Bai tap on tap cuoi nam lop 9 e6sj8

Muốn biết D chuyển động trên đường nào ta phải tìm được một quan hệ giữa điểm D di động với các yếu tố cố định và không đổi có trong đề Theo định lí trong một đường tròn số đo của góc nộ

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM MÔN TOÁN LỚP 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x    5 0 x 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của đường chéo AC là 5 2 khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5

Bài 2: (2/134/SGK T2)

∆ABC có B 45 ;  C 30  Nếu AC 8 thì AB bằng:

Khi giải bài này ta phải áp dụng định lí:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2

3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy Gọi G là trọng tâm của

Bài 5: (5/134/SGK T2)

Cho ∆ABC vuông ở C có AC 15 Đường cao CH chia cạnh AB thành hai đoạn AH và

HB Biết HB 16cm Tính diện tích ∆ABC

Giải

Ta cũng có thể tính diện tích của ∆ABC bằng cách thứ hai:

Tính độ dài của cạnh AB và độ dài của đường cao CH là tính được diện tích ∆ABC

* Tính độ dài của cạnh AB

Đặt đoạn AH x (với điều kiện x 0 tính bằng cm) Ta tính AH bằng phương trình đại số:

Cho ∆ABC đều, D là trung điểm của BC

Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các

điểm di dộng D và E sao cho DOE 60 

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi

b) Chứng minh ∆BOD ∽ ∆OED

Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của

BDE

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB

Chứng minh rằng đường tròn này luôn luôn

tiếp xúc với DE

Giải

GT

∆ABC đều

OBOC

DAB EAC

60

DOE Đường tròn (O) tiếp xúc với AB

KL

* BD.CE không đổi

* ∆BOD ∽ ∆OED DO là phân giác của BDE

* Đường tròn (O; OI) luôn luôn tiếp xúc với DE khi D và E di động trên AB và AC

Theo giả thiết bài toán này có ∆ABC vừa mang tính cố định vừa mang tính không đổi

Ba đỉnh A, B, C cố định độ dài AB, BC, CA không đổi Trung điểm O của BC cố định phải là điểm cố định OB và OC là các đoạn thẳng có số đo không đổi

Ta có BODDOE EOC  180  (Ba góc kề bù nhau) mà DOE 60  (giả thiết)

Nên BODEOC 180  DOE 180     60 120  BODCEO

b) Chứng minh ∆BOD ∽ ∆OED DO là phân giác của BDE

Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng ta phải sử dụng một trong ba định lí về ba trường hợp đồng dạng của tam giác

  (Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng)

DO là tia phân giác của BDE

∆BOD ∽ ∆OAED (c-g-c) BDOEDO

DO là phân giác của BDE

c) Chứng minh đường tròn (O) tiếp xúc với AB, cũng tiếp xúc với DE

Đường tròn có tâm O là trung điểm của BC tiếp xúc với cạnh AB tại I Ta phải chứng minh đường tròn này tiếp xúc với DE tại K

Ta có OI AB (Định lí 1 của tiếp tuyến)

Từ O hạ OKDE thì OI OK (vì DO là phân giác của BDE) mà OI là bán kính của (O) thì OK cũng là bán kính Đường tròn (O) tiếp xúc với DE tại K

Bài 8: (8/135/SGK T2)

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; r) tiếp xúc ngoài tại C (R > r) Hai tiếp tuyến chung

AB và A’B’ của hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P (A và A’ thuộc đường tròn (O’), B và B’ thuộc đường tròn (O)

Biết DAAB 4cm

Tính diện tích hình tròn (O’)

Giải

GT

Đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C

Tiếp tuyến chung ngoài PAB và PA’B’ cắt nhau tại P

KL S O ?

Muốn tính được diện tích hình tròn (O’) ta phải tìm được số đo của bán kính O’A

Muốn tính được số đo của O’A ta phải khai thác giả thiết: “Tiếp tuyến chung ngoài sẽ có hai bán kính của hai đường tròn song song với nhau (vì cùng vuông góc với một đường tiếp tuyến và lợi dụng số đo PAPB 4cm Như vậy muốn tính được độ dài của bán kính O’A ta phải sử dụng định lí Talét

Ta có: O’A // OB (cùng vuông góc với PB)

∆POB có O’A // OB nên theo định lí Talét ta có:

Cho ∆ABC nhọn nối tiếp đường tròn (D)

Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x 75 ; 2  x 25 ; 3  x  22

Một góc của ∆ABC có số đo là:

Sau đó áp dụng định lí: Trong một đường tròn số

đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị

Muốn tính được tổng số đo của BPD và

AQC ta phải dựa vào mối quan hệ giữa hai

góc này và đường tròn (O)

BPD là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn

(O)

AQC là góc nội tiếp của đường tròn (O)

Từ mối quan hệ này ta lập các đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai góc và đường tròn Sau khi lập được mối quan hệ giữa các góc với đường tròn bằng các đẳng thức, rồi cộng vế với vế của hai đẳng thức là tính được tổng số đo của hai góc mà ta phải tìm

sñ AQC (Theo định lí: Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn)

Mà sñBQ 42  (giả thiết) và sñQD  38  (giả thiết)

Muốn trả lời được câu hỏi của đề ta không có các số thực của kích thước hình vuông và hình tròn để có con số cụ thể mà so sánh Do thế ta phải lập các biểu thức đại số tính diện tích hình vuông và diện tích hình tròn rồi so sánh tỷ số diện tích của chúng

Gọi cạnh của hình vuông có độ dài là x Bán kính của hình tròn là R ta có:

Chu vi hình vuông là 4x = chu vi hình tròn trên là 2

di động trên đường nào?

