Cac dang toan on thi hoc ki II lop 12
Trang 1I Khảo sát hàm số:
Khảo xát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x3 -3x2 + 2
b) y = x3 – 6x2 +9x +1
c) y = -2x3 +3x2 +1
d) y = x4 -4x2 +1
e) y = -x4 +4x2 +1
II Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
I.TÍCH PHÂN:
1 Tích phân chứa căn:
1
0
2
3 / : x = 0 t = 1
x =1 t = 2
tdt
d c
2
0
2
2 sinx 1cos
/ : x = 0 t = 1
x = t = 2
2
2
d c
t
1
0
2
/ : x = 0 t = 1
x =1 t = 1
1
x x
d c
e
Trang 22
3ln 1
4.
/ : x = 1 t = 1
x =e t = 2
2
1
x
x
d c
2 Tích phân đặt t bằng mẫu:
1
2
0
2
1.
1
2 / : x = 0 t = 1
x =1 t = 2
2
1
x
x
dt
d c
t
2
0
sin
2.
cos 1
/ : x = 0 t = 2
x = t = 1
2
2 ( )
1
x
x
d c
t
1
0
e +1
1
3.
1
1
/ : x = 0 t = 2
x =1 t = e +1
e +1
I = ln | | ln( 1) ln1 ln( 1)
1
x
x
e
e
d c
dt
t
Trang 32
1
1
4.
ln
ln
/ : x = e t = 1
x =e t = 2
2
I = ln | | ln 2 ln1 ln 2
1
e
e
dx
x
d c
dt
t
t
3) Tích phân đặt bằng trong lũy thừa:
1
2 3
0
2
2 / : x = 0 t = 1
x =1 t = 2
2
1
dt
d c
2
4 0
2 (3sinx 1) cos
3 / : x = 0 t = 1
x = t = 4
2
4
I =
1
dt
d c
4) Tích phân chứa e mu đặt t = mu
2
2
2 d/c: x = 0 t = 0
x = 1 t = 1
1
0
0
dt
x
I xe dx
Trang 40
sinx
2 cos
d/c: x = 0 t = 0
x = t = 1
2
1 0
4) Tích phân từng phần:
1
0
1 0
x
2
0
2 0
2 ( 1)sinx
1
( 1) cos 2 ( cos ) 1 sinx 2
2
1
2
1
ln
2
1 ln
2
e
e
dx du
v
x
II Tính diện tích hình phẳng:
Trang 51) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 – 3x2 + 2x + 2 và đường thẳng y = 2
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 – 3x2 + 2x + 2 = 2
x3 – 3x2 + 2x = 0
0 1 2
x x x
S =
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = xex và trục hoành và đường thẳng x = 1
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: xex = 0
xex = 0 x = 0
S =
|xe dx x| | xe dx x | | | I
Ta có I = 1 suy ra S = 1
III Số phức:
1 Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của:
a) z 2 3i
phần thực 2, phần ảo 3, 2 2
| |Z 2 3 13, z 2 3i
b) 2 3 (2 )(3 4 )
1 2
i
i
ta có:
2 2
2
10 5
Phần thực 46/5, phần ảo 42/5, 46 2 42 2
Trang 62 Tìm hình biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
a) |z - 2i| = 2
Giải:
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)
Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;2) và R = 2
b) |z 3 | 3
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)
2 2
2 2
Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-2;0) và R = 3
c)z + 2i là số thực
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)
z + 2i là số thực x + yi + 2i = x + (y + 2)i là số thực suy ra y + 2 = 0
y = -2
Vậy hình biểu diễn của z là đường thẳng y = -2
3 Giải phương trình trên tập:
a) (2 + 3i)z – (3 – 4i) = 5 – 2i
2 2
(2 3 ) 5 2 3 4
(2 3 ) 8 6
2
2 3
2 8
2 3
(2 8 )(2 3 ) 4 6 16 24 28 10
z
i
z
i i
2
2
1
2
( 3) 4.1.7 19
z
a
z
a
Trang 73 2
2 2
1
2
0
( 5) 4.1.7 4
3 2
3 2
z
z
a
z
a
2
2 2
2
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
