Cac dang bai tap dien hinh lien he giua cung va day co loi giai

BÀI TẬP LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I Phương pháp giải Sử dụng hai định lý sau Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b)[.]

BÀI TẬP LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I Phương pháp giải

Sử dụng hai định lý sau:

Định lí 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau :

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

II Bài tập

Bài 1: (10/71/SGK T2)

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R  2cm Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng 60  Hỏi dây AB dài bao nhiêu cm

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình vẽ b

Giải

a) Cách vẽ cung AB có số đo bằng 60 

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R  2cm Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn này là tâm,

vẽ đường tròn tâm A bán kính AB  2cm cho cắt (O) tại B Nối A và B với O ta được:

 (vì đường tròn tâm A có bán kính AB  2cm nên đi qua O) có

OAABBO AOB AOB   AB (theo định lí : số đo của cung nhỏ bằng

số đo của góc ở tâm chắn cung đó)

b) Cách chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau

Vẽ đường tròn tâm O bán kính tùy ý Trên đường tròn này lấy điểm A bất kỳ Vẽ đường tròn tâm A bán kính bằng OA cho cắt (O) tại B

Vẽ đường tròn tâm B bán kính OB cho cắt đường tròn (O) tại C Vẽ các đường kính AD, BE, CF của đường tròn (O) ta được 6 cung AB BC CD DE EF FA

Bài 2: (11/72/SGK T2)

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và  O cắt nhau tại hai điểm A và B Kẻ các đường kính AOC và AO D Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC với đường tròn  O khác điểm O a) So sánh các cung nhỏ BC và BD

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau BE BD

Giải

a) Chứng minh s®BC  s®BD

*Cách 1:

Muốn chứng minh BC BD ta phải chứng minh được BOC BO D

Muốn chứng minh được BOC BO D ta phải chứng minh được AOB AO B

Muốn chứng minh được AOB AO B ta vận dụng giả thiết: “Hai đường tròn (O)

và  O bằng nhau” và “(O) cắt  O tại A và B” Từ đó ta có: OAAO O B BO

(các bán kính của hai đường tròn bằng nhau) Tứ giác AO BO' là hình thoi (Theo dấu hiệu 1 : Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi)



AOB AO B (Hai góc đối của một hình thoi) mà

180 Hai gãc kÒ bï

180 Hai gãc kÒ bï

AOB BOC

AO B BO D







BOC BO C (Hai góc kề bù với hai góc bằng nhau) BC BD

(Theo định nghĩa: Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó )

*Cách 2:

Muốn chứng minh được BC BD ta phải chứng minh dây BC dây BD

Muốn chứng minh dây BC bằng dây BD phải chứng minh ABC ABD

ABC có O là trung điểm của AC (tâm và đường kính của một đường tròn) BO

là trung tuyến ứng với cạnh AC

Lại có   

2

A C

OA OB OC (các bán kính của một đường tròn)  ABCvuông tại B (Theo định lí : Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

Chứng minh tương tự cũng được ABD vuông tại B

ABC và ABDvuông tại B có :

®­êng kÝnh cña hai ®­êng trßn b»ng nhau c¹nh gãc vu«ng chung cña hai tam gi¸c vu«ng

AC AD

AB AB





ABC ABD

    (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

BC BD(Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Dây BC bằng dây

BD của hai đường tròn bằng nhau BC BD(Theo định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì:

Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

b) Chứng minh B là điểm chính giữa của cung EBD

Muốn chứng minh được B là điểm chính giữa của cung EBD ta phải chứng minh được cung BE bằng cung BD

Muốn chứng minh được cung BE bằng cung BD ta phải chứng minh dây BE bằng dây BD

Muốn chứng minh BE BD BC ta chứng minh CED vuông tại E

Muốn chứng minh CEDvuông tại E ta chứng minh AED vuông tại E

Muốn chứng minh AED vuông tại E ta vận dụng AD là đường kính  O và E nằm trên  O

AED

 có O A O E O D (cùng là bán kính của

 