Muốn biết D chuyển động trên đường nào ta

phải tìm được một quan hệ giữa điểm D di động

với các yếu tố cố định và không đổi có trong đề

(Theo định lí trong một đường tròn số đo của

góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

∆ACD có AD AC (giả thiết) ∆ACD cân tại A C1 D1

∆ACD có BAC là góc ngoài đỉnh A có số đo là 60  và ABCC1 D1 (Theo định lí: Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

Do BC 120  không đổi nên BAC 60  không đổi D1   30 không đổi D1   30 không đổi nhìn đoạn BC cố định D nằm trên cung chứa góc 30  dựng trên đoạn BC không đổi

Một vấn đề ta phải xét tiếp là cung chứa góc 30  tập hợp các điểm D thỏa mãn điều kiện

đề bài nằm từ đâu đến đâu?

Theo giả thiết A di động trên cung lớn BC, A di động thì D di động theo

Nếu A di động tập hợp các điểm D thỏa mãn điều kiện đề bài nằm từ đâu đến đâu?

Theo giả thiết A di động trên cung lớn BC, A di động thì D di động theo

Nếu A di động đến vị trí B thì DE (BD là tiếp tuyến của (O) tại B)

Vậy E nằm trên cung chứa góc 120  dựng trên đoạn BC 4cm

E cũng nằm trên đường thẳng xy cách BC một khoảng bằng 1 cm

Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC là giao điểm của cung chứa góc 120  dựng trên đoạn BC 4cm và đường thẳng xy // BC và cách BC một khoảng 1 cm

Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng BC 4cm

- Dựng ∆BFC khác phía ∆ABC đối với đường thẳng BC

c) Chứng minh BC // DE

Giải

GT

∆ABC có

AB ACBC nội tiếp đường tròn (O)

Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC tại D

Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại E

Các phương pháp chứng minh tích này bằng tích

kia đã nêu nhiều lần ở các bài trước

Bài này, muốn chứng minh 2

.

BD  AD CD

Ta dùng phương pháp nào để chứng minh?

Với giả thiết: “Tam giác cân” dẫn đến gĩc bằng nhau Gĩc bằng nhau lại dẫn đến cung bằng nhau, cung bằng nhau lại dẫn đến gĩc bằng nhau Do thế phương pháp chứng minh 2

b) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được đường trịn

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường trịn ta sử dụng một trong năm phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã nêu ở các bài trước:

Để chứng minh được BCDE nội tiếp ta dùng phương pháp nào trong 5 phương pháp đã nêu?

Với giả thiết của bài này “Tam giác cân” dẫn đến gĩc bằng nhau, gĩc bằng nhau dẫn đến các điểm cùng nhìn đoạn thẳng dưới các gĩc bằng nhau dẫn đến tứ giác nội tiếp

Cách 1:

∆ABD và ∆ACE cĩ:

(gó c chung củ a hai tam giá c)

(vì ABC câ n tại A)

Hay tứ giác BCDE nội tiếp được đường trịn

Cách 2:

2

sđ AB sđBC

 (Theo định lí về gĩc cĩ đỉnh bên ngồi đường trịn) mà AB AC

(vì dây AB = dây AC) Do đĩ:

BECBDC E và D cùng nhìn BC dưới các gĩc bằng nhau nên D và E nằm trên cung chứa các gĩc bằng nhau dựng trên đoạn BC Hay BCDE nội tiếp được đường trịn

c) Chứng minh BC // DE

Do tứ giác BCDE nội tiếp đường trịn nên:

180 (Theo định lí: Tứ giá c nộ i tiế p có tổ ng số đo hai gó c đố i diệ n bằ ng 180 )

mà 180 (vì là hai gó c kề bù )

ADE CBE

ADE ABC ABC CBE

Lại cĩ ACB ABC (Theo định lí: Trong một tam giác cân hai gĩc ở đáy bằng nhau)

ADEACB mà ADE và ACB ở vị trí đồng vị nên BC // DE

Bài 16: (16/136/SGK T2)

Một mặt phẳng chứa trục OO’ của một hình trụ; Phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật cĩ chiều dài 3 cm, chiều rộng 2 cm Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đĩ

Giải

Bài này cĩ hai trường hợp xảy ra:

* Trường hợp đường cao của hình trụ được coi là 3 cm

* Trường hợp thứ hai đường cao của hình trụ là 2 cm

a) Biết đường cao của hình trụ là 3cm khi đĩ 2  

1 2

a) Tính diện tích xung quanh hình nón

Muốn tính được diện tích xung quanh của hình nón ta phải sử dụng công thức: S xq  rl Theo công thức tính diện tích xung quanh hình nón ta còn phải tính bán kính hình nón của đáy hình nón