I Các bài toán cơ bản:
1) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3) Tính SABC, Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Giải:
( 1; 3; 1)
( 2;3; 7) ( 2;1;1) P
AB
n AC
ABC
S AB AC
ABCD là hình bình hành AD BC
1 0 2 3
1 3 2 0
D
z
Vậy D(3;-3;0)
2) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3), D(-1;0;-2) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện, Tính VABCD
Giải:
Ta có: ( 1; 3; 1) [ , ] ( 2;3; 7)
( 2;1;1)
AB
AB AC AC
( 3; 1; 4) [ , ] ( 2)( 3) 3( 1) ( 7)( 4) 31
|[ , ] | | 31|
ABC
S AB AC AD
3) Cho A(2 ;1 ;2), (P): 2x + 2y – z + 3 = 0 Tính khoảng cách từ A đến (P)
Giải:
Trang 8Ta có: 2 2 2
| 2.2 2.1 2 8 | 4 ( ,( ))
3
2 2 ( 1)
II Phương trình đường thẳng:
1) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và vuông góc (P) : 2x – 3y + z -3 = 0
Giải:
d qua A(2;1;-2)
d vuông góc (P) suy ra u d n p (2; 3;1)
phương trình đường thẳng d
2 2
1 3 2
2) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và song song
2
2 2
Giải:
d qua A(2;1;-2)
d song song suy ra u d u (1; 3; 2)
( Lấy hệ số trước t) phương trình đường thẳng d
2
1 3
2 2
3) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và B(1;2;3)
Giải:
d qua A(2;1;-2)
d qua A, B suy ra u d AB ( 1;1;5)
(lấy tọa độ B trừ tọa độ của B) phương trình đường thẳng d
2 1
2 5
II Viết phương trình mặt phẳng:
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và song song với (Q): 2x – 3y + z -5 = 0
Giải:
(P) qua A(2;1;-3)
(P)//(Q) n( )P n( )Q (2; 3;1)
(P): 2(x – 2) – 3(y – 1) +1(z + 3) = 0
2x – 4 – 3y + 3 + z + 3 = 0
Trang 9 2x – 3y + z + 2 = 0
2) Viết pương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và vuông góc với
2
2 2
Giải:
(P) qua A(2;1;-3)
(P) vuông góc d n ( )P u d ( 1; 2; 2)
(P): -1(x – 2) – 2(y – 1) +2(z + 3) = 0
-x + 2 – 2y + 2 + z + 3 = 0
-x – 2y + z + 7 = 0
3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa tam giác ABC với A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3)
Giải:
(P) qua A(2;1;2)
(P) qua A, B , C n( )P [AB AC, ]
( )
( 1; 3; 1)
( 2;3; 7) ( 2;1;1) P
AB
n AC
(P): -2(x – 2) + 3(y – 1) – 7(z – 2) = 0
-2x + 4 + 3y – 3 – 7z + 14 = 0
-2x + 3y – 7z + 15 = 0
III Phương trình mặt cầu :
1) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(2 ;1 ;3) và B(2
;-1 ;;-1)
Giải : (S) có tâm là I(2 ;0 ;2) là trung điểm AB
(S) có bán kính là R = IA = (2 2) 2 (1 0) 2 (3 2) 2 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB là :
(x 2) (y 0) (z 2) 2
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và qua B(2 ;-1 ;1)
Giải : (S) có tâm là A(2 ;1 ;3)
(2 2) ( 1 1)) (3 1) 8 Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và qua B(2;-1;1) là:
(x 2) (y 1) (z 3) 8
3) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z +
3 = 0
Trang 10Giải : (S) có tâm là A(2 ;1 ;3)
(S) có bán kính là R = d(A,(P)) = 2 2 2
