50 bai tap he thuc vi et va ung dung co dap an toan 9

BÀI TẬP HÊ THỨC VI – ET VÀ ỨNG DỤNG I Phương pháp giải Định lí Vi ét Nếu 1 2,x x là nghiệm của phương trình  2 0 0ax bx c a    thì 1 2 1 2 b x x a c x x a     * Nếu phương trình  2 0 0ax b[.]

BÀI TẬP HÊ THỨC VI – ET VÀ ỨNG DỤNG

I Phương pháp giải

Định lí Vi-ét:

Nếu x x1, 2 là nghiệm của phương trình 2  

ax bx c a thì:

1 2

1 2

b

x x

a

c

x x

a

  



* Nếu phương trình 2  

ax bx c a có các hệ số a b c   0 thì phương trình có một nghiệm x1  1 còn nghiệm kia là x2 c

a



* Nếu phương trình 2  

ax bx c a có các hệ số a b c   0 thì phương trình có một nghiệm là x1   1 còn nghiệm kia là x2 c

a



* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

X Sx P

Điều kiện có hai số đó là: 2

S  P

II Bài tập

Bài 1: (28/52/SGK, Tập 2)

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống ( )

a) 2

2x  17x  1 0 có   x1x2  .x x1 2 

b) 5x2  x 35  0 có   x1 x2  .x x1 2 

c) 2

8x   x 1 0 có   x1x2  .x x1 2 

d) 2

25x  10x  1 0 có   x1x2  .x x1 2 

Giải

Muốn giải được bài này theo yêu cầu của đề bài ta phải vận dụng định lí Vi-ét

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình 2  

ax bx c a thì

1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

  



Vận dụng định lí Vi-ét ta có:

a) Phương trình 2

2x  17x  1 0 có   281

1 2 1 2

17 2 1

2

b

a c

a

b) Phương trình: 2

5x  x 35  0 có   701

1 2 1 2

1 5

b

a c

a

      

    

c) Phương trình 2

8x   x 1 0 có     31 0

 2 2

4 1 4.8.1 1 32 31 0

(  b  ac        mà theo công thức nghiệm

Nếu phương trình 2  

ax bx c a có   0 hoặc   ' 0 thì phương trình vô nghiệm d) Phương trình 2

25x  10x  1 0 có   0

1 2 1 2

2

5

1

25

b

a c

a

      

Bài 2: (26/53/SGK, Tập 2)

Dùng kí hiệu a b c   0 hoặc a b c   0 để tính nhẩm nghiệm của mỗí phương trình sau: a) 2

7x  500x 507  0 c) x2  49x 50  0 d) 4321x2  21x 4300  0

Giải

a) Phương trình 2

35x  37x  2 0

có 35   37  2 0 nên x1  1 và 2 2

35

c x a

 

(Theo định lí phương trình 2  

ax bx c a có a b  c 0 thì x1  1 và x2 c

a



b) Phương trình 2

7x  500x 507  0 có a   b c 7 500   507 0

nên x1  1 và 2 507

7

c x a



c) Phương trình 2

49 50 0

x  x  có a b    c 1  49   50 0

nên x1  1;  

2

50 50

50

c x a

 



d) Phương trình 2

4321x  21x 4300  0

có a b c   4321 21    4300 4321 21 4300    0

1 1;

2

43

4300 4300

21 4321

c x

a



Bài 3: (27/53/SGK, Tập 2)

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2

7 12 0

x  x  b) 2

7 12 0

x  x 

Giải

Muốn giải được bài này ta phải vận dụng dạng tổng quát

2

0

x Sx P

Trong phương trình 2

0,

ax bx c  S chính là tổng của 2 nghiệm và P chính là tích của hai

nghiệm

Vì S  x1 x2

1 2

Px x

Từ dạng tổng quát cũng là công thức trên ta có:

a) 2

7 12 0

3.4 12

3 4 7

3

x

  





 và x2  4

Do đó 3 và 4 là hai nghiệm của phương trình 2

7 12 0

x  x 

b) Phương trình 2

7 12 0

x  x  có:

