Bai tap on tap chuong iv dai so 9 yuz5s

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ LỚP 9 I Kiến thức cần nhớ 1 Hàm số  2 0y ax a  * Hàm số nghịch biến khi 0x  đồng biến khi 0x  * 0y  là giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi 0x  * Hàm số đồng bi[.]

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ LỚP 9

I Kiến thức cần nhớ

1 Hàm số 2 

0

yax a

* Hàm số nghịch biến khi x 0 đồng biến khi x 0

* y 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi x 0

* Hàm số đồng biến khi x 0 nghịch biến khi x 0

* y 0 là giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi x 0

2 Phương trình bậc hai 2  

ax bx c a

2 4a

  

*   0 phương trình có hai nghiệm phân

biệt

     

* Nếu   0 thì phương trình có nghiệm

kép 1 2

2a

b

x x  

* Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm

2

2

b ac b b

* Nếu    0 thì phương trình có hai nghiệm

     

* Nếu    0 thì phương trình có nghiệm kép:

1 2

b

x x

a





 

* Nếu    0 thì phương trình vô nghiệm

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

* Nếu x x1, 2 là loại nghiệm của phương trình 2  

ax bx c a thì:

1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a

    





  



* Muốn tìm hai số u và v, biết u v S và u v P ta giải phương trình: 2

x S  P (Điều kiện để có u và v là S2  4P 0)

* Nếu a b c   0 thì phương trình 2  

ax bx c a có hai nghiệm: x1 1 và x1 c

a



* Nếu a b c   0 thì phương trình 2  

ax b  c a có hai nghiệm: x1 1;x2 c

a

   

II Bài tập

Bài 1: (54/63/SGK, Tập 2)

Vẽ đồ thị hàm số 1 2

4

y x và 1 2

4

y  x trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Qua điểm B 0; 4 , kẻ đường thẳng song song với trục Ox Cắt đồ thị của hàm số 1 2

4

y x

tại hai điểm M và M’ Tìm hoành độ của M và M’

b) Tìm trên đồ thị của hàm số 1 2

4

y  x điểm N có cùng hoành độ với điểm M, điểm N’ có cùng hoành độ với điểm M’ Đường thẳng MN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách

- Ước chung trên hình vẽ

- Tính toán theo công thức

Giải

a) TXĐ  ¡

Bảng giá trị

2 1 4

2 1 4

y  x -4 -1 0 -1 -4

Qua bảng giá trị đã được tính toán ta thấy hoành độ của M là -4, hoành độ của M’ là 4

b) Qua tọa độ và hình vẽ ta thấy NN / /Ox và N là N’ cách đều Ox

- Ước lượng trên hình vẽ thì tung độ của N và N’ là -4

- Tính toán theo công thức thì:

 2

1

4

N

y     

2

1

4

N

y    

Bài 2: (55/63/SGK, Tập 2)

Cho phương trình 2

2 0

x   x a) Giải phương trình

b) Vẽ hai đồ thị 2

yx và y x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ

c) Chứng minh rằng hai nghiệm tìm được trong câu a, là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

Giải

a) Giải phương trình 2

2 0

x   x

Phương trình 2

2 0

x   x có các hệ số a 1;b  1;c  2 nên có

   

1 1 2 1 1 2 0

Do đó: x1   1 và  

2

2

c x a

 

    

b) Vẽ đồ thị:

TXĐ  ¡

2

2

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: -1;2

Đó là các nghiệm của phương trình x2   x 2 x2   x 2 0

Bài 3: (56/63/SGK, Tập 2)

Giải phương trình:

a) 4 2

3x  18x   9 0 b) 4 2

2x  3x   2 0 c) 4 2

x  x  

Giải

Bài này để bài yêu cầu ta giải các phương trình trùng phương Phương pháp giải phương trình trùng phương ta đã được học ở các bài trước

a) Đặt 2  

0

x t t thì phương trình 4 2

3x  18x   9 0 trở thành phương trình 2

3t  12t  9 0 Phương trình này có các hệ số a 3;t  12 và c 9 nên:

 

3 12 9 3 12 9 0

3

c t a

  

* Với t1 1 thì 2

x    x

* Với t1 1 thì 2

x    x

* Với t2  3 thì 2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 1; 1; 3;   3

b) Giải phương trình 4 2

2x  3x   2 0 Phương trình 4 2

2x  3x   2 0 là phương trình trùng phương nên khi giải ta đặt ẩn phụ: Đặt 2  

0

x  y y thì phương trình 4 2

2x  3x   2 0 trở thành phương trình 2

2y  3y  2 0 phương trình có các hệ số a 2;b 3;c  2 nên biểu thức:

 

