Tim can bac hai cua so phuc va giai phuong trinh nghiem phuc nwhoe

CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC Dạng toán 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Căn bậc hai của số phức z là một căn bậc hai của số phức 2w z w  Kết quả số phức 0w  có đúng một căn bậc hai là 0z  số p[.]

CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM PHỨC

Dạng toán 1 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

- Căn bậc hai của số phức

z là một căn bậc hai của số phức 2

wz w

Kết quả: số phức w 0 có đúng một căn bậc hai là z 0

số phức w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau

- Căn bậc hai của số thực

Hai căn bậc hai của w a 0 là  a

Hai căn bậc hai của w a 0 là  i a

Gọi z x yi x y ,   là căn bậc hai của w a bi a b ,  

2

xy b

  





Để giải hệ (*) ta dùng phương pháp rút thế thì được phương trình trùng phương đối với x

hay y

Chú ý: Để tìm các căn bậc hai ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương

đủ, việc này thu gọn quá trình giải nhưng phải dự đoán và ước lượng tốt mới làm được Bài toán 1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Giải a) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức zi

Ta có  2 2 2  

xyi  i x y  xy i

2 2

x y xy

  

 



Vậy có hai căn bậc hai là: 1 1

 

Cách khác: Ta có  2 2

1 i     1 i 2i 2i nên i có các căn bậc hai là 1  

1

b) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z i

Ta có  2 2 2  

xyi   i x y  xy i

2 2

xy

  

     

 



Vậy có hai căn bậc hai là: 1 1

 

Cách khác: Ta có  2 2

1 i      1 i 2i 2i nên i có các căn bậc hai là 1  

1

Bài toán 2 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) z  5 12i b) z   9 40 ,i

Giải

z  i   i  i

Do đó z  5 12i có hai căn bậc hai là  3 2i

z   i   i  i

Do đó z   9 40 ,i có hai căn bậc hai là  4 5i

Bài toán 3 Tìm các căn bậc hai của số phức

Giải a) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z  1 4 3i

xyi   ix y   xy i

12

1

2 3

2 3

x



  



Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1   2 3 ,i z2    2 3i

b) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z 17 20 2  i

Ta có:  2

17 20 2

xyi   i

2 2

2 2





Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 ,  i   5 2 2i

Bài toán 4 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) z  7 6 2i b) z  3 2 10i

Giải

z  i   i  i

Do đó z  7 6 2i có hai căn bậc hai là  3 2i

z  i   i  i

Do đó z  3 2 10i có hai căn bậc hai là  5  2i

Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số thực , ta có:

cos  isin   cos 2  isin 2 

Từ đó hãy tìm các căn bậc hai của số phức cos 2  isin 2 

Giải Với mọi số thực , ta có:

cos  isin   cos   sin   2sin cos   i cos 2  isin 2 

Để tìm các căn bậc hai xyi của cos 2  isin 2 , ta cần giải hệ phương trình

2 2

cos 2

xy





  







Rõ ràng các cặp cos ,sin   ,  cos , sin    là nghiệm của hệ, tức là cos  isin  là hai căn bậc hai của cos 2  isin 2 

Ta đã biết rằng số phức chỉ có hai căn nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm

Vậy các căn bậc hai của cos 2  isin 2  là cos  isin 

Bài toán 6 Tìm các căn bậc hai của 2 

1

2 i Giải Với mọi số thực , ta có các căn bậc hai của

cos 2  isin 2  là cos  isin 

Áp dụng: Ta có 2 

       

       

Do đó 2 

1

2 i có hai căn bậc hai là

cos sin cos sin

         

       

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là: 1 

Bài toán 7 Chứng minh rằng:

Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w  z

Giải Nếu z là một căn bậc hai của w thì 2

z w

Nên 2 2

z  z  w Vậy: z  z2  w

Cách khác: viết z x yi x y ,  

Bài toán 8 Hỏi khi số thực a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a i chạy trên đường nào?

Giải Gọi z x yi với x y,  là căn bậc hai của số phức z a i

Ta có:

2 2 2

2 2

1 2

y

xy

 



Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol 1

2

y x

 Vì với mỗi điểm  x y, của hypebol này, tìm được 2 2

ax y nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hypebol đó

Vậy các điểm M biểu diễn căn bậc hai chạy trên hypebol 1

2

y x

 Dạng toán 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI NGHIỆM PHỨC Phương trình bậc hai nghiệm phức

2

0

Az Bz C  với A B C, , là các số phức, A 0

Lập biệt thức: 2

4

B AC

  

Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép

2

B z A



 Nếu   0 ta tìm các căn bậc hai  của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1,2