| 2.2 1 2.3 3 |
4
2 ( 1) 2
Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z
(x 2) (y 1) (z 3) 16 4) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1;1;0), B(1;0;1), C(0;1;1) và D(1;1;1)
Giải : phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
(S) qua A(1;1;0) suy ra 1 2 1 2 0 2 a.1 b.1 c.0 d 0 a b d 2(1) (S) qua B(1;0;1) suy ra 1 2 0 2 1 2 a.1 b.0 c.1 d 0 a c d 2(2) (S) qua C(0;1;1) suy ra 0 2 1 2 1 2 a.0 b.1 c.1 d 0 b c d 2(3) (S) qua D(1;1;1) suy ra 1 2 1 2 1 2 a.1 b.1 c.1 d 0 a b c d 3(4) Suy ra
0 (1) - (2) 1
0 (2) - (3) 1
thay vào (1): -1 – 1 + d = -2 suy ra d = 0
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
IV Hình chiếu vuông góc:
1) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;-2) lên (P): 2x – y – 2z + 3 = 0
Giải:
d qua A và vuông góc (P)
d vuông góc (P) suy ra u d n p (2; 1; 2)
phương trình đường thẳng d
2 2 1
2 2
H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và d
Xét phương trình
4
9 12 0
3
Thay t vào d ta có: ( 2 1 2; ; )
3 3 3
H H(0 ;0 ;4)
Trang 112) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;3) lên d
2 2 1
2 2
Giải:
(P) qua A và vuông góc d
(P) vuông góc d n( )P u d (2; 1; 2)
(P): 2(x – 2) – (y + 1) - 2(z - 3) = 0
2x – 4 – y - 1 - 2z + 6 = 0
2x – y - 2z + 1 = 0
H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và d
Xét phương trình
10
9 10 0
9
Thay t vào d ta có: ( 2 1 2; ; )
9 9 9
H
BÀI TẬP 1.Tính các tích phân :
2 tính :
4
0
1)I 2x 1dx
1 2 0
2)I x x 1dx
1 2 0 3)I 2x x 3dx
1
2 3
0
4)I 3x x 1dx
3.tính
4
2
0
2
1)
1
x
x
1 2 3 0
2)
1
x
x
1 3 2 0
3)
1
x
x
1 5 3 0
4)
1
x
x
4 tính
Trang 122 3
0
1)I x(1 x ) dx
1
2 3 3 0
2)I 3 (1x x dx)
1
0 3)I x (3 x ) dx
1
0
4)I x (2 x dx)
5 Tính
2
1
x
0
1) e x dx
3
1
0
2) e x dx
2 sin x 0
2
cos x
0
2
sin 2x
0
2
1
0
6) e x dx
2 cos x2
0
6 Tính
1)
1
0
( 1) x
I x e dx 2)
1 0
x
I xe dx 3)
1
2 0
( 2) x
I x e dx 4 )
2 1 ln
I x xdx
5) 2
0
( 1) sinx
1.1 Bài 1 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : C :y e Ox Oy x x; ; ; 2
1.2 Bài 2 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
1.3 Bài 3 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : C :y x 4 x2 &Ox.
1.4 Bài 4 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
C :y e x; d :y e Ox ;
Trang 131.5 Bài 5 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : : x 1; , 2
6 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi : C :y ln ;x d :y 1;x 1
Số phức
Bài 1 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
a/ z 3 i 4 2i
i
; b/ z 7 2i 3 2 i2;
2
i
i
; d/ 7 3 1 5
2: Giải các phương trình sau :
a/ 3iz 3 2i 6 7i; b/ 5 2 i z 2 i 7 3i; c/ 4 2 i 1 i z2 0 ; d/3 i z 2 i 5 2 3 i z ; e/2 i z2 6 6 i 4 i; f/ 2 3 i 1 i z 2 i;
g/ 5 3 i z 7 i 3 2 i z ; h/ 3 2 i z 3 8 i 1 2i 3z; i/2 i z 1 i z2 11 2 i; j/2 i 3 2 i z 2 16i;
k/ 1 i z 4 2i
i
; l/ 2 1
3 i z i;