   

   

1 2

1

1 2

3

x

P x x

          



      và x2  4

Vậy x1  3 và x2   4 là hai nghiệm của hệ phương trình 2

7 12 0

x  x 

Bài 4: (28/53/SGK, Tập 2)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u v  32; uv 231 b) u v   8; .u v  105

c) u v  2; .u v 9

Giải

a) Vận dụng x2 Sx P 0 thì:

32; 231

u v  uv là nghiệm của phương trình:

2

32 231 0

x  x 

Phương trình x2  32x 231 0  có các hệ số a 1; 'b   16; c 231 nên có biệt thức

 2 2

' b' ac 16 1.231 256 231 25

' 0

   Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

x

x

b

u a

b

v a

  



 



b) Với u v   8; .u v  105 thì u và v là hai nghiệm của phương trình:

2

8 105 0

x  x 

Phương trình x2  8x 105  0 có các hệ số a 1; 'b  4; c  105 nên có:

Biệt thức 2 2  

' b' ac 4 1 105 16 105 121 0

Do   ' 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

b

u a

b

v a

x

x



          



              





c) u v  2; .u v  9 u và v là hai nghiệm của phương trình:

2 2 9 0

x  x  có các hệ số a 1; 'b   1; c 9

 2

' b' ac 1 1.9 1 9 8 0

          

Do   ' 0 nên phương trình vô nghiệm

Do đó không có giá trị nào của u và v thỏa mãn các điều kiện của đề bài

Bài 5: (29/54/SGK, Tập 2)

Không giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 2

4x  2x  5 0 b) 2

9x  12x  4 0 c) 2

5x   x 2 0 d) 2

159x  2x  1 0

Giải

Muốn giải được bài này ta phải sử dụng công thức:

1 2

b

a

   

1 2

c

P x x

a

Vận dụng các công thức này ta tính được tổng và tích các nghiệm của các phương trình:

a) 2

4x  2x  5 0 có: 1 2 2 1

b

a



       (a và c trái dấu)

4

c

P x x

a



Vây phương trình 2

4x  2x  5 0 có tổng hai nghiệm là 1

2

 và tích của hai nghiệm là 5

4



b) Phương trình 2

9x  12x  4 0 có các hệ số a 9; 'b   6; c 4 nên 2  2

' b' ac 6 9.4 36 36 0

Do   ' 0 nên phương trình có nghiệm kép: x1 x2

Theo hệ thức Vi-ét thì

1 2

12 4

b

a

 

1 2

4 9

c

P x x

a

Vậy phương trình 2

9x  12x  4 0 có tổng của hai nghiệm là 4

3 và tích của hai nghiệm là 4

9 c) Phương trình 5x2   x 2 0 có các hệ số: a 5;b 1;c 2 nên có biệt thức:

4 1 4.5.2 1 40 39 0

Do   0 nên phương trình vô nghiệm,

d) Phương trình 159x2  2x  1 0 có hệ số a 159 và hệ sốc  1

Vì a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhắc lại để các bạn học sinh nhớ:

Khi phương trình 2  

ax bx c a có hệ số a và hệ số c trái dấu thì phương trình bao giờ

cũng có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

2 159

b

a

    

1 2

1 159

c

P x x

a



Vậy phương trình 159x2  2x  1 0 có tổng hai nghiệm 1 2 2

159

x x  và tích hai nghiệm là

1 2

1

159

x x  

Bài 6: (30/54/SGK, Tập 2)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m

a) 2

x  x m  b) 2   2

x  m xm 

Giải

Dựa vào kiến thức cơ bản nào để tính được giá trị của m?