2

AD

O O E O A O D   AED vuông tại E (Theo định lí: Nếu một tam giác

có trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

CED

  vuông tại E

CED

 có BC BD(chứng minh trên) EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền CD nên BC BE BD(Theo định lí: Trong một tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) Vậy BD BE Mà BD và BE là hai dây của đường tròn  O BE BD(Theo định lí 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì :

Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau )

Vậy B là điểm chính giữa của cung EBD

Bài 4: (12/72/SGK T2)

Cho ABC Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc : OH, OK với BC và

BD H BC K BD

a) Chứng minh rằng OH OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Giải

Chứng minh

a) Chứng minh OH OK

Muốn chứng minh OH OK ta phải chứng minh BC BD

Muốn chứng minh được bất đẳng thức BC BD ta phải sử dụng bất đẳng thức tam giác với ABC ta có : BC AB AC mà AC AD(giả thiết) BC AB AD

Do đó BC BD

Với đường tròn (O) ngoại tiếp BCDcó dây BD lớn hơn dây BC

Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm : Trong hai dây của một đường tròn

*Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn Do đó OK OH

b) Chứng minh BC BD

Theo câu a) OK OH BD BC (Theo định lí : Trong hai dây của một đường tròn dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn) BDBC(Theo định lí : Trong một đường tròn dây nào lớn hơn thì căng cung lớn hơn)

Bài 5: (13/72/SGK T2)

Chứng minh rằng trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Giải

*Trường hợp tâm O của đường tròn

nằm ngoài hai dây song song

Muốn chứng minh được CE FD ta

phải dùng phương pháp trung gian

Kẻ đường kính AB // CD // EF

Do EF // AB nên FEO EOA (hai góc so le trong)



EFO FOB (hai góc so le trong)

EOF

 có OE OF R nên EOF cân tại O FEO EFO(Theo định lí : Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau)

Do đó EOA FOB AE BF (Theo định lí: Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung nhỏ)

Do AE BF nên ta có AE AC BF BD CE DF

Vậy hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

*Trường hợp tâm O của đường tròn nằm trong hai dây song song cũng chứng minh

tương tự

Bài 6: (14/72/SGK T2)

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nêu thêm điều kiện

để mệnh đề đảo đúng

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Giải

a) Muốn chứng minh HA HB

ta dựa vào giả thiết : "IA IB"

Từ IA IB IA IB (Theo định lí: với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau : Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) I cách đều

A và B Lại có OA OB ( vì cũng là bán kính của đường tròn (O) mà I và O là hai điểm nằm ở hai phía của đoạn thẳng AB I và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB H là trung điểm của dây AB

b) Chứng minh mệnh đề đảo:

Muốn chứng minh IA IB

phải chứng minh được O1 O2

Muốn chứng minh được O1 O2

ta chứng minh AOB cân tại O

AOB

 có OA OB(cùng là bán kính một đường tròn)  AOBcân tại O (Tam giác

có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân )  trung tuyến OH thuộc đáy AB vừa là phân giác của A OB vừa là đường cao ứng đáy AC O1 O2

IA IB (Theo định lí: Số đo của hai cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó)

Vậy cũng có OHAB và HA HB (Tính chất của tam giác cân)

Ngược lại nếu đường kính OI AB thì O1 O2 IA IB

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung và ngược lại

Đường kính IH đi qua điểm I là điểm chính giữa của cung AB nên 

IA IB AOI BOI hay O1 O2

AOB

 có OA OB R nên là tam giác cân tại O Phân giác OI là đường cao ứng với đáy ABOI AB

Ngược lại nếu đường kính IKAB thì AOB cân tại O lại có đường cao OH thuộc đáy

AB là phân giác của A OB(Tính chất của tam giác cân) AOI BOI IA IB