Theo giả thiết: ∆ABC vuông tại A có 30

2

BC ACB  AB R (Theo định lí: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30  thì cạnh góc vuông đối diện với góc đó bằng nửa cạnh huyền)

* Tính diện tích mặt cầu

* Tính thể tích hình cầu

Đề bài không cho một con số cụ thể nào, dựa vào đâu để tính được bán kính, diện tích, thể tích hình cầu

Gọi R là bán kính của hình cầu

Với giả thiết hình cầu có diện tích bằng số đo của thể tích của nó nên:

Bài 19: Cho đường tròn (O), đường kính BC cố định và điểm A thuộc đường tròn (A

khác B và C) Trên tia đối của tia AC lấy đoạn AE = AB Trên tia đối của tia AB lấy đoạn AD = AC

1 Chứng minh ∆ABC = ∆AED và đều là tam giác vuông

2 Đường thẳng qua đường cao AH của ∆ABC cắt DE tại M Chứng minh M là tâm của đường tròn qua ADE

* ∆ABC = AED và cả 2 cùng vuông

* M là tâm của (M) qua A1E1D

* OADE

1 Chứng minh ∆ABC = ∆AED

và cả hai cùng là tam giác vuông

BAC  (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là

gĩc vuơng) = EAD (hai gĩc đối đỉnh)

∆ABC và ∆AED vuơng tại A cĩ:

(giả thiế t)

90 (chứ ng minh trê n) (giả thiế t)

Muốn chứng minh M là tâm đường trịn đi qua A,

E, D ta phải chứng minh được M cách đều A, E,

D

∆ABC vuơng tại A (chứng minh trên)

1 1 90

B C

    (Theo định lí: Trong một tam giác

vuơng hai gĩc nhọn phụ nhau)

∆AHB vuơng tại H (AH là đường cao vuơng với

∆AMD cân tại M (Theo định lí Nếu một tam giác cĩ hai gĩc bằng nhau thì tam giác

đĩ là tam giác cân) MD = MA (1)

∆AME cân tại M (theo định lí: Nếu một tam

giác cĩ hai gĩc bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác cân) MAMEMD M cách đều A, E, D

Vậy M là tâm đường trịn đi qua A, E, D

3 Chứng minh OADE

Cĩ rất nhiều phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau như đã nêu ở các bài trước Trong các phương pháp chứng minh đã nêu cĩ một phương pháp:

Muốn chứng minh OADE ta phải chứng minh KE và KA là hai cạnh của ∆AKE vuông tại K

Muốn chứng minh được ∆AKE vuông tại K ta phải chứng minh được A5 E1   90

Muốn chứng minh được E1 A5   90 ta phải chứng minh được A5 C1 và C1 B1  90 

mà E1 B1 (chứng minh trên)

∆AOC có OA = OC (cùng là bán kính của (O)) ∆ADC cân tại O A2 C1 (theo định lí: Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau) nhưng A5 A2 (Hai góc đối đỉnh)

Nên A5 C1 Do đó A5 E1   90 ∆AKE vuông tại K

Bài 20: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Vẽ nửa đường tròn (O’) đường kính

OA, trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB với nửa đường tròn (O) Vẽ cát tuyến AC của (O) cho cắt (O’) tại điểm thứ 2 là D

Đường tròn (O) đường kính AB

Cát tuyến qua A của (O) cắt (O’) tại

Có rất nhiều phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài này ta dùng phương pháp nào để chứng minh DA = DC

Xin phép độc giả, lời riêng với các bạn học sinh:

Nếu học sinh nào chăm học thì thấy ngay ta phải dùng phương pháp nào (Tôi nói là phương pháp, tôi nói là cách chứng minh) để chứng minh DA = DC

Tổ tiên ta dạy: “Nhân bất học bất chi lý” Con người đã lười học thì không thể lúc nào cũng nói đúng và cũng có thể có trường hợp lúc nào cũng làm đúng

Muốn có năng lực phải học Theo ý của Bác Hồ, cũng là lời nói của Lê-Nin: Học, học nữa, học mãi Thế mà ngày nay có người nói “làm sao cho các học sinh khỏi phải học thuộc lòng” ít học quá

Tất cả các kiến thức cơ bản phải hiểu được và phải thuộc lòng

Câu a) của bài toán này nếu học sinh thuộc hai định lí về đường trung bình của tam giác thì có ngay phương pháp chứng minh DA = DC

∆AO’D có O’A=O’D (cùng là bán kính của một đường tròn) AO’D cân tại O’ (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) D1 A1 (Theo định lí: Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau) (1)

AOC có OA = OC (hai bán kính của (O)) ∆AOC cân tại O (Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)C1 A1 (2)

Từ (1) và (2) cho ta C1 D1 mà C1 và D1 ở vị trí đồng vị nên O’D // OC (Theo định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

∆AOC có:

O’ là trung điểm của cạnh OA (O’ là tâm đường tròn đường kính OA)

O’D // OC (chứng minh trên)

D là trung điểm của AC (Theo định lí: Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

DA = DC

Vậy DA = DC

b) Chứng minh Dx // Cy

Có rất nhiều phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song với nhau

Muốn chứng minh được Dx // Cy ta dùng phương pháp nào?

