Loi giai de thi hk2 truong ptnk

Sưu tầm và biên soạn NGUYỄN NGUYÊN TRANG đại học quốc gia tp hcm trường phổ thông năng khiếu GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II khối 10 năm học 2009 2010 môn thi TOÁN ngày thi Bài 1 Giải các bất phương trình sau 1[.]

Trang 1

trường phổ thông năng khiếu năm học 2009-2010

môn thi: TOÁN ngày thi:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau

1 |𝑥 − 2|

𝑥2− 6𝑥 + 5 > 0

2 √5𝑥2+ 10𝑥 + 1 > 7 − 𝑥2− 2𝑥

Đáp số

1 𝑆 = (−∞, 1) ∪ (5, +∞)

2 𝑆 = (−∞, −3] ∪ [1, +∞)

Bài 2: Cho hệ phương trình

⎧

⎨

⎩

(𝑥 + 5) (𝑥 − 4) > 0 (𝑥 − 3𝑚) (𝑥 + 2) < 0

1 Giải hệ khi 𝑚 = 2

2 Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm

Đáp số

1 𝑆 = [4, 6)

2 −5

3 6 𝑚 6 4

3 Hướng dẫn:

Ta có 𝑆1 = (−∞, −5] ∪ [4, +∞)

𝑆2=

⎧

⎪

⎨

⎪

(−2, 3𝑚), −2 < 3𝑚

(3𝑚, −2), 3𝑚 < −2

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔ 𝑆1∩ 𝑆2 = ∅ ⇔

⎡

⎣

−5 6 3𝑚 6 4 3𝑚 = −2

⇔ −5

3 6 𝑚 6 4

3 Bài 3:

1 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số khác 0 Chứng minh 5𝑎2+ 𝑏2+ 4𝑐2 > 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎

2 Tìm m để hàm số 𝑦 =√︀(𝑚 + 1) 𝑥2− 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − 3 xác định với mọi số thực x Đáp số

Trang 2

Sưu tầm và biên soạn: NGUYỄN NGUYÊN TRANG

1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp 2 số (𝑎2, 𝑏2), (𝑏2, 4𝑐2), (9𝑎2, 4𝑐2), ta có:

𝑎2+ 𝑏2 > 2𝑎𝑏

𝑏2+ 4𝑐2 > 4𝑏𝑐 9𝑎2+ 4𝑐2 > 12𝑎𝑐

⇒ (𝑎2+ 𝑏2) + (𝑏2+ 4𝑐2) + (9𝑎2+ 4𝑐2) > 2𝑎𝑏 + 4𝑏𝑐 + 12𝑎𝑐

⇒ 10𝑎2+ 2𝑏2+ 8𝑐2 > 2𝑎𝑏 + 4𝑏𝑐 + 12𝑐𝑎

⇒ 5𝑎2+ 𝑏2+ 4𝑐2 > 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎 Dấu ” = ” xảy ra khi

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑎2 = 𝑏2

𝑏2= 4𝑐2 9𝑎2= 4𝑐2

⇔

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑎 = 𝑏

𝑏 = 2𝑐 3𝑎 = 2𝑐

⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 Mâu thuẫn

Vậy 5𝑎2+ 𝑏2+ 4𝑐2> 𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 6𝑐𝑎

2 𝑚 > 1

Hướng dẫn:

Hàm số 𝑦 =√︀(𝑚 + 1) 𝑥2− 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − 3 xác định với mọi số thực x

⇔ (𝑚 + 1) 𝑥2− 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 3𝑚 − 3 > 0 ∀𝑥 ∈ R

Bài 4: Lập phương trình chính tắc của ellipse biết hình chữ nhật cơ sở có chu vi là 16 và diện tích là 12

Đáp số: (𝐸) : 𝑥

2

9 +

𝑦2

1 = 1 Bài 5: Cho đường thẳng 𝑑 : 3𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0 và 𝐼 (4; 5)

1 Viết phương trình đường thẳng m qua I và m vuông góc với d

2 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d

3 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng m và (C)