4a 3 4.2 2 9 16 25 0

Do   25  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b

x       

2

2

b

x             

(loại)

Với 1 1

2

y  ta có 2 1 2

x   x 

Vậy tập nghiệm của phương trình là 2; 2

S   

 

c) Giải phương trình 4 2

x  x  

2

0

1 0

x







     



 

Phương trình vô nghiệm

Bài 4: (57/63/SGK, Tập 2)

Giải phương trình:

a) 5x2  3x  1 2x 11 b)

2

x  x x

c) 10 22





0,5 7 2

  

 

2 3x   x 1 3 x 1 f) 2  

x  x  x

Giải

a) Giải phương trình 2

5x  3x  1 2x 11

2

5x 3x 1 2x 11 0

      Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

 

2

5x 5x 10 0 a

    Ước lượng các số hạng đồng dạng

Chia cả hai vế của phương trình (a) cho 5, ta có 2

2 0

x   x phương trình này có các hệ số

a b  c  nên a b          c 1    1 2 1 1 2 0

Do đó x1  1 và  

2

2 2 1

c x a

 

   

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S   1; 2

Cách khác:

5x  3x  1 2x  11 5x  3x 2x   11 1 0 2  

5x 5x 10 0 b

Chia cả hai vế của (b) cho 2

2 0

x x

    phương trình có a 1;b  1;c  2

4 1 4.1 2 1 8 9

b ac

 

1

2

b

x       

 

1

1

b

x        

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S   1; 2

b) Giải phương trình

2

x  x x

Quy đồng mẫu số (MTC: 30) và tìm nhân tử phụ của từng phân thức

x

2

6x 20x 5x 25

    Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

6x 20x 5x 25 0

     Ước lược các số hạng đồng dạng

2

6x 25x 25 0

    Phương trình có các hệ số

a b  c  nên:

25 4.6 25 625 600 1225 0

        

Do   1225  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1

25 1225 25 35 60

5

b

x

a

 

 

2

b

x

a

 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: 5; 5

6

S      

 

c) Giải phương trình 10 22





 

TXĐ: x 0;x 2

Hai vế của phương trình là các phân thức có mẫu thức khác nhau và có chứa biến

Muốn giải được phương trình 10 22





  ta phải quy đồng mẫu thức để khử mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức ta phải tìm được mẫu thức chung

Muốn tìm được mẫu thức chung ta phải tính các mẫu thức ra thừa số

Ta có:

2

MTC: x x  2

Tìm thừa số phụ và khử mẫu thức:

2

2

10 2

10 2



2

2 10 0

   

Phương trình có các hệ số a 1;b  1;c 10 nên có biệt thức: 2 2  

1 1 10 1 10 11

b ac

Do    11 0  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

1 11

11 1 1

b

x

a



    

2

1 11 1

b

x

a

 

    

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 11 1; 1    11

d) Giải phương trình 0,5 7 2 2



 

3

x 

Phương trình có hai vế là hai phân thức có mẫu thức khác nhau Do thế muốn khử được mẫu thức ta phải quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng phải phân tích các mẫu thức ra thừa số để tìm mẫu thức chung

2

    x 0, 5 3x 1   7x 2 2

3x x 1,5x 0,5 7x 2

2

3x 6,5x 2,5 0

Phương trình 2

3x  6,5x 2,5 có các hệ số a 3;b  6,5;c   2,5

2

4 6, 5 4.3 2, 5 42, 25 30 72, 25

b ac

Do   72, 25  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

6,5 72, 25 6,5 8,5 15 5

b

x

a

  

2

6, 5 8, 5 2 1

b

x

a

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 5

2

 

  

 

e) Giải phương trình 2  

2 3x   x 1 3 x 1

2

2 3x x 1 3x 3

2

2 3x x 1 3x 3 0

2

2 3x 1 3 x 1 3 0

     

Phương trình: 2 3x2  1 3x  1 3  0 có các hệ số: a 2 3;b 1 3;c  1 3

Do đó có biểu thức:  2  

1 3 4.2 3 1 3 1 2 3 3 8 3 24

25 10 3 3 5 3

Do  2

3 1 5 3 3 3 1 5 3 1 3

;

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: 3 1; 3

S   

 

f) Giải phương trình 2  

x  x  x

2

    

2

2

     

Phương trình có các hệ số a 1;b2 2 3 ;   c  4 3 2

 biểu thức  2  

2 2 3 4.1 4 3 2

       8 12 2 9 16 12 2     1

x       x      

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S2  2;1  2

Bài 5: (58/63/SGK,Tập 2)

Giải phương trình:

a) 3 2

1, 2x x  0, 2x 0 b) 3 2

5x x  5x  1 0

Giải

a) 3 2

1, 2x x  0, 2x 0 Phân tích vế phải ra thừa số:

2

1, 2 0, 2 0 2

x

x x





    

  

(2) có a 1, 2;b  1;c  0, 2 nên a b c   1, 2      1 0, 2 0

Do đó ta có:

0 1 1 6

x x

x



 







 



b) Giải phương trình 3 2

5x x  5x  1 0 Muốn giải được phương trình này ta phân tích đa thức ở vế trái ra thừa số rồi đưa phương trình về dạng tích:

5x x  5x   1 0 5x x  5x  1 0

   

2

5 1 5 1 0

   2 

5x 1 x 1 0

   

5x 1x 1x 1 0

1

x

 





        

      



Vậy tập nghiệm: 1; 1;1

5

S   

 

Bài 6: (59/63/SGK, Tập 2)

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a)  2  2 2 

2 x  2x  3 x  2x   1 0 b)

2

4

x

       

Giải

Đề bài đã gợi ý cho ta cách giải bài toán này: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

a) Đặt 2

2

x  x y thì phương trình  2  2 2 

2 x  2x  3 x  2x   1 0 trở thành phương trình:

2

2y  3y  1 0

Phương trình 2

2y  3y  1 0 có các hệ số a 2;b 3 và c 1 Với b 3 là hệ số lẻ nên phương trình có biệt thức:

4 3 4.2.1 9 8 1 0

b ac

        

1 0

1

b

y

a

       

2

1

b

y

a

       

1

y   x  x  x  x  2

1

         

 2

2 2.1 4 2 2 0



        nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

1

x

 

2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 1;2 2 2; 2

b) Giải phương trình

2

4

x

       

Đặt x 1 y

x

  thì phương trình

2

4

x

       

    trở thành phương trình

2

4 3 0

y  y 

Khi giải phương trình bậc hai dạng 2

0

ax bx c  ta phải chú ý

- Công việc đầu tiên phải làm là: Kiểm tra các hệ số của phương trình phải giải có nằm trong các trường hợp:

* a b c  có bằng 0 hay không? Nếu a b c   0 ta có ngay x1  1 còn x2 c

a



* Nếu a b c   0 thì x 1   1 còn x2 c

a

 

Nếu phương trình phải giải không nằm trong hai trường hợp này ta mới nghĩ đến phương trình đã cho bằng biểu thức, hoặc bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Liên hệ với phương trình 2

4 3 0

y  y  ta thấy: a 1;b  4;c 3

 

1 4 3 1 4 3 0

a b c

Do đó ta có: y1 1 và 2 3 3

1

c y a

  

* Với y1 1 thì 1 2

x

     2

1 0

x x

    có a 1;b  1;c 1

           

 phương trình vô nghiệm

* Với y2   3 thì 1 2

x

           

1

b

x

a

      

2

b

x

a

    

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 3 5; 3 5

    

Bài 7: (60/64/SGK, Tập 2)

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm, hãy tìm nghiệm kia

a) 2

12x  8x  1 0 có 1 1

2

2x  7x 39  0 có x1  3

c) 2

2 2 0

x  x  có x1   2 d) 2

x  mx m   có x1 2

Giải

Ta phải vận dụng những kiến thức cơ bản nào để giải bài toán này?

Xin phép độc giả, tôi nhắc lại với các bạn học sinh

- Các bạn có nhớ kiến thức nào nói về tổng hai nghiệm của phương trình bậc hai dạng

2

0?

ax bx c 

Trong các kiến thức ta vừa học có định lí Vi-ét nói về tổng hai nghiệm của phương trình bậc hai

Vận dụng công thức của định lí Vi-ét: S x1 x2 b

a

    ta giải các phương trình của bài toán trên

a) Với phương trình 2

12x  8x  1 0 có 1 1

2

x  thì  

2

x  

     

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 1

2

 

  

 

b) Phương trình 2

2x  7x 39  0 có x1   3 thì x2 là:

         

c) Với phương trình 2

2 2 0

x  x  có a1 1;b 1;c  2 2

Theo đề bài x1  2 thay x1   2 vào công thức: S x1 x2 b

a



   ta có:

1

1

     

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S   2; 2 1  

d) Phương trình 2

x  mx m   có x1 2

Thay x1 2 vào công thức x1 x2 b

a

   ta có:

2

1

m

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 2; 2m 1

Bài 8: (61/64/SGK, Tập 2)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u v u và u v  28 và uv b) u v  3; u v 6

Giải

Vận dụng kiến thức cơ bản nào để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng?

Dựa vào phương trình: 2

0

x Sx P trong đó S là x1x2 và P là x x1. 2 và biểu thức

2

4 .

