50 bai tap goc co dinh o ben trong duong tron goc co dinh o ben ngoai duong tron co dap an toan 9

Với những giả thiết như vậy ta nghĩ ngay đến: Muốn chứng minhES EMta phải chứng minh EMS Muốn chứng minh được EMS cân ta chứng minh EMS ESM EMS là góc tạo bởi tia tiếp tuyến ME và dây

BÀI TẬP GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN

NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

I Phương pháp giải

1 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Hình bên, đường tròn O có hai dây AB và CD cắt nhau tại

E nằm bên trong đường tròn BED có đỉnh E nằm bên

trong đường tròn nên được gọi là góc có đỉnh ở bên trong

đường tròn

Mỗi góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn đều chắn hai

cung, một cung nằm bên trong góc còn cung kia nằm bên

trong góc đối đỉnh của góc đó

Định lí:

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

2 Góc có đỉnh ở bên ngoài dường tròn

Hình (1)

Góc BEC có hai cạnh cắt đường tròn  O Hai cung bị

chắn là hai cung nhỏ AC và BD

Hình (2)

BECcó một cạnh là tiếp tuyến và cạnh kia cắt  O tại AB

Hai cung bị chắn là hai cung nhỏ AC và BC

Hình (3)

BEC có đỉnh nằm trên  O hai cạnh là hai tiếp tuyến của

và cung lớn BC

Định lí: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng

nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

II Bài tập

Bài 1: (36/82/SGK T2)

Cho đường tròn  O và hai dây AB và AC Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung

AB và AC Đường thẳng MN cắt AB tại E, cắt dây AC tại H

Chứng minh AEHlà tam giác cân

Bài này ta phải chứng minh AEH cân

Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta sử dụng một trong các cách đã nêu ở các bài trên

Bài này ta dùng cách nào để chứng minh AEHcân?

Với giả thiết “Điểm chính giữa”, “của các cung”, đã có điểm chính giữa của cung thì có các cung bằng nhau Đã có cung bằng nhau sẽ có góc bằng nhau Do thế: Muốn chứng minh

AEH

 là tam giác cân ta phải chứng minhAEH AHE

AEH và AHElà hai góc có đỉnh ở trong đường tròn

Muốn chứng minh được AEH AHEta phải có các cung bị chắn bởi hai góc này bằng nhau

Do M là điểm chính giữa của AB (giả thiết) nên cũng do N là điểm chính giữa của cung AC

nên AEH AHE AEH cân tại A (Theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì

tam giác đó là tam giác cân)

Bài 2: (37/82/SGK T2)

Cho đường tròn  O và hai dây AB và AC bằng nhau Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M Gọi

S là giao điểm của AM và BC Chứng minh ASCMCA

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta

chứng minh hai tam giác có chứa hai góc đó

bằng nhau

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta

chứng minh tam giác chứa hai góc đó là tam

giác cân

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta

chứng minh hai góc đó là hai góc so le trong

(hoặc so le ngoài được tạo bởi hai đường thẳng

song song là một cát tuyến)

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta

chứng minh hai góc là cặp góc đồng vị được tạo bởi hai đường thẳng song song là một cát tuyến

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh hai góc đó là hai góc đối đỉnh

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh hai góc đó cùng bù, hoặc cùng phụ với góc thứ ba Hoặc cùng bù, cùng phụ với hai góc bằng nhau

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh hai góc đó cùng bằng góc thứ ba

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh hai góc đó là hai góc đối của một hình bình hành

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng

* Muốn chứng minh hai góc bằng nhau, ta chứng minh số đo của hai góc đó bằng hoặc bằng nửa số đo của một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau v.v

Thấy đó: có rất nhiều phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau

Ta có: Dây AB = dây AC (giả thiết) ABAC(Theo định lí: Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì: Hai dây bằng nhau, căng hai cung bằng nhau)

AEBvà BTClà hai góc ở ngoài đường tròn  O

Muốn chứng minhAEBBTCta phải chứng minh được

các góc này có số đo bằng số đo của các cung bằng nhau.