Ta dựa vào công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét để tính giá trị của m (m là hệ số c của phương

trình)

a) 2

x  x m  Phương trình này có:

 2 2

' b' ac 1 1.m 1 m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

1 m 0 (1 m 0

     có hai nghiệm phân biệt 1  m 0 phương trình có nghiệm kép)

1

m

 

Dựa vào hệ thức Vi-ét 1 2 2 2

1

b

x x

a

     và 1 2

1

a a

b) Phương trình 2   2

x  m xm  Phương trình có các hệ số 2

1; ' 1; .

a b  m cm Nên có biệt thức  2 2 2 2

A  m  m m  m m   m Phương trình có    ' 2m 1 nên phương trình có nghiệm x x1, 2

      

1

2

      (theo tính chất của bất đẳng thức từ  2m  1 ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức với   1 để được dấu   ở hai vế

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1

m

Và

2 2

1 2

1

a

Bài 7: (31/54/SGK, Tập 2)

Tính nhẩm nghiệm các phương trình:

a) 2

1,5x  1, 6x 0,1 0 

b) 2  

3x   1 3 x  1 0

c) 2  3x2  2 3x 2 3 0

d)   2  

m x  m x  m (với m 1)

Giải

- Làm thế nào để nhẩm mà tìm ra nghiệm của các phương trình đã cho?

- Dùng những kiến thức cơ bản nào đế nhẩm ra nghiệm của các phương trình đã cho?

Khi học toán, làm toán ta phải đặt ra hàng loạt câu hỏi để rồi tìm cách trả lời

Khi tìm được cách trả lời thích hợp tức là ta đã giải được bài toán

Muốn có câu trả lời nhanh nhất, chính xác nhất, hợp lí nhất cần phải có

* Kiến thức cơ bản vững vàng nhất

* Tư duy nhanh nhất, chính xác nhất, hợp lí nhất

* Quan sát kĩ càng nhất, đầy đủ nhất

Quan sát trong toán học không kém gì năng lực tư duy

Trong hình học quan sát hình vẽ giúp ta liên hệ với kiến thức cơ bản từ đó tìm ra cách giải nhanh và chính xác

Trong đại số quan sát biểu thức, đẳng thức giúp ta liên hệ với các kiến thức cơ bản đã học là tìm ngay được phương pháp giải bài toán ta phải giải

Ví dụ câu a) của bài này, khi quan sát ta thấy: hệ số a 1,5, hệ số b  1, 6, hệ số c 0,1. Khi quan sát các số của hệ số này ta thấy ngay

2

1,5x  1, 6x 0, 1 0  (a c  1, 6 mà b  1, 6    a b c 1,5 1, 6 0 1 0)   ,  thì là ta nhẩm ngay được kết quả của bài này

a) Phương trình 2

1,5x  1, 6x 0,1 0  có các hệ số:

1, 5; 1, 6; 0,1 1, 5 1, 6 0,1 0

a b  c    a b c     nên:

1 1

x  và 2 0,1 1

1,5 15

c x

a

Như vậy để giải được câu a) (giải nhẩm) ta đã sử dụng dạng tổng quát của Định lí Vi-ét Nếu phương trình 2

(

ax bx c  a có a b c   0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1 còn nghiệm kia là x2 c

a



b) Tư duy như câu a) phương pháp như câu a) ta có:

 

3; 1 3 ; 1

3 1 3 1 0

a b c

nên theo định lí Vi-ét ta có:

1 1

2

3 3

c x

a

 

(khử căn thức ở mẫu số ta phải nhân cả tử số và mẫu số của phân số 1

3 với 3 và được

3

)

3

c) Phương trình   2  

2  3 x  2 3x  2 3  0 có các hệ số

2 3; 2 3; 2 3

a  b c   nên ta có:

2 3 2 3 2 3

2 2 2 3 2 3 0

a b c       

Do a b c   0 nên phương trình đã cho có:

1 2

1;

c

a

 