2

B

z

A



 



Đặc biệt, nếu  là số thực

1,2

0 :

2

B i z

A

  

   và 0 : 1,2

2

B i z

A

  

   Chú ý:

1) Khi  là số thực âm thì phương trình bậc 2 không có nghiệm thực

2) Ngoài cách giải tổng quát, ta có thể dùng biệt thức   thu gọn hoặc biến đổi dạng về phương trình thiếu B hoặc C:

Az Bz Az  C

3) Phương trình bậc hai: 2

0

Az Bz C  Nếu có A B C   0 thì có nghiệm z 1

Nếu có A B C   0 thì có nghiệm z  1

Bài toán 1 Giải phương trình trong tập số phức:

a) 2

1 0

z   z

Giải a) Phương trình bậc hai 2

z  z  có  2



      Vậy phương trình có hai nghiệm z1   1 3 ,i z2    1 3i

b) Phương trình bậc hai 2

1 0

z   z có  2

     

Vậy phương trình có hai nghiệm 1,2 1 3

2

i

z  

 Bài toán 2 Giải phương trình trong tập số phức:

a) 2

10 0

z   Giải a) Phương trình bậc hai 2  

z  z z z   z hay z  7 Vậy phương trình có hai nghiệm z1 0, z2   7

b) Phương trình bậc hai  2

z   z    i Vậy phương trình có hai nghiệm z1,2  i 10

Bài toán 3 Giải phương trình trong tập số phức:

a) 2    

z   i z  i

Giải a) 2    

z  i z  i 

  2  2



        nên   có 2 căn bậc hai là 2i

Do đó: z1 2  i  2i   2 i z, 2 2  i  2i   2 3i

Vậy phương trình có hai nghiệm z1  2 i z, 2   2 3i

b) 2    

z   i z  i

1 3i 8 1 i 2i 1 i

nên phương trình có hai nghiệm là:

z     i i  i z     i i   i

Bài toán 4 Tìm các nghiệm phức của phương trình:

a) 2  

z   i z  i

Giải a)  2  

5 2i 2 28 4i 35 12i



Ta tìm các căn bậc hai xyi của  2 2 2 35

xy

   



      

 



Ta có: 2 2 2 2

Do đó giải được 2 căn bậc 2 là:  1 6i

nên phương trình có 2 nghiệm: z1  3 4i và z2   2 2i

          

 có hai căn bậc hai là  1 2i nên phương trình có hai nghiệm là:

Bài toán 5 Giải các phương trình nghiệm phức:

a) 2  

2iz  3z   4 i 0 Giải

a) Phương trình 2  

z  i z i có biệt thức

9 1 i 20i 9 2i 20i 2i 1 i

Hai nghiệm    

1

2 2

   

2

1 2 2

Kết quả z   2 i và z   1 2i

b) 2

2iz  3z   4 i 0

        

Ta tìm các căn bậc hai a bi với a b,  của 

2

2

256 17 17

17 32

16

a

ab

b a

  



 



Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:

Bài toán 6 Giải các phương trình nghiệm phức:

2

z   i  z i   

Giải Phương trình 2  

z   i  z i   

cos  isin  4 sin cosi  

cos  isin  2 sin cosi   cos  isin 

Nên  có hai căn bậc hai là cos  isin 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1  cos ,  z2 isin 

Bài toán 7 Cho số phức z thỏa mãn 2

z  z  Tính z 6

z i



 Giải

Phương trình 2

z  z  có  2

     

Do đó z  3 2i hay z  3 2i

Với z  3 2i, ta có:

3 3

Với z  3 2i, ta có

6 6 6

Cách khác: 2  2    2 2

z  z   z    z  i

Bài toán 8 Cho số phức z thỏa mãn: 1 3

2

z

z z



 

 Tính môđun của số phức

2

z i w

z i







Giải

2

z

z

        



2

  



        



Với z   2 i, ta có 2 2 2 6

2

i

z i

 



5 2

z i w

z i





Với z   2 i, ta có 2 4 6

2

z i

i

z i

 



13 2

z i w

z i



 Bài toán 9 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

2z  3z  3 0

1 2 ; 1 ; 2 1 2

S  z z Pz z T z z

Giải Phương trình 2

     

Do đó có 2 nghiệm 1 3 21; 2 3 21

z    z   

S z z       

1. 2 3 21. 3 21 3 21 24 3

Pz z         

Và có

 

2 2

1 2

3 21

        

Bài toán 10 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

z  z  Hãy tính: A z12 z2 2

Giải Phương trình 2



     