AEBchắn các cung AB 1800vàCD có số đo 0

hiệu số đo của hai cung bị chắn)

b) Chứng minh CD là phân giác của BCT

Muốn chứng minh CD là phân giác của BCT ta phải chứng minh đượcC1C2

1

C là góc được tạo bởi tia tiếp tuyến CT của đường tròn  O và dây cung CD Nên:

0 0 1

60 30

60 30

sñ

sñC  DB   (Theo định lí: Số đo của góc nội tiếp, bằng nửa số đo của cung bị chắn) (4)

Từ (3) và (4) ta có C1 C2 CDlà phân giác của BCT

Bài toán này thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Trong các thể loại toán, thể loại chứng minh hai đường thẳng bằng nhau là thể có nhiều cách chứng minh vào bậc nhất

Các bài trước đã nhắc đi nhắc lại các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài này chú ý: Hai đoạn thẳng đề bài yêu cầu chứng minh chúng bằng nhau là hai cạnh của một tam giác Từ đó ta biết ngay muốn chứng minh ES EMta chứng minh EMS cân

Chứng minh EMS cân bằng cách nào?

Với giả thiết: “Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau” ta có vuông góc thì có cung bằng nhau, cung bằng nhau sẽ có góc bằng nhau

Và giả thiết: “Tiếp tuyến, dây cung” cũng dẫn đến góc bằng nhau

Với những giả thiết như vậy ta nghĩ ngay đến: Muốn chứng minhES EMta phải chứng minh

EMS

Muốn chứng minh được EMS cân ta chứng minh EMS ESM

EMS là góc tạo bởi tia tiếp tuyến ME và dây cung MC chắn MBBCnên

2

sñ

(Theo định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số

đo của cung bị chắn) EMS là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn nên:

sñ sñ

MB BC EMS

MB BC ESM

EMSESM EMS cân tại E (Theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì

tam giác đó là tam giác cân)ESEM

Bài 5: (40/83/SGK T2)

Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn O , vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến BC của đường tròn

Tia phân giác của BAC cắt dây BC tại D Chứng minh SASD

Do giả thiết cho dây và tiếp tuyến ta nghĩ ngay đến cách chứng minh SAD bằng định lí:

“Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”

Muốn chứng minh được SAD cân tại S phải chứng minh SADSDA

SAD là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây AD chắn ABBE

SDAlà góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn ABvàCE

Do AD là phân giác của BACnên A1 A2 BECE(Theo định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau)

 (Theo định lí: Góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số

đo của hai cung bị chắn) Mà CEBE (chứng minh trên)

Làm thế nào để chứng minh được A BSM  2.CMN.

Ba góc thuộc đẳng thức mà đề bài yêu cầu ta chứng minh thì Alà góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn  O , BSMlà góc có đỉnh nằm ở trong đường tròn  O còn CMNlà góc nội tiếp Vậy có vận dụng ba định lí: Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn, góc có đỉnh ở trong đường tròn

là góc nội tiếp để chứng minh đẳng thức này được không?

 (Theo định lí: Góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc)

Mà sñCN 2 sñCMN

Do đó ta có: sñA sñBSM  2 sñCMN hay A BSM  2CMN.

Các bạn hãy dùng định lí: Góc ngoài của tam giác để giải bài này

Bài 7: (42/83/SGK T2)

Cho ABCnội tiếp đường tròn  O P Q R, , lần

lượt là các điểm chính giữa của các cung BC,

Câu này thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau có nhiều phương pháp:

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đó tạo với nhau một góc bằng 90°

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đó

là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đó vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh một đường thuộc cạnh đáy còn đường kia là phân giác của góc ở đỉnh cân của một tam giác cân

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của một hình thoi

* Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh một đường chéo đường kính còn đường kia chứa một dây cung mà đường kính đi qua trung điểm của dây đó v.v

Câu này ta sử dụng cách nào để chứng minh?

