Dang bai tap khao sat va ve do thi ham huu ti bac hai tren bac nhat 7ejn9

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 2/1 I Phương pháp giải Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị Gồm 3 bước Bước 1 Tập xác định Tìm tập xác định Xét tính chẵn, lẻ nếu có Bước 2 Chiều biến thiên Tính c[.]

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM HỮU TỈ BẬC 2/1

I Phương pháp giải

Sơ đồ chung về khảo sát và vẽ đồ thị: Gồm 3 bước:

Bước 1: Tập xác định

- Tìm tập xác định

- Xét tính chẵn, lẻ nếu có

Bước 2: Chiều biến thiên

- Tính các giới hạn

- Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu

- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu Bước 3: Vẽ đồ thị

- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ

- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận đứng và tiệm cận xiên Các dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y ax2 bx ca 0,a 0

a x b

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số:

2

4

x y x



Giải

● Tập xác định D R\ 0 ;  y x 4

x

   là hàm số lẻ

● Sự biến thiên:

lim , lim

x    x    nên đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng

x

    nên đường thẳng y x là tiệm cận xiên

Ta có:

2



        

BBT

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và

2; , nghịch biến trên mỗi khoảng  2;0 và

 0;2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x  2,y CÑ   4

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2,y CT  4.

● Đồ thị:

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận O 0;0

Bài toán 2 Khảo sát và vẽ đồ thị  C của hàm số:

2

1 x

y x



Giải

Ta có

2



   

 Tập xác định: D R \ 0  Hàm số lẻ

 Sự biến thiên: TCĐ: x 0, TCX: y x

2

1

x

      

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;0 và 0; 

 Đồ thị: y    0 x 1 Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận O 0;0

Bài toán 3 Cho hàm số

2 2 5.

1

y

x

 





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

2 2 5 2 2 5 1

x  x  m  m x

Giải a)

 

 Tập xác định D R \ 1  

 Sự biến thiên:

2 2

 

Ta có

lim , lim

        nên TCĐ: x  1

 

1

x

     

 nên TCX: y x  1.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên   ; 3 , 1;  ,

nghịch biến trên   3; 1 , 1;1   

Hàm số đạt CĐ   3; 4 , CT 1;4

 Đồ thị:

Cho x   0 y 5

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận

 1;0 

I 

b) Vì x  1 không là nghiệm nên phương

trình đã cho tương đương với:

2

2

1

x

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

2 2 5

1

y

x

 



 với đường thẳng

2 2 5.

y m  m

Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

m

m

  

  

Bài toán 4 Cho hàm số

2 2 3 2

y x

 





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

b) Tìm các điểm trên  C có tọa độ là số nguyên Chứng minh đồ thị  C có tâm đối xứng

Giải

2

y x

x

 



 Tập xác định D R \ 2  

 Sự biến thiên:

2

lim



   và

2

lim



   nên TCĐ: x 2.

2

x

    

 nên TCX: y x

 2

3

2

y

x

 với mọi x 2

Bảng biến

thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;2 và 2; .

 Đồ thị:

2

x  y

y   x x

b) Điểm M x y   ;  C có tọa độ nguyên khi

2

x là ước số của của 3 nên x    2 1, 3.

Do đó  C có 4 điểm có tọa độ nguyên:

    1;4 , 3;0 , 1;0   và  5;4

Giao điểm 2 tiệm cận I 2;2 chuyển trục

bằng phép tịnh tiến vectơ

2 :

2

x X

OI

y Y

  

2 2

X X

Vì Y F X X : 3

X

  là hàm số lẻ nên đồ thị  C nhận gốc I 2;2 làm tâm đối xứng

Bài toán 5 Cho hàm số

2 1

x y x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính góc giữa 2 tiệm cận

b) Biện luận m số nghiệm của PT:

2 1 2 1.