Do đó có 2 nghiệm z1   1 3 ;i z2    1 3i

Ta có 2 2    

A z  z     

Bài toán 11 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2  

z  i z  i

Hãy tính: 2 2 4 4

1 2 , 1 2

z z z z

Giải Phương trình 2  

z  i z  i có

2 i 4 3 5i 4 1 4i 12 20i 9 24i 3 4i

Do đó có 2 nghiệm 1 5 5 ; 2 1 3

z    z   Nên S  z1 z2   2 i P, z z1 2  3 5i

Ta có: 2 2 2  2  

z z S  P  i   i    i

4 4  2 22 2 2  2  2

z z  z z  z z    i   i    i

Dạng toán 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC

- Phương trình bậc 3, bậc 4, bậc cao nghiệm phức: Nguyên tắc chung cũng như phương trình bậc cao trong là biến đổi thành phương trình tích số hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc thấp,…

Người ta chứng minh được rằng phương trình bậc n:

1

0 n 1 n n 1 n 0

A z A z   A z A  trong đó A A0, 1, ,A n là n 1 số phức cho trước, A0  0, n là một số nguyên dương luôn có n nghiệm phức phân biệt hay trùng nhau

- Hệ phương trình nghiệm phức: biến đổi rút thế, cộng đại số, hay biến đổi tích để giải Có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình thường gặp,…

Bài toán 1 Giải các phương trình nghiệm phức:

a) iz 1z 3i z  2 3i 0 b) z z  3 zz   4 3i

Giải a) Ta có: iz 1z 3i z  2 3i 0 nên:

- hoặc iz  1 0 tức là z i

- hoặc z  3i 0 tức là z  3i

- hoặc z   2 3i 0 tức là z   2 3i 0 hay z  2 3i

Vậy phương trình có ba nghiệm là:  i, 3i và 2 3i

b) Đặt z x iy x y, , 

z z zz x y  iyx y  yi

15

2

x

y

y



 



 



Vậy 15

i

z  hoặc 15

i

z   Bài toán 2 Tìm số thực m để phương trình 3   2  

z  i z   i z mi có nghiệm zi

Khi đó, giải phương trình đã cho

Giải Thay zi vào phương trình ta có m 3

Khi đó phương trình trở thành

z  i z   i z   i z i z  z  i

 z i hoặc 2

z  z  i

Giải phương trình bậc hai

: 9 4 3 i 3 4i 1 2i

       

Suy ra z  2 i z,   1 i

Vậy nghiệm của phương trình là zi z,   2 i z,   1 i

Bài toán 3 Tìm các số thực a b, để có phân tích:

2z  9z  14z  5 2z 1 z az b

Giải phương trình nghiệm phức 3 2

2z  9z  14z  5 0

Giải

Ta có 3 2    2 

2z  9z  14z  5 2z 1 z az b

2z 9z 14z 5 2z 2a 1 z 2b a z b

Đồng nhất, ta có hệ:

4

5 5

a

a

b a

b b

  



 



   

  



Do đó phương trình 3 2    2 

2z  9z  14z   5 0 2z 1 z  4z  5 0

2z  1 0 hoặc 2

z  z  Biệt thức của phương trình bậc hai 2

z  z  2



     

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm phức 1, 2 , 2

2 i i Bài toán 4 Giải các phương trình nghiệm phức:

a) 3

8 0

x i  x  i x  i  Giải

a) Ta có: 3    2 

x    x x  x 

  x 2 0 hay 2

x  x  Phương trình bậc hai 2

x  x  2



      nên có các căn bậc hai là i 3

Nên 2

x  x     x i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2; x   1 i 3

b)   2  

x i  x  i x     i  x i hoặc 2  

x  i x  i

Phương trình bậc hai 2  

x  i x  i có biệt thức

2 i 4 7i 1 7 24i 4 3i

Nên  có các căn bậc hai là  4 3i

Từ đó giải cho 2 nghiệm x  3 i x,    1 2i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x  2 i x,   3 i x,    1 2i

Bài toán 5 Giải các phương trình nghiệm phức:

a) 3

z z  z  Giải

a) Đặt z x iy x y, ,  , ta có  3

x iy i

x xy

x xy i x y y i

x y y



 



Ta có: 3 2  2 2

x  xy  x x  y   x hay x y 3

Nếu x    0 y 1

2

x  y y và 3

2

x 

Vậy phương trình có 3 nghiệm , 3 , 3

i

b) Ta có z 0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình cho 2

z ta được:

2 2

2

            

2 2

2

z

z

z

  