Câu này có nhiều cách chứng minh, ta chứng minh bằng hai cách:

Cách 1:

Gọi E là giao điểm của RQ và AB

M là giao điểm của AP và RQ

F là giao điểm của AC và RQ

Ta chứng minh AEF cân tại A và AP là phân giác của EAF

Ta chứng minh AEF cân tại A bằng cách sử dụng định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng

nhau thì tam giác đó là tam giác cân

 (Theo định lý: Góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn)

 (Theo định lí: Góc có đỉnh ở trong đường tròn)

Mà ARBR (vì R là điểm chính giữa của AB)

Và AQCQ (vì theo giả thiết Q là điểm chính giữa của AC)

Do đó AEF  AFE AEF cân tại A (Theo định lí: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì

tam giác đó là tam giác cân) (1)

Theo giả thiết P là điểm chính giữa của BCnên BPPC

Ta chứng minh AP tạo với RQ một góc bằng 90°

Gọi M là giao điểm của AP và RQ

AMQlà góc có đỉnh ở trong đường tròn nên:

 (Theo định lí: Góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn)

Vậy APRQ

b) Chứng minh CPIcân

Làm thế nào để chứng minh được ICPcân

Nhắc lại nhiều lần muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta sử dụng một trong ba cách được vận dụng nhiều nhất để chứng minh một tam giác là tam giác cân

Câu này ta sử dụng cách nào?

Với giả thiết: “Điểm chính giữa của cung”, từ “điểm chính giữa” dẫn đến cung bằng nhau,

mà cung bằng nhau thường dẫn đến góc bằng nhau Nên ta chứng minh ICP cân bằng định lí: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân)

bằng nửa số đo của cung bị chắn) (3)

AIClà góc có đỉnh ở trong đường tròn

Muốn chứng minh AOC AICta dùng định lí: Góc ở tâm và cung bị chắn: Định lí góc có đỉnh

ở trong đường tròn để chứng minh

sđ AOCsđ AC(Theo định lí: số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn) (1)

 (Theo định lí: Góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng

số đo của hai cung bị chắn) mà ACBD(Theo định lí: Trong một đường tròn hai cung chắn

a) Tính số đo của BOC

Biết BOC là góc ở tâm chắn cung BCMuốn tính được số đo của BOC ta phải tính được số

đo của cung bị chắn làBC

80 2

Câu này là thể loại toán chứng minh hai đường thẳng song song

Có nhiều cách chứng minh hai đường thẳng song song, một cách chứng minh đã được nêu ở các bài trước

Câu này muốn chứng minh AC // OP ta dùng định lí: Cách nhận biết hai đường thẳng song song

Do PO là tia phân giác của BPC(Theo định lí: hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm) nên

0 0

1 2

80 40

O  P (Theo định lí: Trong một tam

a) Hai dây song song nằm cùng phía đối với tâm

của đường tròn chứa cung

b) Tâm của đường tròn nằm trong phần mặt phẳng

giới hạn bởi hai dây song song

Chứng minh

a) Trường hợp tâm O của đường tròn nằm ngoài

phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng AB

// CD (hình a)

Ta có cung AC và cung BD là hai cung bị chắn bởi AB // CD

Muốn chứng minh được hai cung trong một đường tròn bằng nhau ta vận dụng các kiến thức:

* Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau

* Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

* Hai góc ở tâm bằng nhau, chắn hai cung bằng nhau của một đường tròn

Ta dùng kiến thức nào để chứng minhACBD?

Ta nên dùng kiến thức cơ bản nói về sự liên hệ giữa góc ở tâm và cung bị chắn

Kẻ đường kính IK//AB//CD Ta có: DCOCOI(hai góc so le trong)

Và CDODOK(hai góc so le trong)

COD

 có OCOD(cùng là bán kính của một đường tròn)  COD cân tại O (tam giác có hai

cạnh bằng nhau là tam giác cân) DCOCDO(Theo định lí: Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau) COI DOK(Hai góc bằng hai góc bằng nhau) IC KD(Hai cung bị chắn bởi hai góc ở tâm bằng nhau)

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

b) Trường hợp tâm của đường tròn nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai dây song song (hình b)