Với giả thiết “Tiếp tuyến” và kết quả của câu a) O’D // OC Ta có:

Muốn chứng minh Dx // Cy ta phải chứng minh được Dx và Cy cùng vuông góc với DC

DxO D (Theo định lí: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm) mà OD // OC nên DxOC (Theo định lí: Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường kia)

CyDC (Theo định lí tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Suy ra Dx // Cy (vì cùng vuông góc với OC)

c) Chứng minh BD là tiếp tuyến của (O’)

Trên OB lấy điểm H sao cho 1

3

OH  OB

Dựng đường vuông góc với OB tại H cho cắt

(O) tại C Nối A với C cho cắt (O’) tại D

Ta phải chứng minh BDOD tại D

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Bài 21: Cho ∆ABC có AB > AC, gọi AD và AE là các phân giác trong và phân giác

ngoài của góc A (Các điểm D và E thuộc đường thẳng BC)

1 Biết AD = AE Tìm mối liên hệ giữa B và C

2 Ngược lại chứng minh rằng nếu trong một tam giác liên hệ tìm được trong câu 1) được thỏa mãn thì AD = AE

3 Giả sử liên hệ trong câu 1) trên đây được thỏa mãn Chứng minh rằng đường cao xuất phát từ điểm A là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

4 Cho biết đường cao AH = h, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R Hãy chỉ rõ cách dựng ∆ABC

Giải

GT

∆ABC có AB > AC

Phân giác trong AD cắt BC tại D

Phân giác ngoài AE cắt BC tại E: AD = AE

KL

* C B  90 

* Ngược lại của (1)

* AH là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

* Dựng ∆ABC

1 Mối liên hệ giữa B và C

Với giả thiết AB > AC cho ta thấy:

Muốn giải được câu này ta phải sử

dụng định lí về sự liên hệ giữa cạnh và

góc trong tam giác

Do AB > AC (giả thiết) ta có

ACBABC (Theo định lí: Trong một

tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn

là góc lớn hơn

ADAE (Theo định lí: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau) và

AD = AE (giả thiết) ∆ADE vuông cân tại A ADEAED  45

∆ADE có ADB là góc ngoài đỉnh D nên ADB 180 ADE 180    45 135 

BDA DCA CAD  (Theo định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

45  DBA BAD (vì ADC là góc ngoài của ∆ADB) (2)

Trừ vế với vế của (1) và (2):

135     45 DCA DAC  DBA BAD

90  DCA DAC DBA BAD  

Hay C B  90  Đây là sự liên hệ giữa C và B

2 Nếu ∆ABC có C B  90  thì ACBCAEAEC (3)

Và ABCADC BAD

Lấy vế trừ với vế của (3) và (4) thì được:

ACB ABC CAE AEC ADC BAD     nhưng BADDAC (vì AD là phân giác của BAC) nên:

90  CAE DAC ADC  AECADC∆DAE cân ở A

Hay AD = AE

3 Chứng minh đường cao AH lại là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cho cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại F

Ta có: BFAC (Theo định lí: Trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai đường song song thì bằng nhau) ABCFCB (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do C B  90  (chứng minh trên) nên FCA 90   AF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, mà AHBC, AF // BC nên AHAF AH là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

4 Cách dựng ∆ABC khi biết AH = h: Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng R, kẻ đường thẳng xy Trên xy lấy điểm H: Dựng đường vuông góc với xy tại H Trên đường vuông góc với xy tại H lấy điểm A sao cho đoạn AH = h

Qua A kẻ đường thẳng m // xy Trên đường thẳng m lấy điểm O sao cho OA = R

Dựng đường tròn tâm O bán kính OA = R Đường tròn (O) cắt xy tại C

Kẻ AD hợp AH một góc bằng45 nó cắt xy tại D

Kẻ AB hợp AD một góc bằng DAC nó cắt xy tại B ∆ABC là tam giác phải dựng

Bài 22: Cho ∆ABC vuông ở A Gọi I là trung điểm của cạnh AC Đường tròn tâm I bán

a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) và IDCBAD

Muốn chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn ta phải chứng minh đường thẳng đó thỏa mãn hai điều kiện

* Đường thẳng có chung với đường tròn một điểm

* Đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn phải vuông góc với bán kính tại điểm chung của đường thẳng và đường tròn

∆ABC vuông tại A (giả thiết) tức là ABAC mà IA là bán kính của đường tròn (I; IA) thuộc AC ABIA tại A AB là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA)

Do D nằm trên đường tròn đường kính AC nên:

90

ADC  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông) ∆ADC vuông tại D

∆ADC vuông tại D có I là trung điểm của AC (giả thiết) mà AC lại là cạnh huyền của

∆ADC nên DI là trung tuyến thuộc cạnh huyền này

∆ABC vuông tại A (giả thiết) nên C1B1   90 (Theo định lí:

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

∆ADB vuông tại D A1 B1  90  (Định lí…)

Muốn chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp được một đường tròn ta sử dụng cách nào trong

5 phương pháp được sử dụng nhiều nhất trong chứng minh tứ giác nội tiếp?