Muốn trục căn thức ở mẫu thức của phân thức 2 3

 

 ta nhân mẫu thức 2 3 với biểu thức liên hợp của nó là 2  3, ta có:

2



Vậy x1  1

x   

d) Phương trình   2  

m x  m x  m (với m 1) có các hệ số:

a m b  m c m

Quan sát, nhẩm tích, liên hệ có định lí Vi-ét ta thấy ngay tồng của các hệ số

1 2 3 4 2 2 4 4 0



Do vậy phương trình đã cho có:

1 1

x 

2

4

1

x



 



Bài 8: (32/54/SGK, Tập 2)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u v  42; .u v 441 b) u v   42; .u v  400

c) u v  5; .u v  24

Giải

Đây là bài toán thứ hai thuộc thể loại này trong chương này

Bài trước ôi không nói nhiều về phương pháp tư duy, bài này xin phép các vị đọc giả tôi nói

vì các bạn học sinh

Muôn tư duy thật nhanh để tìm ngay được cách giải một bài toán thuộc loại nào đều xuất phát từ “Học”, không học thì không thành tài, đã không thành tài thì làm sao thi thố được Chỉ nói về việc học, ca dao, tục ngữ đã có vô số lời dậy của ông cha cho chúng ta Ví dụ

* Nhân bất học, bất chi lí

* Học nữa, học mãi

* Hồ chủ Tịch dậy: “Diệt giặc dốt, diệt giặc đói, giệt ngoại xâm”

Cách mạng tháng tám thành công, Hồ chủ tịch, Đảng, nhà nước lấy việc HỌC làm công việc trọng tâm, công tác hàng đầu

Ngày nay Đảng và nhà nước vẫn lấy giáo dục làm đầu, giáo dục được nhà nước ưu tiên hàng đầu

Chính sách là như thế, quan tâm như vậy, tại sao giáo dục ngày càng đi xuống?

Việt Nam ta nhiều người đang sống trong mộng ru, vì sao vậy? Chỉ vì ít học, nhất là sẽ học toán

Tôi lại nhắc lại: Á vận hội 17 chúng ta thua vì trình độ toán học, vật lí quá kém Nói về tinh thần, và quyết tâm tôi cũng như mọi người dân Việt Nam rất trân trọng đoàn thể thao Việt Nam tham gia Á vận hội 17 Nhưng muốn thắng ta phải lao vào học toán và vật lí Tạo sao phải học hai môn này nhờ các huấn luyện viên sẽ giải thích cho vận động viên Hầu hết các vận động viên nước ngoài họ đều học đại học, vì vậy mà họ thắng, không phải đầu tư nhiều thì thắng

Các bạn học sinh hãy lao vào học toán, toàn dân Việt Nam giỏi toán, mọi người đều sống vì mọi người thì Việt Nam sẽ trở thành cường quốc

Nếu chỉ nhà giáo, các nhà quản lí giáo dục đều lấy khẩn hiệu “Tất cả vì học sinh thân yêu” làm phương châm sống và làm việc thì giáo dục Việt Nam sẽ phát triển

Các bạn học sinh, các bạn lao vào học đi Đừng quá ham chơi Đừng đòi lại tuổi thơ một cách ngây ngô

Tuổi từ 6 đến 25 là tuổi học Tổ tiên ta đă dậy, “Văn ôn, võ luyện” lúc nào cũng phải ôn luyện mới thành tài Thành tài nhưng phải có đức

Thế nào là người có đức Tôi có ba chiêu chuẩn riêng của tôi

* Người có đức là người học để đạt mức tri thức cao nhất mà mình có thể đạt được

Ví dụ: cũng cùng có hoàn cảnh giống như mình mà người ta đạt được mức tiến sĩ Tôi không dùng bằng, hoặc học mà tôi dùng từ “mức” để chỉ tính thực của học vấn Vì ngày nay có quá nhiều tiến sĩ giấy, không có thực học