Muốn chứng minh được AI BKphải chứng minhO1O2

Muốn chứng minh được O1 O2phải chứng minhA1B1

Muốn chứng minh ICKDphải chứng minh O3 O4

Muốn chứng minh O3 O4phải chứng minh C1 D1

Do đó: Hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau

Bài 11: Cho ABCđều nội tiếp đường trònO R;  M là điểm bất kỳ thuộc cung BC

Đến chương trình hình học lớp 9, chưa có kiến thức cơ bản nào nói đến độ dài của một đoạn thẳng bằng tổng độ dài của hai đoạn thẳng khác Do đó bài này ta phải tạo ra một đoạn thẳng

trên đoạn AM bằng đoạn BM

Trên AM lấy điểm M sao cho MEMB (E nằm giữa A và M) (1)

Ta còn phải chứng minhAEMC

Do MEMB(cách vẽ) nên BME cân tại M

Lại có

0 0

Đã chứng minh đẳng thức có liên quan đến tỷ số ta phải sử dụng các kiến thức cơ bản nói về

tỷ số đã nêu ở các bài trên

Câu này ta phải sử dụng tam giác đồng dạng (vì giả thiết cho tam giác đều, đã có tam giác đều là có đoạn bằng nhau và góc bằng nhau)

có hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì dĩ nhiên có hai đường thẳng

song song Có song song dẫn đến hình thang Còn nữa “đường tròn đường kính AB dĩ nhiên tâm O của đường tròn này phải là trung điểm của AB Từ trung điểm này có thể dẫn đến

trung điểm khác Mà đã có trung điểm thì tất nhiên có đoạn thẳng bằng nhau

Ta có AP // BQ (cùng vuông góc với CD) APQBlà hình thang (Theo định nghĩa: hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song)

Từ O hạ OKPQAP/ /OK/ /BQ (cùng vuông góc với CD) mà O là trung điểm của cạnh bên AD nên K là trung điểm của cạnh bởi PQ (Theo định lí: Trong một hình thang, đường

thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy thì đã qua trung điểm của cạnh bên thứ hai)KPKQ. (1)

Với đường tròn  O đường kính AB ta có OKCDKCKD(2) (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Với giả thiết: “Đường tròn đường kính AB cắt MA tại C, cắt MB tại D” ta có các góc nối tiếp

chắn nửa đường tròn, dẫn đến các góc phụ nhau, các góc bằng nhau từ đó dẫn đến tam giác đồng dạng Có tam giác đồng dạng là có tỷ số, có tỷ lệ thức Có tỷ lệ thức là có tích nọ bằng tích kia:

Bài 13: Cho đường tròn  O đường kính AB Dây cung CD cắt OA tại I Gọi H, E, K lần lượt

là các hình chiếu của các điểm A, O, B trên CD Đường thẳng OE cắt BH ở F

a) Chứng minh F là trung điểm của BH

a) Chứng minh F là trung điểm của BH

Muốn chứng minh được F là trung điểm của BH, ta phải vận dụng được các giả thiết “vuông

góc”, “đường kính”, “dây”, “hình chiếu” khi nào khai thác triệt để giả thiết thì sẽ giải bất kỳ bài toán nào cũng được

AHB

 có O là trung điểm của cạnh AB

Lại có OF // AH (vì cùng vuông góc CD) F là trung điểm của BH (Theo định lí: Trong

một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì

đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

 có O là trung điểm của cạnh AB (O là tâm đường tròn đường kính AB)

F là trung điểm của cạnh BH (chứng minh trên)

OF

 là đường trung bình của

2

AH ABH OF

giác thì song song và bằng nửa cạnh tương ứng)

BHK có F là trung điểm của cạnh HB (chứng minh trên) và FE // BK (vì cùng vuông góc với KH)

E

 là trung điểm của cạnh HK (Theo định lí: Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung

điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai, thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)

Bài 14: Cho hai đường tròn  O và  O' tiếp xúc ngoài tại A Đường nối tâm OO'cắt  O ở B,

cắt  O' ở C Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE của  O và  O' D O E;  O' , hai tia BD và

CE cắt nhau tại M

a) Chứng minh MBClà tam giác vuông