Dang bai tap ung dung thuc te cua bai toan min max co dap an 8xqhv

ỨNG DỤNG THỨC TẾ CỦA BÀI TOÁN MIN, MAX I Phương pháp giải Chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Tiếp t[.]

ỨNG DỤNG THỨC TẾ CỦA BÀI TOÁN MIN, MAX

I Phương pháp giải

- Chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại

- Dựa vào giả thiết, các quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

- Tiếp tục giải theo sơ đồ tìm GTLN, GTNN của hàm số và có thể phối hợp các phương pháp khác

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Trong các hình chữ nhật có chu vi 100 m , tìm hình có diện tích lớn nhất

Giải

Gọi x m  là một kích thước của hình chữ nhật thì kích thước kia là 50 x

Điều kiện 0  x 50

Diện tích S x  x50 xvới 0  x 50

S x  50  2x, S x    0 x 25

BBT

maxS f 25  625 m khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh 25 m 

Bài toán 2 Trong hình chữ nhật nội tiếp đường tròn O R; , tìm hình có chu vi lớn nhất

Giải

Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật ABCD nội tiếp O R; 

Ta có AC 2R nên kích thước thứ hai là 2 2

4R x

Chu vi    2 2

V x  x R x , điều kiện 0  x 2R

Ta có   22 2 4 2 2 2 2

V x

V x   R x   x x R

Lập BBT thì maxVV R 2 Vậy V x  đạt GTLN khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh R 2

Bài toán 3 Xác định tam giác vuông có diện tích lớn nhất biết tổng của một cạnh góc vuông

và cạnh huyền bằng a cho trước

Giải

Tam giác ABC vuông tại A, đặt AB x 0và có ABBC a 0

BC a x, 2 2 2

2

AC BC AB  a  ax

1

a

S  AB AC x a x 0

2

a x

   

3

a

S   x

BBT

Vậy max Stại , 2

x  AB BC nên ABC là nửa tam giác đều

Bài toán 4 Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất

Giải

Gọi x cm  là một cạnh còn lại thì cạnh thứ ba là 10 x nên điều kiện 0  x 10

2

a b c

p    , do đó:

S p pa pb pc  x x   x x

Xét hàm   2

10 16

f x   x x , 0  x 10 thì f x   2x 10

Ta có: f x    0 x 5

Lập BBT thì max f x  f 5  9

Vậy maxS 12 khi a 6, b 5, c 5

Bài toán 5 Cho một tam giác đều ABC cạnh a Dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN

nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Giải

Đặt BMxthì MN a 2x, QMx 3

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

  .  2  3,0

2

a

S x  MN QM a x x  x

Ta có S x  3a 4x;   0

4

a

S x   x

Vậy S x đạt giá trị lớn nhất là

4

a

x

Bài toán 6 Một tấm nhôm hình vuông cạnh a Tìm cách cắt 4 góc 4 hình vuông để gấp thành

một hình hộp không nắp có thể tích lớn nhất

Giải

Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt thì cạnh đáy hình vuông là a 2x,

0

2

a

x

 

Thể tích hình hộp    2

2

V x  x a x

' 12 8

V x  x  axa ,   0

6

a

V x   x

Lập BBT thì

3 2 max

6 27

V V 

 

  khi cắt 4 hình vuông cạnh là 6

a

Bài toán 7 Trong các khối trụ làm bằng tấm nhựa có thể tích V cho trước, tìm khối trụ ít tốn

vật liệu nhất

Giải

Gọi x h, lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, x h,  0

2

2

V

x





   Vật liệu làm là diện tích toàn phần

x

Ta có: S 2V 4 x

2

V



   

Bảng biến thiên:

Vậy thể tích bé nhất khi 3

2

V x



2

V h





Bài toán 8 Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước

Giải

Gọi bán kính đáy hình nón là x , chiều cao hình nón là y 0  x R,0  y 2R

Gọi SS là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:

2 2  

AH HS HS x  y Ry

Gọi V là thể tích khối nón thì:

2

V y  x y y y Ry

 2 3

2

3 Ry y



3

R

V y  y y

0

3

R

V y   y

Lập BBT thì

3 32 max

81

R

V 

khi 4

3

R

y , 2 2

3

R

x

Bài toán 9 Cho parabol   2

:

P yx và điểm A 3;0 Xác định điểm M thuộc parabol  P sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất

Giải

Gọi  2

;

M x x là một điểm bất kì của parapol  P

AM x x  x x  x

Xét hàm số   4 2

6 9;

g x  x x  x DR

g x  x  x  x x  x ; g x     0 x 1

Lập BBT thì mingg   1 5 Vậy minAM 5 tại M 1;1