Đáp số

1 (𝑚) : −4𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0

2 (𝐶) : (𝑥 − 4)2+ (𝑦 − 5)2= 25

3 𝐶(7, 9), 𝐶(1, 1)

Trang 3

môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: Giải các bất phương trình: (2 điểm)

1 𝑥

2− 5𝑥 − 14

𝑥2− 2𝑥 + 1 6 0

2 (︁√𝑥2− 5𝑥 + 4 +√𝑥 − 1

)︁

(︀√25𝑥 − 6 − 2𝑥)︀ > 0

Đáp số

1 𝑆 = [−2, 7]∖{1}

2 𝑆 = [4, 6] ∪ {1}

Bài 2: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình

⎧

⎨

⎩

4𝑥 + 1

6 + 3𝑥 > 1 (𝑥 − 1) (𝑥 − 5𝑚) 6 0

2 Định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

Đáp số

1 𝑆 = [5, 10]

2 𝑚 = 1, nghiệm duy nhất 𝑥 = 5

Hướng dẫn:

Ta có 𝑆1 = (−∞, −2) ∪ [5, +∞)

𝑆2=

⎡

⎣

[1, 5m], 1 < 5m

[5m, 1] 5m 6 1.

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ 𝑆1∩ 𝑆2 = ∅ ⇔

⎧

⎨

⎩

5𝑚 = 5

1 < 5𝑚

⇔ 𝑚 = 1

Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là 𝑥 = 5

Bài 3: (2 điểm)

1 Cho a,b là các số thực khác 0 Chứng minh 𝑎

2

𝑏2 + 𝑏

2

𝑎2 + 4 > 3(︂ 𝑎

𝑏 +

𝑏 𝑎

)︂

2 Định m để hàm số 𝑦 = 2𝑥 + 1

√︀(𝑚 + 1) 𝑥2− (2𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 + 1 có tập xác định là R Đáp số

1 Đặt 𝑡 =

⃒

𝑎 𝑏

⃒

⃒+

⃒

𝑏 𝑎

⃒

⃒⇒ 𝑡 > 2

√︃

⃒

𝑎 𝑏

⃒

𝑏 𝑎

⃒

⃒= 2 ⇒ 𝑡 > 2

Trang 4

Ta có 𝑎

2

𝑏2 + 𝑏

2

𝑎2 + 4 > 3

(︂⃒

⃒𝑎 𝑏

⃒

⃒+

⃒

⃒ 𝑏 𝑎

⃒

)︂

⇔ 𝑡2− 2 + 4 > 3𝑡 ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 2) > 0 (luôn đúng)

⇒ 𝑎

2

𝑏2 + 𝑏

2

𝑎2 + 4 > 3

(︂

⃒

𝑎 𝑏

⃒

⃒+

⃒

𝑏 𝑎

⃒

)︂

∀𝑎, 𝑏 ̸= 0

⇒ 𝑎

2

𝑏2 + 𝑏

2

𝑎2 + 4 > 3(︂ 𝑎

𝑏 +

𝑏 𝑎

)︂

∀𝑎, 𝑏 ̸= 0 Dấu "=" xảy ra khi 𝑎, 𝑏 cùng dấu

2 −1 < 𝑚 < −4 +

√ 13 2 Bài 4: (1 điểm) Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết hai điểm 𝑀

(︂

3;16 5

)︂ và 𝑁

(︂

4;12

5

)︂

thuộc (E)

2

25+

𝑦2

16 = 1.

