Dang bai tap ung dung gtln gtnn vao cac bai toan tong hop

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO BÀI TOÁN TỔNG HỢP I Phương pháp giải Tính đạo hàm y rồi lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN Nếu cần thì đặt ẩn phụ  t g x với điều kiện đầy đủ của t Nếu  [.]

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO BÀI TOÁN TỔNG HỢP

I Phương pháp giải

Tính đạo hàm yrồi lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN

Nếu cần thì đặt ẩn phụ t g x với điều kiện đầy đủ của t

Nếu y f x  liên tục trên đoạn  a b; thì ta chỉ cần tìm các nghiệm x i của đạo hàm f 0 rồi so sánh kết luận:

min f x  minf a     ;f x1 ;f x2 ; ;f b  

max f x  maxf a     ;f x1 ;f x2 ; ;f b  

Nếu chưa có hàm số thì ta chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn tại Dựa vào giả thiết, các quan hệ đã cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chú ý:

1) Khi cần thiết ta phối hợp các bất đẳng thức đại số

2) Nếu hàm có nhiều biến thì có thể chọn biến hoặc dồn biến

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số

a)   2 3

1

x

f x

x





 trên đoạn  2;0 b) f x  x  3 6 x

Giải

a) Trên đoạn  2;0, ta có  

 2

5 0 1

f x

x





Suy ra hàm số f x  nghịch biến trên đoạn  2;0

Vậy

     

2;0

1

3

     

2;0

b) D  3;6, với    3 x 6 thì 1 1 6 3

x x y

2

y    x x    x

Lập BBT thì max 3 3 2

2

y f 

 

  , miny f   3 f  6  3

Bài toán 2 Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1m Tính góc

DAB CBA

   sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó

Giải

Hạ AHCD Đặt x·ADC,0

2

x 

 

Ta được AH sinx, DH cosx; DC  1 2 cosx

Diện tích hình thang là:

2

AB CD

2

x 

 

  cos 1 2 cos 1

S x  x x ,0

2

x 

0

3

S x x 

  

Lập BBT thì max 2 3 3

S S  

 

  nên hình thang có diện tích

lớn nhất khi 2

3



Bài toán 3 Cho hai số dương thay đổi x và y thỏa mãn x y 1

Tìm GTNN của

P

Giải

Với x y,  0, x y 1 nên đặt 2

sin

x  a, 2

cos

 

0

2

a

P





4

t a a a 

 , 1 t 2

 

2

0

f t

Nên f nghịch biến trên nửa khoảng 1; 2 

 Vậy minP f 2  2

Bài toán 4 Cho 2   x 3 y

Tìm GTNN của:

2 2

2x y 2x y B

xy

  



Giải

Xét   2x2 y2 2x y 2x 1 y 1

g y



   2 

g y

x y

   , g y    0 y 2x x  1

BBT

f x

   , 2  x 3 thì

    



2 2

0 1

1

f x

x x

x

nên f nghịch biến trên đoạn  2;3 do đó     4 6 1

3

Do đó 4 6 1

3

B 

, dấu bằng khi x 3, y 2 6 Vậy min 4 6 1

3

B 

Bài toán 5 Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của

chúng là lớn nhất

Giải

Gọi x là số thứ nhất, 0  x m, số thứ hai là mx

Tích số P x  x m x, P x   2xm,   0

2

m

P x   x

BBT

P x P 

 

  khi phân tích 2 2

m m

m 

Bài toán 6 Tìm số hạng bé nhất của dãy: 4 3 2

n

u n  n  n  n

Giải

Xét hàm số   4 3 2

f x  x  x  x  x,x 1

  3 2  2 

f x  x  x  x x x  x

Với x 1 thì f x  0 có nghiệm 30 896

4



Lập BBT thì f đạt GTNN tại 30 896  

14;15 4

Ta có f 14   16548; f  15   16957,5

So sánh thì số hạng lớn nhất là u15  f 15   16957,5

Bài toán 7 Một xưởng in có 8 máy in, mỗi ngày in được 3600 bản in trong một giờ Chi phí

để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n 10) nghìn đồng Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy

để được lãi nhiều nhất?

Giải

Gọi n là số máy in sử dụng (n nguyên,1  n 8) thì tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là:

n

Số lãi sẽ nhiều nhất nếu chi phí ít nhất Do đó cần tìm giá trị nhỏ nhất của T n 

Xét hàm số   12500

50

9

f x x

x

  ,1  x 8

12500 50

x

f x



3

f x   x   x

Lập BBT thì min 5 10

3

f f  

  Ta có

5

3

  nên so sánh T 5 và T 6 thì minT n T 5

tức là sử dụng 5 máy thì được lãi nhiều nhất

Bài toán 8 Xác định m sao cho phương trình có nghiệm 4   3 2  

t  m t  t  m t  có nghiệm

Giải

Ta có t 0không là nghiệm

Chia hai vế cho 2

t

                 

2 2

2

Đặt x t 1

t

  thì x  2 và phương trình trở thành:

2        2  1 

x

Ta có:

2 2

1 0

x

y

x



   ,  x 2

Lập BBT thì phương trình có nghiệm khi 3

2

m  hay 7

2

m

Bài toán 9 Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm

m







Giải

sin

t x, 0  t 1 thì:

 

2

1

3sin 2 1 sin

y

 

