ứng của một tam giác

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, ta chứng minh hai đường thẳng đó

là đường trung bình và cạnh đáy của một hình thang

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta dùng định lí :Talet

*Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau, ta chứng minh là cạnh đối của một hình bình hành hay hai cạnh đáy của một hình thang

Bài này ta dùng cách nào để chứng minh AQ // Px?

Bất kỳ bài toán nào của hình học hoặc các phân môn toán khác người giải phải khai thác triệt

để giả thiết thì bài toán khó cũng thành đơn giản

Ví dụ bài toán cho: hình bình hành chỉ cần ba âm : hình, bình, hành ghép lại thành một cụm

từ cho ta bớt một loạt dữ kiện

_Biết có 2 cặp cạnh đối song song

_Biết có hai cặp cạnh đối bằng nhau

_Hai cặp góc đối bằng nhau

_Có hai cặp tam giác đối bằng nhau

_Có một loạt góc so le trong bằng nhau

_Có trung điểm

_Có hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau

Học sinh khi nghe một câu, một mệnh đề toán trong 1

1000 giây đã biết được từ đề bài ta biết những gì ? Từ các điều đã biết đó ta sử dụng như thế nào vào việc giải toán ?

Bạn đọc có thể có người đặt ra một câu hỏi: Sao ông già này nói miên man thế ? Không đâu Nếu người nào trực tiếp giảng dạy - giảng dạy với tâm của người làm thầy thì bài toán này cũng phải viết, phải nói, phải nhắc đi nhắc lại những điều cần phải nói, phải viết Bởi vì học sinh ngày nay rất lười học Học sinh đã lười học xã hội lại bày ra rất nhiều trò chơi, các trò chơi này phần lớn là hủy diệt tài năng của thế hệ trẻ Tôi nói tôi viết để minh họa cho cách tư duy để giải bài toán đơn giản này ?

Với giả thiết của đề bài ta có các cung bằng nhau, từ cung bằng nhau dẫn đến các góc nội tiếp chắn các cung đó bằng nhau Trong các góc bằng nhau đó cũng có những cặp góc so le trong bằng nhau Mà đã có các góc so le trong bằng nhau sẽ có hai đường thẳng song song

Ta có s®  1s®

2

BA P BP(theo định lí : trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số

đo của cung bị chắn) (1)

 1

2

BPx BP (theo định lí : Số đo của góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp

điểm bằng 1s®

2 của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta có BPxBAP(vì đều có số đo bằng nửa số đo của BP) (a)

Với đường tròn  O có :

s®

s®

2

A mB

A QB (theo định lí : Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

Lại có : s® s®

2

A mB

BA P (theo định lí : trong một đường tròn, số đo của góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn) (4)

Từ (3) và (4) ta có : AQBBAP (b)

Từ (a) và (b) ta có : BPx AQB(cùng bằng BAP) Mà AQB và BPx ở vị trí so le trong Nên :

AQ // Px

Bài 3: (29/79/SGK T2)

Cho hai đường tròn (O) và  O cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn

 O cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt  O tại D Chứng minh CBADBA

Giải

Chứng minh

Bài toán này thuộc thể loại chứng minh hai góc bằng nhau

Muốn chứng minh hai góc bằng nhau có rất nhiều phương pháp

Với giả thiết của bài này : “Hai đường tròn cắt nhau”, “Tiếp tuyến” Hai đường tròn đã cắt nhau thì dĩ nhiên có hai cung có chung mút, có dây chung : Tiếp tuyến của hai đường tròn lại

có chung một tiếp điểm cho hai đường tròn Từ đó ta biết ngay sẽ có các góc đôi một bằng nhau

Đã có các cặp góc đôi một bằng nhau ta nghĩ ngay đến : Vận dụng định lí tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180 để chứng minh

Ta có :

*Với đường tròn (O):

 s®

s®

2

A mB

A CB (theo định lí : trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (1)

 s®

s®

2

A mB

BA D (theo định lí : số đo của góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta có ACBBAD (vì đều có số đo bằng nửa số đo của AmB) (a)