Bài 5: (3 điểm) Cho hai điểm 𝐴 (−1; −1) , 𝐵 (5; 1)

1 Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB

2 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc trục tung

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B

Đáp số

1 Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB: 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

2 Phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc trục tung 𝑥2+(𝑦−6)2= 50

3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B: 𝑥 − 𝑦 = 4

Trang 5

môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm)

11 − 5𝑥

𝑥2− 6𝑥 + 5 > 1

(︀√2𝑥 − 1 − 𝑥)︀ (︀√𝑥 + 1 + 𝑥)︀ > 0

Đáp số

1 𝑆 = [−2, 1) ∪ [3, 5)

2 𝑆 = {1}

⎧

⎨

⎩

9 − 𝑥

𝑥 + 3 > 2

𝑚 (𝑚𝑥 − 2) > 4 − 𝑥

2 Tìm m để hệ có nghiệm

Đáp số

1 𝑆 = ∅

2 𝑚 > 3 ∨ 𝑚 6 −1

Hướng dẫn:

𝑆1= (−3, 1]

𝑆2=[︂ 2(𝑚 + 2)

𝑚2+ 1 , +∞

)︂

Hệ có nghiệm ⇔ 𝑆1∩ 𝑆2 ̸= ∅ ⇔ 2(𝑚 + 2)

𝑚2+ 1 6 1 ⇔ 𝑚 > 3 ∨ 𝑚 6 −1 Bài 3: (2 điểm)

1 Tìm m để bất phương trình (𝑚 + 2) 𝑥2− (3𝑚 + 1) 𝑥 + 𝑚 + 1 6 0 vô nghiệm

2 Cho 𝑎, 𝑏 là các số thực không âm thỏa mãn 𝑎2+ 𝑏2= 2 Chứng minh 𝑎3+ 𝑏3 > 2 Đáp số

1 3 − 2

√

11

5 < 𝑚 <

3 + 2√11 5 Hướng dẫn:

Bất phương trình (𝑚 + 2) 𝑥2− (3𝑚 + 1) 𝑥 + 𝑚 + 1 6 0 vô nghiệm

⇔ (𝑚 + 2) 𝑥2− (3𝑚 + 1) 𝑥 + 𝑚 + 1 > 0 với mọi 𝑥 ∈ R

Trang 6

2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 𝑎3, 𝑎3, 1 và 3 số 𝑏3, 𝑏3, 1, ta có

𝑎3+ 𝑎3+ 1 > 33

√

𝑎3.𝑎3= 3𝑎2

𝑏3+ 𝑏3+ 1 > 3𝑏2

⇒ (𝑎3+ 𝑎3+ 1) + (𝑏3+ 𝑏3+ 1) > 3(𝑎2+ 𝑏2) = 6

⇒ 2(𝑎3+ 𝑏3) + 2 > 6

⇒ 𝑎3+ 𝑏3 > 2 Dấu "=" xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 = 1

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E):4𝑥2+ 9𝑦2 = 36

1 Xác định tọa độ các tiêu điểm và tọa độ các đỉnh của (E)

2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho 𝑀 𝐹12= 𝑀 𝐹2

Đáp số

1 Tiêu điểm 𝐹1(−√5, 0), 𝐹2(√5, 0)

Các đỉnh 𝐴1(−3, 0), 𝐴2(3, 0), 𝐵1(0, −2), 𝐵2(0, 2)

2 𝑀 (−√3

5,

4

√

5), 𝑀 (−

3

√

5, −

4

√

5) Bài 5: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d :3𝑥 − 4𝑦 − 14 = 0

1 Gọi A là điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ bằng 10 Viết phương trình đường thẳng d’ vuông góc với đường thẳng d tại A

2 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc trục hoành và tiếp xúc với đường thẳng d tại A

3 Cho điểm 𝐷 (7; 8) Tìm điểm B thuộc đường thẳng d sao cho 𝐷𝐵 = 5√5, biết B có tung độ âm

Đáp số

1 𝐴(10, 4), (𝑑′) : 4𝑥 + 3𝑦 = 52

2 (𝐶) : (𝑥 − 13)2+ 𝑦2= 25

3 𝐵(2, −2)

Trang 7

môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: (3 điểm) Giải bất phương trình và hệ phương trình