Với giả thiết “∆ABC vuông tại A” ta nên dùng phương pháp sử dụng định lí đảo của định

lí và tứ giác nội tiếp

Xin phép độc giả, tôi nói với các bạn học sinh: Đây chỉ là bài toán của sở giáo dục và đào tạo Tỉnh Hà – Nam kiểm tra học sinh lớp 9 cuối năm học 2009 – 2010 nhưng với người giảng dạy thì đây là bài toán rất tốt để hướng dẫn học sinh phương pháp tư duy tìm ra cách giải toán học

Trở lại với bài toán

Do ∆ABC vuông ở A nên A1A2   90

Nếu ta chứng minh được D2 D3   90 thì dĩ nhiên tứ giác AIDE nội tiếp được đường tròn

Ta có ID = IA (chứng minh trên) nên ∆IAD cân tại I A2 D2 (1)

∆ADB vuông tại D có E là trung điểm của cạnh huyền AB

2

AB

EDEAEB (Theo định lí: Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) ∆EAD cân tại E (Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) A1 D3 (2)

EAI

EAI EDI EDI

cơ sở và trung học phổ thông

Bài 23: ĐỀ THI của tỉnh HÀ – NAM năm học 1998 – 1999

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) Trên đường chéo AC lấy điểm M khác với điểm O, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P

a) Chứng minh tứ giác OMNP là tứ giác nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh BN // OP

c) Giả sử cạnh hình vuông đã cho bằng a Tính BM.BN theo a

d) Từ O kẻ Dx vuông góc với mặt phẳng (ABCD) trên Ox lấy điểm K Gọi H là trực tâm của ∆KBC Chứng minh DH KCB

* BM.BN theo a

* OH KCB

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn

Ta sử dụng phương pháp nào trong 5 phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường tròn để chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn?

Với giả thiết: “Kẻ vuông góc”, “Tiếp tuyến” kết hợp với quan sát hình vẽ ta thấy ngay: Muốn chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn ta ứng dụng quy tắc cung chứa góc để chứng minh

Do MPAC (giả thiết) nên OMP 90 

NP là tiếp tuyến của (O) (giả thiết) nên ONP 90 

(Định lí về tiếp tuyến)

M và N cùng nhìn OP dưới hai góc bằng nhau và bằng 90  M, N nằm trên cung chứa góc 90  dựng trên đoạn OP hay tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn đường kính OP b) Chứng minh BN // OP

Có rất nhiều phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song với nhau như đã nêu ở các bài trước Trong các phương pháp chứng minh đó có một phương pháp được vận dụng

Sử dụng định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Muốn sử dụng tốt định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta phải chứng minh được N1 O1 vì hai góc này ở vị trí so le trong của hai đường thẳng BN và OP bị cắt bởi cát tuyến ON

Muốn chứng minh được N1 O1 ta tìm mối liên hệ giữa N1 với M1 và B1

Qua tư duy, phân tích để tìm cách giải ở trên ta thấy đề toán này là đề toán rất hay

Xin phép cho tôi nói sơ qua về cái hay trong một đề toán (chỉ là sơ qua)

Một đề toán hay phải là đề toán mà người giải phải sử dụng nhiều kiến thức cơ bản, giải qua nhiều bước, câu trên mở đường cho câu dưới, nhưng không mang tính “đánh đố” người giải Bài toán này đã có tất cả các điều kiện đó Nên là bài toán hay

Ta lại quay trở lại bài toán

Do tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn nên:

1

1

O M (Hai góc nội tiếp cùng chắn NP) (1)

Vì MP // BD (cùng vuông góc với AC) B1 M1 (Hai góc đồng vị) (2)

∆OBN có OB = ON (= R) nên ∆OBN cân tại O (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) N1 B1 (Theo định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau) (3)

- Tính chất phân giác của tam giác

- Dùng 3 định lí về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

- Dùng 1 trong 4 định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông

Muốn tính được BM.BN theo a ta sử dụng định lí nào? Câu trả lời có trong cách giải:

Đây là một câu về hình học không gian: chứng minh

một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng Nếu là

đề toán của lớp 11 thì câu này giải rất hay Nhưng đây là

đề thi của lớp 9 nên chỉ giải theo kiến thức của lớp 9

Phương pháp chung để chứng minh một đường thẳng

vuông góc với một mặt phẳng là:

Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một

mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với

hai đường thẳng giao nhau nằm trong mặt phẳng ấy

∆KOC và ∆KOB đều vuông tại O (vì KOABCD) có:

OK = OK (cạnh chung của hai tam giác)

90

OC = OB (nửa hai đường chéo của một hình vuông)

KC = KB (Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) ∆KBC cân tại K Trong ∆KBC dựng các đường cao KE và CI lần lượt ứng với các cạnh BC và KB Chúng cắt nhau tại H EB = EC (Tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là trung trực của cạnh này Đường KE cũng là phân giác của BKCBKECKE