   để tìm hai số

a) Theo đề bài 12

28

u v

u

u v

  





  và v là nghiệm của phương trình x212x280

Từ đó ta có 2 2

6 1.28 36 28 8

b ac

 

       

 

1

x    

 

2

x    

Theo giả thiết uv nên u  6 8 còn v  6 8

b) Theo giả thiết 3

6

u v

u v

  





  u và v là hai nghiệm của phương trình

2

x  x 

phương trình 2

x  x  có các hệ số a 1;b  3;c 6 nên có biểu thức:

 2 2

b ac

          

 Phương trình vô nghiệm

Vậy không có các số u, v thỏa mãn các điều kiện u v 3 và u v  6

Bài 9: (62/64/SK, Tập 2)

Cho phương trình 2   2

7x  2 m 1 xm  0 a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình

Giải

a) Dựa vào kiến thức cơ bản nào để tìm được giá trị của m để phương trình

7x  2 m 1 xm  0 có nghiệm

Chú ý câu hỏi: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

Có hai trường hợp phương trình có nghiệm:

* Nếu   0 hoặc    0 thì phương trình có nghiệm

0

  phương trình có hai nghiệm phân biệt (kể cả    0)

0

  hoặc    0phương trình có nghiệm nhưng là nghiệm kép x x

Có những bài toán chỉ cần xét trường hợp thứ nhất   0 hoặc    0là chỉ kết luận phương trình có nghiệm

Với phương trình 2   2

7x  2 m 1 xm  0 có các hệ số 2

a b  m cm

           nên phương trình:

7x  2 m 1 xm  0 có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2   2

7x  2 m 1 xm  0 theo Vi-ét ta có:

1 2

S

7

m b

x x

a

 

    

2

1 2

7

P x x

a



  

2

2 2

2 2

2.

Bài 10: (63/64/SGK, Tập 2)

Sau hau năm số dân của một thành phố tăng từ 2000000 người lên 2020050 người Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố tăng bao nhiêu phần trăm?

Giải

Bài toán này thuộc thể loại tính phần trăm Loại toán này đã giải nhiều ở các lớp dưới và trong chương trình cũng có nhiều bài tính phần trăm Nhưng dù khó hay đơn giản học sinh phải làm việc ở ngoài giấy nháp

Xác định các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết có trong bài toán Có làm được việc này và thực hiện đúng và đầy đủ quy tắc thì phần lí luận đi đến lập phương trình mới đầy đủ

Gọi x% là tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm x 0 Sau một năm dân số của thành phố có là:

2000000 2000000 2000000 20000

100

x

x

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

2000000 20000 2000000 20000

100

x x

2000000 40000x 200x

Theo bài ra ta có phương trình: 200x2  40000x 2000000  2020050

Chia cả hai vế cho 50 ta có: 2

4x  800x 401 0  phương trình có các hệ số a 4;b  400;c 401

400 4 401 160000 1604 161604 402

b ac

Do    402  0 nên phương trình có hai nghiệm đặc biệt:

1

400 402

0,5 4

và 2 400 402 0

4

(loại)

Vậy tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của thành phố là 0,5%

Bài 11: (64/64/SGK, Tập 2)

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị Nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính của một số dương với một số bé hơn nó hai đơn vị Kết quả của bạn Quân là 120 Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Giải

Gọi số đề bài đưa ra là x x  ¥ * Nhưng bạn Quân đã chọn số x 2 để nhân với số x và có

tích là 102 nên ta có phương trình:   2 2

x x   x  x x  x  Phương trình này có các hệ số: a 1;b   1;c  120 nên

2

1 2 2 120 1 120 121 0

b ac

Do    121 0  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1

1 121 1 11 12

12

b

x

a

  

 

 

2

10

b

x

a

  

 

Vậy số đề bài cho là 12

Nếu bạn Quân làm đúng thì kết quả phải là 12 12 2   12.121 168 

Bài 12: (65/66/SGK, Tập 2)

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi) Sau đó 1 giờ một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất 5 km/h Hai xe gặp nhau tại ga chính giữa quãng đường Tìm vận tốc của một xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900 km

Giải

Bài toán này thuộc thể loại toán chuyển động Đã là bài toán chuyển động thì chỉ có 3 đại lượng như đã nêu ở các bài trước

Để phần lí luận lập phương trình đầy đủ, và các phương trình đơn giản ta xác định những đại lượng đã biết và chưa biết của bài toán

* Những đại lượng đã biết:

- Quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900 km

- Vận tốc của xe thứ hai (xe từ Bình Sơn ra Hà Nội lớn hơn xe thứ nhất 5 km/h)

- Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 1 giờ