Xét   2

f t  t  t ,0  t 1;   1

3

f t  t   t

Lập BBT thì: 5   4 8

3

3  f t     3 y 5

Vậy điều kiện có nghiệm 4 8

Bài toán 10 Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

 







2

x x

x x x m m

Giải

Xét  1 : 2

x  x     x

Ta tìm điều kiện ngược lại, tức là tìm m để

  3 2

f x x  x x m  m ;  1;4 max1;4   0

x

 

Vì               

Khi    1 x 0  f x  3x x  2 0

0  x 2 f x  3x x  2 0

2  x 4  f x  3x x  2 0

Do đó

1;4

Nên có 2

        

Vậy điều kiện có nghiệm là    16 m 1

Bài toán 11 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4 4 2

xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2

2 2

16 2

P x y

x y

Giải

Đặt xy t 0

t

    1

2

        vì t 0

Xét hàm số   2 8

1

f t t

t

 

 ,

1

2

2  t

 

 2

8 2

1

f t t

t



 

1 1

2 2

2 2

t t

t t



Ta có f 1  5,   20

2 3

f  , 1 67

f   

  So sánh khi 

20 3

P

Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 1

0

xy

x y

x y





  

  



Vậy giá trị lớn nhất của P là 20

3 , đạt khi x  y 1

Bài toán 12 Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

1

P

  

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

a b c   ab  c  a  b c

3

a b c

a b c     

Suy ra

P

a b c a b c

Đặt t    a b c 1, t 1 thì

 3

2

P

t t

 



Xét hàm số  

 3

2

f t

t t

 

 trên 1; 

 

2

f t

t t

   

 ;

   2 2

f t   t t       t t t

Bảng biến thiên

Suy ra 1

4

P Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t  4

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1

4, dấu = khi a  b c 1

III Bài tập

Bài tập 1 Tìm GTLN, GTNN của

y x  x  x trên  1;5

b)   22 1

m m

g m

 



  , 1 m 4

HD-ĐS

y  x  x , y    0 x 1hoặc x  5 (loại)

So sánh f  1 , f 1 vàf 5

Kết quả miny  7 và maxy 201

b)  

2

2 2

g m

  , g m   0 m 2

Ta có g 1  1, g 2  3,   13

4 7

g 

Kết quả maxgg 2  3, mingg 1  1

Bài tập 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

cos

y

x

 trên ;3

 

  b)   1

sin

f x

x

 trên đoạn ;5

 

HD-ĐS

a) Trên khoảng ;3

 

sin cos

x y

x

  , y    0 x 

BBT

Kết quả

3

;

2 2

x

y

 

 

  và không có giá trị nhỏ nhất

b) Trên đoạn ;5

 

cos sin

x

f x

x

   ,   0

2

f x x 

  

f   

5 2 6

f   

  , f 2 1



  

 

 

Kết quả: 5  

;

3 6

x

f x

 

 

 , 5  

;

3 6

x

f x

 

 



Bài tập 3 Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2

1

a b c 

Tìm giá trị lớn nhất của

HD-ĐS

Theo giải thiết thì a b c, ,  0;1

 2 2  2 2  2 2

a a b b b c c c a

Xét     2

1

f x x x trên khoảng  0;1

   2

1 3

0

3

f x   x

Lập BBT thì 0    2

3 3

f x Do đó  2  2   2 2 2

Kết quả max  2

3 3

3

a  b c

Bài tập 4 Tìm GTNN, GTLN của hàm số

y

 

b) y a b a b a b

       

         

       

HD-ĐS

a) Quy đồng và đặt t sinx cosx,  2  t 2

  216 2

t

y f t

t t





 

2

2 2

'

t t

f t

t t

Kết quả min 4

y

 ;

4 max

y



b) Đặt t a b

b a

  , t  2 Ta có   4 2

y f t  t t  t

Kết quả miny  2và không có GTLN

Bài tập 5 Cho phương trình 2   2   

2

4

x kx k

k có 2 nghiệm x x1, 2 Tìm GTLN, GTNN của    2 2

2 1 2

T xx x x

HD-ĐS

Điều kiện có 2 nghiệm     0 1 k  2

Dùng định lý Viet thì T 20k 16

k

  , T 20 162 0

k

   

Kết quả minT  32và max  32

Bài tập 6

a) Cho x y,  0 thỏa 3 3

1

x y  Tìm giá trị lớn nhất của T x  2 y

b) Chứng minh bất đẳng thức: 2 4

cos x.sin x cos 2x  1

HD-ĐS

a) Lập hàm theo biến x

2 1

T f x  x  x , 0  x 1

 

2

5 3 6

1

x

f x



5 6

b) Đặt 2

t x  t Lập hàm theo biến t

Bài tập 7 Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

2sin x cos 2x 3m 1

b) 2  x 2  x 2 x2 xm

HD-ĐS

2sin x cos 2x  3m 1

sin

t x, 0  t 1

 4

2sin x cos 2x  2t   1 2t

và xét hàm   4  4

f t  t   t , 0  t 1

b) Đặt t 2  x 2 x , 2  t 2 2

t   x

2

t

Đưa về xét hàm   2 4

2

t

f t t 

  với 2  t 2 2

Bài tập 8 Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh

kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là:

  2 3

45 , 0,1,2, ,25

f t  t t t

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn 0;25thì f t được xem là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t

Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó

HD-ĐS

  2

90 3

f t  t t , f t  90 6  t, f t    0 t 15

BBT

Kết quả tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 15

Tốc độ đó là: f 15  675(người/ ngày)