Lại có C1 K1 (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc cả hai đều nhọn) và cũng có

O là trung điểm của BD (Tính chất đường chéo của hình vuông)

E là trung điểm của cạnh BC (chứng minh trên)

OE là đường trung bình của ∆BCD (Theo định nghĩa: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của một tam giác là đường trung bình của tam giác đó), OE cũng là đường trung bình của ∆ABC

Từ (4) và (5) có OH KBC (vì OHKE và OHBC cắt KE tại E)

Bài 24: Đề thi của tỉnh HÀ NAM năm học 1999 – 2000

Cho ∆ABC vuông ở A và một điểm D nằm ở giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E, các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai F và G a) Chứng minh các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh AC // FG

c) Chứng minh các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy

d) Từ A vẽ đoạn thẳng AP = a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (PBC) biết AB = AC = b

* ADEC nội tiếp đường tròn

* AFBC nội tiếp đường tròn

* AC // FG

* AC, DE, BF đồng quy

* Tính d từ A đến (PBC)

Chứng minh

a) Chứng minh ADEC và AFBC nội tiếp

Với giả thiết “∆ABC vuông ở A”, “đường

tròn đường kính BD” Tam giác vuông dĩ

nhiên có góc vuông

Đường tròn đường kính BD cũng dẫn đến

góc vuông, từ đó ta dùng định lí đảo của

định lí về tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ

giác ADEC nội tiếp được đường tròn

tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180  thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn)

* Chứng minh tứ giác AFBC nội tiếp được đường tròn

Muốn chứng minh tứ giác AFBC nội tiếp được đường tròn ta dùng phương pháp nào?

Từ giả thiết “tam giác vuông”, “CD cắt đường tròn đường kính BD tại F” ta thấy ngay A

và F cùng nhìn BC dưới góc 90  Từ đó khẳng định được ngay phương pháp chứng minh câu này

90

BAC  (giả thiết)

BFD cũng là BFC 90  (vì BFD nội tiếp chắn nửa đường tròn)

A và F cùng nhận BC dưới góc 90  A và F nằm trên cung chứa góc 90  dựng trên đoạn BC (Áp dụng quỹ tích cung chứa góc) Vậy tứ giác ACBF nội tiếp đường tròn

đường kính BC tâm O

b) Chứng minh AC // FG

Có rất nhiều phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song với nhau Trong các phương pháp đó có một phương pháp:

Muốn chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta chứng minh hai đường thẳng

đó cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)

Với đường tròn (O1) đường kính CD có:

2

1

C E (Hai góc nội tiếp cùng chắn AD)

Với đường tròn (O) đường kính BC có:

E B (Hai góc nội tiếp cùng chắn FD) (2)

Từ (1) và (2) ta có E1 E2 (cùng bằng B1) DFDG D là điểm chính giữa của cung

FG BDGF (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy)

  AC // GF (cùng vuông góc với AB)

c) Chứng minh AC, DE, BF đồng quy

Gọi K là giao điểm của CA và BF

∆KBC có BA là đường cao thuộc cạnh CK

CD là đường cao ứng với cạnh BK

CKCDD nên là trực tâm của ∆KBC KD cũng là đường cao của ∆KBC

Vậy DE, AC, BF đồng quy tại D

d) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (PBC) khi AB = AC = b

Gọi M là trung điểm của cạnh BC

∆ABC vuông tại A (giả thiết) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

Trong ∆PAM vuông tại A

Từ hạ AHPM AH là đường cao thuộc cạnh huyền PM AH chính là khoảng cách

Bài 25: Đề thi vào lớp 10 của tỉnh HÀ – NAM năm học 2008 – 2009

Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) không đi qua tâm cắt (O) tại A và B

Qua M nằm trên đường thẳng d và ở phía ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MC và

MD với đường tròn (O) trong đó C, D là tiếp điểm

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh ∆MCA ∽ ∆MBC

c) Chứng minh AC BD  AD BC.

d) Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d, chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp

∆MCD luôn nằm trên một đường thẳng cố định

tiếp ∆MCD luơn đi động

trên đường thẳng cố định

khi M di động trên (d)

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp được đường trịn

Nhắc lại: Cĩ 5 phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường trịn Ta dùng phương pháp nào để chứng minh tứ giác CMDO nội tiếp đường trịn?