1 24 − 7𝑥

𝑥2− 8𝑥 + 12 6 1

2 √𝑥2− 4𝑥 + 5 + 2𝑥 > 3

3

⎧

⎨

⎩

𝑥2− 2𝑦2+ 𝑥𝑦 = 𝑦 − 𝑥

√

𝑥 +√𝑦 = 4

Đáp số

1 𝑆 = (−∞, −3] ∪ (2, 4] ∪ (6, +∞)

2 𝑆 =[︂ 2

3, +∞

)︂

3 (𝑥, 𝑦) = (4, 4)

Hướng dẫn

Điều kiện: 𝑥 > 0, 𝑦 > 0

⎧

⎨

⎩

𝑥2− 2𝑦2+ 𝑥𝑦 = 𝑦 − 𝑥

√

𝑥 +√𝑦 = 4

⇔

⎧

⎨

⎩

(𝑥 − 𝑦) (𝑥 + 2𝑦 + 1) = 0

√

𝑥 +√𝑦 = 4

⇔

⎧

⎨

⎩

(𝑥 − 𝑦) = 0 ∨ (𝑥 + 2𝑦 + 1) = 0

√

𝑥 +√𝑦 = 4

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 − 𝑦 = 0

√

𝑥 +√𝑦 = 4

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = 𝑦

2√𝑥 = 4

⇔ 𝑥 = 𝑦 = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (𝑥, 𝑦) = (4, 4)

⎧

⎨

⎩

𝑥2− 3𝑥 − 4 > 0 (𝑥 − 𝑚) (𝑥 − 𝑚 − 1) 6 0

2 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

Đáp số

1 𝑆 = ∅

2 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = 3

Hướng dẫn:

𝑆1= (−∞, −1] ∪ [4, +∞)

𝑆2= [𝑚, 𝑚 + 1]

Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ 𝑆1 ∩ 𝑆2 có đúng 1 phần tử ⇔ 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 + 1 = 4 ⇔ 𝑚 =

−1 ∨ 𝑚 = 3

Trang 8

Bài 3: (2 điểm)

1 Tìm m để bất phương trình (𝑚 − 1) 𝑥2+ 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 − 3 > 0 vô nghiệm

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 =√5 − 𝑥 +√𝑥 + 3

Đáp số

1 𝑚 6 1

2 Tập xác định: 𝐷 = [−3, 5]

Tìm Max:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 𝑎, 𝑏: (𝑎 + 𝑏)2 6 2(𝑎2+ 𝑏2), ta có:

(√5 − 𝑥 +√𝑥 + 3)2 6 2[(√5 − 𝑥)2+ (√𝑥 + 3)2]

⇒ (√5 − 𝑥 +√𝑥 + 3)2 6 2.(5 − 𝑥 + 𝑥 + 3) = 16

⇒√5 − 𝑥 +√𝑥 + 3 6 4

⇒ 𝑦 6 4 Suy ra 𝑀 𝑎𝑥𝑦 = 4 khi √5 − 𝑥 =√𝑥 + 3 ⇔ 𝑥 = 1

Tìm Min:

Ta có 𝑦2 = (√5 − 𝑥 +√𝑥 + 3)2 = 8 + 2√︀(5 − 𝑥)(𝑥 + 3) > 8

Hơn nữa, 𝑦 > 0, suy ra 𝑦 > 2√2

⇒ Min 𝑦 = 2√2 khi√︀(5 − 𝑥)(𝑥 + 3) = 0 ⇔ 𝑥 = −5 ∨ 𝑥 = 3

Bài 4: (1 điểm) Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tâm sai 𝑒 =

√ 3

2 và đi qua điểm 𝑀

(︃

1;

√ 35 2

)︃

2

36+

𝑦2

9 = 1 Bài 5: (2 điểm) Cho điểm 𝐴 (8; 7) và đường thẳng d:𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0

1 Viết phương trình đường thẳng d’ biết d’ đi qua A và d’ song song với d

2 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng 𝑥 = 2, có bán kính là

2√5 và (C) tiếp xúc với đường thẳng d, biết I có tung độ dương

Đáp số

1 (𝑑′) : 𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

Trang 9

môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: (4 điểm) Giải bất phương trình và hệ phương trình

1 13𝑥 − 1

𝑥2− 3𝑥 − 10+ 1 > 0

2 √𝑥2− 3𝑥 + 2 >√𝑥 − 1

3 ⃒𝑥2+ 3𝑥 + 1⃒6 𝑥 + 1

4

⎧

⎨

⎩

𝑥𝑦 − 2𝑥 + 𝑦 = 2

√

𝑥 + 2 +√𝑦 + 7 = 6.