* Tiêu chuẩn thứ hai: Người có đạo đức là người sống vì mọi người lấy lợi ích của tập thể, của quốc gia làm đầu Đừng dựa vào may mắn ngồi ở cương vị này, cương vị nọ để chiếm của công làm của tư Móc tiền ở túi người khác bỏ vào túi mình

* Tiêu chuẩn thứ ba: Làm gì, nghĩ gì cũng lấy pháp luật làm kim chỉ nam Người đạt được bao chiêu chuẩn này mới là người có đức

Người lười học, trốn học, sợ học không phải là người có đức Người vì lí do đặc biệt nào đó

mà không có điều kiện đến trường, không có bằng cấp ta thông cảm với họ, không thể kết luận những người ấy là thiếu đạo đức

Tôi mong rằng các bạn học sinh luôn luôn phấn đấu để trở thành người đạo đức sau năm mình 25 tuổi trở đi

Quay lại bài toán, nếu là người chịu học, những bài toán như bài này không khó khăn để tìm được cách giải

Từ đó ta giải được ngay câu a)

a) 42

441

u v

 









 và v là hai nghiệm của phương trình:

2

42 441 0.

x  x  Như vậy phương trình này có các hệ số a 1; 'b   21; c 441.

Từ đó ta có biệt thức:

2

' b' ac 21 1.441 441 441 0

Do   ' 0 nên phương trình đã có nghiệm kép:

 

1 2

21 '

1

b

a

 

b) Ta cũng tư duy như trên, phương pháp như trên với

42

u v

u

u v

   





   và v là hai nghiệm của phương trình:

2 42 400 0

x  x  phương trình này có các hệ số a 1; 'b  21; c  400

841 29

b ac

Từ đó ta có: 1 ' ' 21 29 8 8

b x

a

2 ' ' 21 29 50 50

b x

a

Do đó u 8, v  50 hoặc u  50 thì v 8.

c) Tương tự như hai câu trên, ta có:

5

u v

 











 và v là hai nghiệm của phương trình:

2

5 24 0.

x  x  Phương trình này có các hệ số: a 1; b  5; c  24.

Từ đó ta có biệt thức:

2

4 5 4.1 24 25 96 121 0

Do   0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

1

5 121 5 11 16

8

b

x

a

  

 

1

3

b

x

a

  

Vậy u 8 thì v  3 hoặc u  3 thì v 8.

Bài 9: (33/54/SGK, Tập 2)

Chứng minh rằng nếu phương trình ax2 bx c  0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức

2

ax bx c phân tích được thành thừa số như sau:

2

ax bx c a xx xx

Áp dụng: Phân tích các đa thức thành thừa số:

a) 2

2x  5x 3 b) 2

3x  8x 2

Giải

Nếu học sinh chịu học, chịu nhớ thì bài toán này trở thành rất đơn giản Không thuộc kiến thức cơ bản, không rèn luyện năng lực tư duy thì bài toán nào cũng khó Không phải nâng cao là phải ra những bài toán khó

Ví dụ: Muốn dậy nâng cao cho bất kì lớp nào, chỉ hỏi một câu đơn giản Em hiểu như thế nào

về chữ a (A) trong toán học Tôi đã hỏi một thầy giáo dậy toán nhiều năm ở trung học phổ thông

Thầy tặc lưỡi: “Quá đơn giản: Chữ a là chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái của Việt Nam” Tôi

vô cùng buồn về câu trả lời này

Nếu chịu học một chút ta có thể viết về chữ a (A) trong toán học thành một tập sách ít nhất dầy 400 trang khổ 16 24 

Tôi nhắc lại cứ chịu học, thành tâm học là thành tài Tài đó phải có đức mới phục vụ được cho cộng đồng

Nếu chịu học, chịu nhớ ta biết ngay muốn giải bài này ta phải sử dụng dạng tổng quát