*Với đường tròn  O

 s®

s®

2

A nB

A DB (theo định lí : trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

 s®

s®

2

A nB

BA C (theo định lí : trong một đường tròn số đo của góc tạo bởi một tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) (4)

Từ (3) và (4) ta có ADB BAC (cùng có số đo bằng nửa số đo của AnB) (b)

Từ (a) và (b) ta có :

BAC  ADB và ACBBAD

ABC



chøng minh trªn chøng minh trªn

BA D BDA

A BC A BD

BA C BDA

(theo định lí : Tổng ba góc trong của tam giác)

Bài 4: (30/79/SGK T2)

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là : Nếu

BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn

Giải

Muốn chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) ta phải chứng minh được AxOR

Muốn chứng minh được AxOA ta

phải chứng minh A1A2   90

Muốn chứng minh A1A2   90 ta

dùng phương pháp trung gian

Từ O hạ OH AB H AB

AOB

 có OAOB nên AOB cân tại

O tam giác có hai cạnh bằng nhau là

tam giác cân  đường cao OH thuộc

đáy AB lại là đường cao, đường phân

giác O1 O2

AOH

 vuông tại H nên O1 O2   90 (theo định lí : trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau) (1)

Lại có 1

2

BAx AOB(giả thiết ) hay A1 O1

Thay O1  A1 vào (1) ta có A1A2   90 Hay AxOAAxlà tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 5: (31/79/SGK T2)

Cho đường tròn (O;R) và dây cung BCR Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại A Tính ABC và BAC

Giải

Muốn tính được số đo của ABC và ACB

ta tận dụng giả thiết “Bán kính bằng R”

và “dây cung BC R”, “Tiếp tuyến tại B

và C của (O) cắt nhau tại A”

BOC

 có OBOCBCR(giả thiết ) nên BOC là tam giác đều (tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều) OBCOCB 60 

Do BA là tiếp tuyến của (O) (giả thiết) nên ABO  90

90 90 60 30

         

Tương tự cũng được ACB  30

Bài 6: (32/80/SGK T2)

Cho đường tròn (O) đường kính AB Một tiếp tuyến của đường tròn tại P, cắt đường thẳng

AB tại T (B nằm giữa O và T)

Chứng minh BTP 2TPB  90

Giải

Chứng minh

Muốn giải bài này ta phải vận dụng các định lí

*Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

*Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

*Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn

*Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau

Ta có PT là tiếp tuyến của (O) (giả thiết) nên s® 1s®

2 2

BP BPT (theo định lí…)



s®BOP s®BP (góc ở tâm có số đo bằng số đo của cung bị chắn)

2

BOP BPT hay POT  2BPT

Vì PT OP(định lí về tiếp tuyến) nên OPT vuông tại P

90

POT OTP

   (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

Vậy BTP 2TPB  90

Bài 7: (33/80/SGK T2)

Cho A, B, C là ba điểm nằm trên đường tròn, At là tiếp tuyến của đường tròn tại A Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N Chứng minh AB AM AC AN.

Giải

Chứng minh

Bài toán này thuộc thể loại chứng

minh tích này bằng tích kia

Các cách giải thể loại toán này đã nói nhiều ở các bài trên

Với giả thiết : “tiếp tuyến” , “song song” ta có các góc bằng nhau Bám

lấy giả thiết các góc bằng nhau để chứng minh các tam giác có chứa :

AB.AM; AC.AN đồng dạng

Có đồng dạng là có tích này bằng tích kia

Do At là tiếp tuyến của (O) nên s® s®

2

A C

CA t (theo định lí : số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi qua tiếp điểm có số đo của cung bị chắn) (1)

 s®

s®

2

A C

A BC (theo định lí: trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta có CAt ABC

Mà CAt  ANM (Hai góc so le trong của At // MN) ABC ANM (vì cùng bằng CAt)

ABC





gãc chung cña hai tam gi¸c chøng minh trªn

  ∽    Áp dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ thức : “trong một tỷ lệ thức, tích các ngoại tỷ bằng tích các trung tỷ”

Ta có : AB AC AB AM. AC AN.