Đáp số:

1 𝑆 = (−∞, −11] ∪ (−2, 1] ∪ (5, +∞)

2 𝑆 = [3, +∞) ∪ {1}

3 𝑆 = [√2 − 2, 0]

4 Điều kiện xác định : 𝑥 > −2, 𝑦 > −7

⎧

⎨

⎩

𝑥𝑦 − 2𝑥 + 𝑦 = 2

√

𝑥 + 2 +√𝑦 + 7 = 6

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥(𝑦 − 2) + (𝑦 − 2) = 0

√

𝑥 + 2 +√𝑦 + 7 = 6

⇔

⎧

⎨

⎩

(𝑥 + 1)(𝑦 − 2) = 0

√

𝑥 + 2 +√𝑦 + 7 = 6

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = −1 ∨ 𝑦 = 2

√

𝑥 + 2 +√𝑦 + 7 = 6

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = −1

√

𝑦 + 7 = 5

∨

⎧

⎨

⎩

𝑦 = 2

√

𝑥 + 2 = 3

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = −1

𝑦 = 18

∨

⎧

⎨

⎩

𝑦 = 2

𝑥 = 7 Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là (𝑥, 𝑦) = (−1, 18), (𝑥, 𝑦) = (7, 2)

Bài 2: (1 điểm) Giải hệ bất phương trình

⎧

⎪

𝑥 + 5

𝑥 − 1> 3 2

3 + 2𝑥 − 𝑥2 6 1 Đáp số:𝑆 = (1, 1 +√2] ∪ (3, 4]

Bài 3: (1 điểm) Định m để bất phương trình 1

(𝑚 − 1) 𝑥2+ 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 − 3 > 0 đúng với mọi 𝑥 ∈ R

Đáp số:𝑚 > 2

Trang 10

Bài 4: (1 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 thỏa mãn: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐 Chứng minh

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 3(︂ 1

𝑎+

1

𝑏 +

1 𝑐 )︂

Đáp số:Với ba số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, ta có:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 3(︂ 1

𝑎+

1

𝑏 +

1 𝑐 )︂

⇔ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑎𝑏𝑐 > 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)

⇔ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 > 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)( do 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐)

⇔ 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 > 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 (luôn đúng)

Vậy 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 3(︂ 1

𝑎+

1

𝑏 +

1 𝑐

)︂

Dấu "=" xảy ra khi 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =√3

Bài 5: (1 điểm) Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tâm sai 𝑒 =

√ 5

3 và chu

vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 20

Đáp số:(𝐸) : 𝑥

2

9 +

𝑦2

4 = 1 Bài 6: (2 điểm) Cho hai điểm 𝐴 (6; 2) và đường thẳng 𝑑 : 2𝑥 − 5𝑦 + 6 = 0

1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và ∆ vuông góc với d

2 Gọi B là điểm nằm trên d có hoành độ là 2 Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d tại B và (C) đi qua A

Đáp số:

1 ∆ : 5𝑥 + 2𝑦 = 34

2 (𝐶) : (𝑥 − 4)2+ (𝑦 + 3)2= 29

Trang 11

môn thi: TOÁN thời gian: 90 phút Bài 1: (2 điểm) Giải bất phương trình và hệ phương trình sau:

1 √𝑥2+ 𝑥 + 3 6 2𝑥 − 1

2

⎧

⎨

⎩

𝑥2+ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 1

√

𝑥 − 𝑦 = 5 + 𝑦

Đáp số

1 𝑆 = [2, +∞)