Nếu ta thuộc kiến thức cơ bản, nắm được phương pháp chứng minh hình học thì ta thấy ngay phương pháp dùng để giải câu này

Với giả thiết “tiếp tuyến” ta biết rằng cĩ các gĩc vuơng, cĩ hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì dĩ nhiên cĩ tứ giác, tứ giác này cĩ hai gĩc đối diện là các gĩc vuơng thì dĩ nhiên

tứ giác nội tiếp được đường trịn

Do MC và MD là hai tiếp tuyến của đường trịn (O) cùng xuất phát từ M nên:

90 (Định lí về tiế p tuyế n)

90 90 180

90 (Định lí về tiế p tuyế n)

OCM

OCM ODM ODM

Vậy tứ giác CMDO nội tiếp đường trịn tâm K

b) Chứng minh ∆MCA ∽ ∆MBC

Câu này đề bài yêu cầu ta chứng minh hai tam giác đồng dạng với nhau

Muốn chứng minh hai tam giác đồng dạng ta sử dụng một trong ba định lí về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Muốn chứng minh ∆MCA ∽ ∆MBC ta sử dụng định lí nào để chứng minh? Dựa vào giả thiết “tiếp tuyến AC, MD”, “cát tuyến” đều xuất phát từ một điểm M Hai tam giác ta phải chứng minh đồng dạng lại cĩ chung đỉnh C1 và đỉnh C Từ giả thiết này ta biết ngay phải sử dụng định lí về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác

∆MCA và ∆MBC cĩ:

(gó c chung củ a hai tam giá c)

1 (Hai gó c cù ng có số đo bằ ng sđ

c) Chứng minh AC BD  AD BC.

Muốn chứng minh tích nọ bằng tích kia ta sử dụng một trong 9 định lí được sử dụng nhiều trong chứng minh thể loại tốn này

Câu này ta sử dụng định lí nào? Như ta đã tư duy ở trên, câu này phải sử dụng định lí về tam giác đồng dạng

∆MCA ∽ ∆MBC (chứng minh trên) AM AC

MC  BC (1)

∆ADM và ∆DBM cĩ:

(gó c chung củ a hai tam giá c)

1 (Hai gó c cù ng có số đo bằ ng sđ

Vì MD MC (Định lí: Hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm thì điểm

đĩ cách đều hai tiếp điểm) AM AM

Muốn xác định được điểm K là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆MCD nằm trên đường thẳng

cố định nào, ta phải làm được mối quan hệ giữa phần tử di động là điểm K và điểm M với các phần tử cố định và khơng đổi cĩ trong đề bài

Theo đề bài thì cĩ 3 điểm cố định là: tâm O của đường trịn, A và B là do đường thẳng (d) cố định cắt đường trịn (O) cố định tạo nên Do đĩ A và B là hai điểm cố định Từ các điểm cố định trên dẫn đến các yếu tố khơng đổi là: bán kính R của (O) khơng đổi, độ dài của điểm AB khơng đổi, khoảng cách từ tâm O của đường trịn (O) cố định đến đoạn thẳng AB vừa cố định vừa khơng đổi cũng là độ dài khơng đổi

Mối quan hệ giữa yếu tố di động là điểm M kéo theo tâm của đường trịn ngoại tiếp

∆MCD với các yếu tố cố định và khơng đổi là gì?

Từ O hạ OHAB thì độ dài của đoạn thẳng OH khơng đổi Gọi I là trung điểm của đoạn

OH thì IK là đường trung bình của ∆OHM

IK // AM hay IK // (d) mà đường thẳng (d) cố định, điểm I cố định thì IK cố định

Vậy khi M di động trên đường thẳng (d) cố định thì tâm K của đường tròn ngoại tiếp

∆MCD nằm trên đường thẳng song song với đường thẳng (d) cố định và đi qua điểm I cố định là trung điểm của đoạn OH cố định

Bài 26: Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác của ABC cắt đường chéo AC thành hai đoạn thẳng có độ dài 42

Tính kích thước hình chữ nhật bằng kiến thức cơ bản nào?

Có nhiều phương pháp tính kích thước của hình chữ nhật này

AB BC BC

AC

BC  (4)

Vậy kích thước của hình chữ nhật là AB = 6m, BC = 8m

Cách 2: Phần trên làm tương tự như cách 1 thì được 3

Bài 27: Đề thi của tỉnh Hải Dương năm 2006

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và (O2) nằm ở nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng O1O2 chứa điểm B có các tiếp điểm thứ tự

là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự tại C và D

Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I

1 Chứng minh IACD

2 Chứng minh tứ giác IEBF nội tiếp được đường tròn

3 Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF

Giải

Câu này thuộc thể loại chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau đã nêu ở các bài trước

Bài này dùng phương pháp nào để chứng minh IACD?

Với giả thiết “CD // EF” sẽ tạo ra các cung tương ứng bằng nhau Có cung bằng nhau thì

có dây căng cung bằng nhau Có các dây cung bằng nhau có thể tạo ra các tam giác cân

Có các tam giác cân có thể dẫn đến các đoạn thẳng bằng nhau, từ các đoạn thẳng bằng nhau có thể dẫn đến tam giác vuông

Ta có EF // CD (giả thiết) CAEAEF (Hai góc so le trong) mà ACE AEF (Hai góc đều có số đo bằng 1

2sđAE) ECA EAC (cùng bằng AEF) ∆EAC cân tại E (theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó

là tam giác cân) EC = EA (Hai cạnh bên của một tam giác cân) (1)

Nếu ta chứng minh được EI = EA thì sẽ có

2

IC

ECEAEI  thì dĩ nhiên ∆ACI vuông tại

A

Làm thế nào để chứng minh được EI = EA?