  

Giải

a) Hàm số y x 1

x

 

 Tập xác định D R \ 0  Hàm số lẻ

x



       hoặc x 1.

lim , lim

      nên TCĐ: x 0

x

     nên TCX: y x

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên   ; 1 , 1;  , nghịch biến trên  1;0 , 0;1   

Hàm số đạt CĐ   1; 2 , CT 1;2

 Đồ thị: Đối xứng nhau qua gốc O

TCĐ: x 0, TCX: y x nên hai tiệm cận hợp nhau góc 45 

b) Khi m 0thì PT vô nghiệm

Khi m 0thì số nghiệm phương trình

2 1 ( )

m

m



  là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y m2 1 f m( )

m



Dựa vào đồ thị ta có:

Nếu

2 1 2

m

m

  

hoặc

2

1 2

m

m





0, 1

    , thì PT có 2

nghiệm

Nếu

2 1 2

m

m

  

hoặc

2

1 2

m

m





1

m

có 1 nghiệm

Bài toán 6 Cho hàm số

2 2 1

y x





 có đồ thị  C a) Khảo sát và vẽ đồ thị  C

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C và suy ra đồ thị

2

2

1

x x

y

x





Giải

a)  Tập xác định D R \ 1   Ta có 3 3

1

y x

x

  



 Sự biến thiên:

2

 

lim , lim

      nên TCĐ: x 1.

1

x

     

 nên TCX: y x  3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên   ;1 3, 1  3; , nghịch biến trên 1  3;0 , 0;1   3  Hàm số đạt CĐ 1  3;4 2 3 ,   CT1  3;4 2 3  

 Đồ thị: y   0 x 0 hoặc x  2.

b) Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị là:

1 3;4 2 3

A   và B1  3;4 2 3  

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị là đường thẳng d có vectơ chỉ phương

 

2 3

u AB và đi qua điểm A nên có phương trình:

1 3 4 2 3

x y

Ta có

2 2

2

1

1

x x khi x hay x

y

x

  









nên có đồ thị giữ nguyên đồ thị  C phần phía trên Ox và lấy đối xứng phần phía dưới

Ox qua Ox

Bài toán 7 Cho hàm số y mx2 mx1 1 1 

x



a) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (1)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m 1.

Suy ra đồ thị hàm số

1

x x y

x

 





Giải a) Gọi M x y 0 ; 0 là điểm cố định của đồ thị (1):

2

0 0

0 0

1 1

m x x

mx mx

2

0

0

1

x



Vậy các đồ thị luôn luôn qua M0; 1  

b) Khi m 1 thì

x x

 

 Tập xác định D R\ 1 

 Sự biến thiên

   

2



lim , lim

      nên TCĐ: x 1.

1

x

    

 nên TCX: y x

Bảng biến

thiên:

Hàm số đồng biến trên  ;0 , 2;  , nghịch biến trên    0;1 , 1;2

Hàm số đạt CĐ 0; 1 ,   CT 2;3

 Đồ thị

Ta có

1

x x

y

x

 



 là hàm số chẵn nên đồ thị  C đối xứng nhau qua Oy

Khi x 0  thì lấy phần đồ thị  C , sau đó lấy đối xứng phần đó qua Oy thì được đồ thị

 C

Bài toán 8 Cho hàm số 2  1 2

1

y

x



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m 2.

b) Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x x1 2   3.

Giải a) Khi m 2 thì

x x

 

 Tập xác định D R \ 1  

 Sự biến thiên:

2

1

y

    

y    x hoặc x 3.

1 1

lim , lim

      nên TCĐ: x 1

1

x



 nên TCX: y  x 2.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên     1;1 , 1;3 ,

nghịch biến trên   ; 1 , 3;  .

Hàm số đạt CĐ 3; 7  , CT  1;1

 Đồ thị: Cho x   0 y 2.

Tâm đối xứng I 1; 3 

b) D R \ 1  

Ta có

 

2

2

1

y

x

 

2

y  x  x m   x     m

Hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 và 1 2 2 0

m

m

  

   