2 Điều kiện xác định 𝑥 − 𝑦 > 0

Với điều kiện trên, ta có:

⎧

⎨

⎩

𝑥2+ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 1

√

𝑥 − 𝑦 = 5 + 𝑦

⇔

⎧

⎨

⎩

(𝑥 − 1) (𝑥 − 𝑦 + 1) = 0

√

𝑥 − 𝑦 = 5 + 𝑦

⇔

⎧

⎨

⎩

(𝑥 − 1) = 0 ∨ (𝑥 − 𝑦 + 1) = 0

√

𝑥 − 𝑦 = 5 + 𝑦

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 − 1 = 0 (𝑑𝑜 𝑥 − 𝑦 > 0 )

√

𝑥 − 𝑦 = 5 + 𝑦

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = 1

√

1 − 𝑦 = 𝑦 + 5

⇔

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑥 = 1

𝑦 + 5 > 0

1 − 𝑦 = (𝑦 + 5)2

⇔

⎧

⎪

⎩

𝑥 = 1

𝑦 + 5 > 0

𝑦 = −3 ∨ 𝑦 = −8

⇔

⎧

⎨

⎩

𝑥 = 1

𝑦 = −3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (𝑥, 𝑦) = (1, −3)

Bài 2: (1 điểm) Tìm m để hàm số 𝑦 =√︀(𝑚 − 1) 𝑥2− 2 (𝑚 − 1) 𝑥 + 2𝑚 + 2 xác định trên R

Đáp số𝑚 > 1

Bài 3: (1 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số thực không âm thỏa 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2= 1 Chứng minh

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 6

√

2 (1 + 𝑎𝑏) Lời giải:

Với mọi 𝑥, 𝑦 > 0, ta có (𝑥 + 𝑦)2 6 2(𝑥2+ 𝑦2)

Trang 12

Do đó, với mọi số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, ta có:

[(𝑎 + 𝑏) + 𝑐]2 6 2[(𝑎 + 𝑏)2+ 𝑐2]

= 2(𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 2𝑎𝑏)

= 2(1 + 2𝑎𝑏)

⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 6√2.√1 + 2𝑎𝑏

Mà√1 + 2𝑎𝑏 6 1 + 𝑎𝑏

Điều trên có được do 1 + 2𝑎𝑏 6 1 + 2𝑎𝑏 + 𝑎2𝑏2

Suy ra

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 6

√

2 (1 + 𝑎𝑏) (đpcm) Dấu "=" xảy ra khi 𝑎 = 0 hoặc 𝑏 = 0

Bài 4: (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm 𝐴 (−1; 3) , 𝐵 (1; −1)

1 Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB

2 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng 𝑑 :

𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0

3 Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của (C)

Đáp số

1 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0

2 (𝐶) : (𝑥 + 2)2+ 𝑦2= 10

3 𝑀 (2, 2)

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm 𝐴 (0; 2) Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua A và có tổng khoảng cách từ A tới hai tiêu điểm bằng khoảng cách từ A tới đường thẳng ∆ : 3𝑥 + 4𝑦 + 22 = 0

Đáp số(𝐸) : 𝑥

2

9 +

𝑦2

4 = 1

Bài 6: (2 điểm) Cho hệ bất phương trình sau (𝐼) :

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑥 > 0

𝑦 > 0

𝑥 − 𝑦 + 1 > 0 3𝑥 + 2𝑦 6 12

1 Xác định miền nghiệm của hệ (I)

Trang 13

2 Ta có 𝑓 (0, 0) = 0, 𝑓 (0, 1) = 4, 𝑓 (2, 3) = 18, 𝑓 (4, 0) = 12.

⇒ Max 𝑓 = 18 đạt được tại 𝐵, Min 𝑓 = 0 đạt được tại O

Tiêu đề	Lời Giải Đề Thi HK2 Trường PTNK
Tác giả	Nguyễn Nguyễn Trang
Trường học	Đại học quốc gia TP.HCM
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề thi học kỳ
Năm xuất bản	2010
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	387,95 KB