Đến đây bài toán lại thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, phương pháp được sử dụng nhiều là: chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng đó bằng nhau

Tam giác nào có chứa AE và tam giác nào chứa đoạn EI? Hai tam giác này có bằng nhau không?

Vậy IACD

3 Chứng minh AB đi qua trung điểm J của EF

Câu này thuộc thể loại toán chứng minh một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng Có rất nhiều phương pháp chứng minh một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng Ví dụ:

- Sử dụng định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

- Định nghĩa đường trung trực

- Tính chất của tam giác cân

- Định nghĩa đường trung bình của tam giác

- Định lí 1 về đường trung bình của tam giác

- Định lí 1 về đường trung bình của hình thang

- Tính chất đường chéo của hình bình hành

- Tỷ số giữa hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng, trong tỷ lệ thức này có hai

số hạng tương ứng của hai tỷ số bằng nhau) v v

Với câu này ta dùng tam giác đồng dạng và có một loạt góc bằng nhau

Gọi J là giao điểm của AB và EF

∆BJE và ∆EJA cĩ: (góc chung của hai tam giác)

.

JE JA JB

Chứng minh tương tự cũng được JF2 JA JB.

JE = JF J là trung điểm của EF

Vậy AB đã đi qua trung điểm J của EF

Bài 28: Cho đường trịn (O ; R) Hai đường kính AB và CD vuơng gĩc với nhau E là

điểm chính giữa của cung nhỏ BC, AE cắt OC tại F; DE cắt AB tại M

a) ∆CEF và ∆EMB là các tam giác gì?

b) Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp được một đường trịn Tìm tâm của đường trịn đĩ c) Chứng minh rằng các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy

a) Chứng minh các ∆CEF và ∆EMB là các tam giác cân

Nhắc lại: Cĩ 3 phương pháp được sử dụng nhiều để chứng minh một tam giác là tam giác cân:

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta chứng minh tam giác đĩ cĩ hai cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta chứng minh tam giác đó có một đường chủ yếu mang hai tính chất

Bài này ta dùng phương pháp nào?

Với giả thiết “Đường kính vuông góc với nhau”, “điểm chính giữa của cung” là các giả thiết tạo ra các góc bằng nhau Nên bài này muốn chứng minh các tam giác cân ta dùng định lí: (Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân) để chứng minh:

2

CE BD

sñFCEsñ 

(Theo định lí: Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn)

4

ADBD đường tròn nên FCE CFE  ∆ECF cân tại E (Theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân)

Chứng minh tương tự cũng được ∆EMB cân tại E

b) Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp được đường tròn

Bài này ta sử dụng phương pháp nào trong 5 phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường tròn?

Từ các chứng minh trên có các tam giác cân dẫn đến các đoạn thẳng bằng nhau

Các đoạn thẳng này đều có chung mút điểm E Từ đó ta dự đoán các đỉnh của tứ giác ta phải chứng minh nội tiếp đường tròn có chung một tính chất: cách đều điểm E Ta phải chứng minh được điều này

Do DECF cân tại F (chứng minh trên) EC = EF

∆EBM cân tại E nên EM = EF

Lại có E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC (giả thiết)

EC = EB (theo định lí: Trong một đường tròn, hai cung

bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau)

ECEFEM EM C, F, M, B cách đều điểm E nên tứ giác BMFC nội tiếp đường tròn tâm E bán kính EB

c) Chứng minh OE, BF, CM đồng quy

Trong chương trình hình học của trung học cơ sở có A định lí nói về ba đường thẳng đồng quy Đó là:

* Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

* Tính chất ba đường phân giác của một tam giác

* Tính chất ba đường cao của một tam giác

* Tính chất ba đường trung trực của một tam giác

Theo giả thiết và quan sát hình vẽ thì ba đường OE, BF, CM không nằm trong 4 trường hợp nêu trên

Ta dùng phương pháp nào để chứng minh được OE, BF, CM đồng quy?

Ngoài 4 phương pháp dựa vào 4 tính chất của 4 loại đường chủ yếu của tam giác

Ta còn phương pháp khác:

Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh một trong ba đường buộc phải đi qua giao điểm của hai đường kia

Gọi I là giao điểm của BF và CM

Ta có OB OC R O cách đều B và C O nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC

(1)

Lại có EB = EC (chứng minh trên) E nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC

Tứ giác BCFM nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) nên MBCFCB (Hai góc nội tiếp cùng chắn 1

4 đường tròn) = 45 

BMCF (Theo định lí: Trong một đường tròn hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắc hai cung bằng nhau) CBFBCM (Theo định lí: Trong một đường tròn hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau)

∆BIC cân tại I (Theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó

là tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) có OE nằm trên trung trực của BC và IE cùng nằm trên trung trực của BC

OE = IE

Hay O, I, E thẳng hàng OE đi qua I

Vậy CM, BF, OE đồng quy tại I

Bài 29: Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Một đường thẳng d thay đổi cắt

Ax tại M, cắt By tại N sao cho luôn luôn có 2

AM BN a

1 Chứng minh ∆AOM ∽ ∆BNO và MON 90 

2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với nửa đường tròn cố định tại H