Vậy nghiệm của phương trình là 1, 2, 1 7

z  z  z  i

Bài toán 6 Giải phương trình nghiệm phức: 3 1

2

i

z  

Giải Đặt z x iy x y, ,  , ta có: 3 1 3 2  2 3 1

2 2

2 2

1

2

3

2

x y x y xy

x y y



- Xét x    y 0 y x nên

3

3

x  x  x       x 

 

 

Do đó: 1

2

y Ta có được: 1 1

2

i

z  



- Xét 2 2

x y  xy

Ta có hệ:    

2

2

2

2 1

4

x y



        

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: 1 1 ;

2

i

z   

Bài toán 7 Giải phương trình nghiệm phức:

a) 4 2

z  z z  z  Giải

a) Đặt 2

tx Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2

t   t

2



     

Tính được t   1 i 3

Phương trình trở thành 2

x   i hay 2

x   i

Tìm các căn bậc hai của   1 i 3 ta được bốn nghiệm phức của phương trình đã cho là:

;

     

b) Xét z  1 thì phương trình: 1 1 6 8 16      0 nghiệm đúng nên phương trình tương đương:    3 2 

z z  z  z 

        hoặc z 2 hoặc 2

8

z   1

z

   hoặc z 2 hoặc z  2i 2

Bài toán 8 Giải phương trình nghiệm phức:

a)  2  

z i  z  i  b)

2

   

Giải a) Đặt z   3 i w thì phương trình trở thành 2

w  w 

Biệt thức   36 52    16 nên 6 4 3 2

2

i

w    i

Do đó z    3 i 3 2i hay z i   2i

Vậy z 3i và z i là các nghiệm phức cần tìm

b) Đặt 3

2

iz

w

z i

 

 thì phương trình:

2

w  w 

Biệt thức    9 16  25 nên 3 5

2

w 

suy ra w  1 hay w 4

Với w  1, ta có 3 1

2

iz

z i

  

 thì

1 5 2

i

z  

Với w 4, ta có 3 4

2

iz

z i

 

 thì

4 35 17

i

z  Bài toán 9 Giải phương trình nghiệm phức và biểu diễn tập nghiệm:

a) 4

16 0

8z  8z  z 1 Giải

a) Ta có 4  2  2 

z    z  z  

    2 

1,2.

        hay z3,4  2i

Vậy phương trình có 4 nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình vuông

ở hình 1

b) 4 3    3 

8z  8z   z 1 z 1 8z   1 0

4z  2z  1 0

Nghiệm của z  1 0 là z1  1, nghiệm của 2z  1 0 là 2 1

2

z  Nghiệm của

2

z  z   z   

3

z    i và 4 1 3

z    i Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2

Bài toán 10 Giải hệ phương trình nghiệm phức: 2

1

z i z

  





  



Giải Gọi số phức z x yi x y, ,  

       

       

2



Vậy nghiệm phức z  1 i

Bài toán 11 Giải các hệ phương trình nghiệm phức:

a)    

     





2 10

x iy z

x y iz

ix iy i z

   

   



    

 Giải a) Lập định thức:

21 23

2 44

x

23 21

y

Vậy nghiệm phức: x 1 i

y i

 



 



b) Ta có:

Khử x ta có hệ:    

     





    



Từ đó có x  3 11i

Vậy hệ có nghiệm phức:

3 11

3 9

1 7

 



   



  

 Bài toán 12 Giải các hệ phương trình nghiệm phức:

a) 1 22 2

1 2

5 5

5 2

  





   

4

7 28

 



    

 Giải a) Ta có: 2 2  2

1 2 1 2 2 1 2

z z  z z  z z nên:  2  

1 2

       suy ra  2  2

z z     i i

Do đó z1z2   1 4i hoặc z1z2    1 4i

Áp dụng định lý Viet với 1 2

1 2

1 4

  



   

1 2

1 2

1 4

   



   

 thì z z1, 2 là các nghiệm phương trình

2

z   i z  i hoặc: 2  

z   i z  i

Lập biệt thức  1, 2 từ đó giải được 4 nghiệm z z1 , 2:

2   i, 1 3 ,i   1 3 , 2i i ,   2 i, 1 3 , 1 3 ,  i   i   2 i

b) Ta có z  w 4 i

nên 3 3     2 

z w   i zw zw  zw   i

4

i

i





Vì z  w 4 i nên w   4 i z

Thế vào thì có phương trình: 2  

z  i z  i

Ta có:  2

      Suy ra z  3 i hoặc z  1 2i

Vậy hệ có 2 nghiệm: z w;    3 i; 1 2 ,  i z w;    1 2 ; 3i i

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1 Tìm các căn bậc hai của số phức

HD-ĐS

3 4    i 4 1 2.2.2  2 i