Dang bai tap ung dung tinh don dieu vao tinh so nghiem phuong trinh de6z7

ỨNG DỤNG VÀO TÍNH SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình   0f x  có tối đa 1 nghiệm Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu thì f  là hàm đơn điệu nên[.]

ỨNG DỤNG VÀO TÍNH SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

A Phương pháp giải

Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x  0 có tối đa 1 nghiệm

Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu thì f là hàm đơn điệu nên phương trình f x  0 có tối đa 1 nghiệm do đó phương trình f x  0 có tối đa 2 nghiệm

Từ BBT cho ta các giá trị của y, nếu y nhận giá trị từ âm sang dương hay ngược lại trên một miền thì y 0 có đúng 1 nghiệm trên miền đó

B Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Chứng minh rằng phương trình 3x5  15x  8 0 có một nghiệm duy nhất

Giải

Hàm   5

3 15 8

f x  x  x là hàm số liên tục và có đạo hàm trên ¡

Vì f  0    8 0, f  1  1 0  0 nên tồn tại một số x0  0;1 sao cho f x 0  0, tức là phương trình f x  0 có nghiệm

Mặt khác, ta có 4

15 15 0

y  x   ,  x ¡ nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm duy nhất

Bài toán 2 Chứng minh phương trình: 13 6 4 2

x  x x  x   có nghiệm duy nhất

Giải:

3 3 1

f x x x  x  x  , D ¡

Xét x 1 thì   6 7  2 2 

f x x x   x x    : phương trình đã cho vô nghiệm Xét 0  x 1 thì   13  23

f x x  x  : phương trình đã cho vô nghiệm Xét x 0 thì:   12 5 3

13 6 12 6

f x  x  x  x  x

 2 12

13x 6x x 1 0

    nên f đồng biến Bảng biến thiên:

y



1

Nên f x  0 có nghiệm duy nhất x 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 3 Chứng minh rằng phương trình 2

2x x  2 11 có một nghiệm duy nhất

Giải

Xét hàm số   2

f x  x x thì hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng 2; 

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2; 

Hàm số liên tục trên đoạn  2;3 , f  2  0, f  3  18 Vì 0 11 18   nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực c 2;3 sao cho f c  11 tức c là một nghiệm của phương trình

Vì hàm số đồng biến trên 2;  nên c là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài toán 4 Tìm số nghiệm của phương trình 3 2

x  x  x 

Giải

Xét hàm số 3 2

3 9 4

yx  x  x , D ¡

2

3 6 9

y  x  x , y     0 x 1 hoặc x 3

BBT

y



31



Dựa vào BBT thì phương trình y 0 có đúng 3 nghiệm

Bài toán 5 Chứng minh hệ

1 1

  





 

 có đúng 3 nghiệm phân biệt

Giải

Trừ 2 phương trình vế theo vế và thay thế ta được:

x  x y y   y   x x y 

         

1 x1 yyx1  x y 0

Xét x 1 thì hệ có nghiệm  1;0

Xét y 1 thì hệ có nghiệm  0;1

Xét x y thì 2 3 3 2

x y  x x  

Đặt   3 2

1

f x x x  , D ¡ Ta có f  1   1 0

  2

3 2

f x  x  x,   2

0

3

f x    x hoặc x 0 BBT

3

y



23 27



–1



Do đó f x  0 có 1 nghiệm duy nhất x0  0, x0  0 nên hệ có nghiệm x y0 ; 0

Xét 1      x y 0 y x 1 nên 2 3 3 2

y x  x x  x

      Do đó hệ có nghiệm  0;1 Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 6 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2

2 2 1

x mx  x

Giải

2

2 1 0

x

 



1 2

x 

Vì x 0 không thoả mãn nên:

2

3x 4x 1

m x

  

2

x 

Xét   3x2 4x 1

f x

x

 

2

x  , x 0 thì   3x22 1

f x

x



  Lập BBT thì điều kiện phương trình cho có 2 nghiệm phân biệt là f x m có 2 nghiệm phân biệt 1

2

2

x  m

Bài toán 7 Tìm m để phương trình có nghiệm

Giải

Điều kiện    1 x 1 Đặt 2 2

x x  x thì t 0 và 2 4

2 2 1 2

t   x  , dấu = khi 2

1

x 

Do đó 0  t 2

2 2

2

t t

t

  



Xét   2 2

2

t t

f t

t

  



 , 0 t 2,  

 

2 2

4 0 2

f t

t



 nên f nghịch biến trên 0; 2 Điều kiện có nghiệm:

min f t  m max f t  f 2  m f 0  2 1   m 1

C Bài tập tự luyện