Bài 8: (34/80/SGK T2)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB Chứng minh 2

.

MT MA MB

Giải

Chứng minh

Làm thế nào để chứng minh được 2

.

MT MA MB

Bài này lại thuộc thể loại chứng minh tích này bằng tích kia

Trong chương trình hình học của trung học cơ sở có hội 7 định lí đề cấp đến tỷ số, dẫn đến tích này đến tích kia :

*Định lí Ta -let

*Tính chất phân giác của tam giác

*Ba định lí vẽ tam giác đồng dạng

*4 định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Muốn giải được bài toán này ta sử dụng định lí nào ?

Với giả thiết “tiếp tuyến” có góc và cung bị chắn nên ta dùng định lí về tam giác đồng dạng

để chứng minh

Do TM là tiếp tuyến của (O) và đáy TA đi qua tiếp điểm T nên s®  s®

2

TA

A TM (theo định lí :

số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn) (1)

s®

s®

2

A T

A BT (theo định lí : trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng mẫu số đo của cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta có ATM  ABT(cùng có số đo bằng 1s®

2 A T )

 và MBT có :





gãc chung cña hai tam gi¸c chøng minh trªn

A MT BMT

A TM TBM

  ∽    Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ta có :

.

MT MA MB

Bài 9: AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R) Trên tia đối

của tia CD lấy điểm S Nối S với A cho cắt đường tròn ở M Tiếp tuyến tại M cắt CD ở P

BM cắt CD ở T

a) Chứng minh PM MA MT OA.

b) Chứng minh PS PM PT

c) Cho PM R.Tính TA.MS theo R

Giải

a) Chứng minh PM MA MT OA.

Bài này cũng thuộc thể loại chứng minh tích nọ bằng tích kia

Muốn chứng minh tích này bằng tích kia ta phải sử dụng một trong các cách chứng minh đã nêu ở các bài trên

Muốn chứng minh PM MA MT OA. dùng cách chứng minh nào ?

Phần lớn các bài toán chứng minh tích của các đoạn thẳng này, bằng tích các đoạn thẳng kia, mà các đoạn thẳng đó có liên quan đến đường tròn ta thường vận dụng các định lí về hai tam giác đồng dạng

Ta phải chứng minh hai tam giác có chứa các đoạn thẳng PM, MA, MT, OA đồng dạng với nhau

Ta có OAOS(giả thiết)

90

AMT  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông )

TM AM

OM MP (định lí về tiếp tuyến) OMATMP (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc,

cả hai cùng nhọn)

AOM MTP( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, cả hai cùng nhọn)

AOM

 và TMP có :



chøng minh trªn

chøng minh trªn

∽

  Áp dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ thức ta có :

PT MA MT OA

AOM

 có OAOM   R AOM cân tại O Mà AOM∽ TMP(chứng minh trên)

PT PM

  (2)

Từ (1) và (2) ta có PM MA MT OA.

b) Chứng minh PS PM PT

Do MTP cân (chứng minh trên) PT PM 3 và T1 M2

Mà     



90 v× vu«ng t¹i 90

    cân tại P (theo định lí : Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân) PS PM 4

Từ (3) và (4) ta có PS PM  PT

c) Tính TA.MS theo R

MOB

 cân tại O

ATB

 có TO vừa là đường cao TO AB vừa là trung tuyến ứng với cạnh AB nên

ATB

 cân tại T Lại có M1 M3 (cùng cộng với M2 bằng 90) A1 nên

TA MS PM AB

  vì PM R (giả thiết)

Lại có AB 2R nên 2

TA MS R

Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A

Từ K bất kỳ trên đường thẳng d (K không trùng với A) kế tiếp tuyến K với đường tròn (O)