Dang bai tap ung dung dao ham vao khao sat ham so luy thua mu logarit aezcn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Đạo hàm    1 1x x , u u u ;              n n n 1 n 1n n 1 u'''' x x 0 , u , n x n u [.]

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ

HÀM SỐ LOGARIT

I Phương pháp giải

x x , u uu ;

u0

 x x  x x  u u  u u

a a ln a; e e ; a a u ln a; e e u 

log x ; ln x ; ln x



Khảo sát hàm số: xét tính đơn điệu, cực trị

- Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a;b , khi đó:

Nếu f x 0với mọix a;b thì hàm số f đồng biến trên a;b

Nếu f x 0với mọix a;b thì hàm số nghịch biến trên a;b

Khi f x 0chỉ tại một số hữu hạn điểm của a;b thì kết quả trên vẫn đúng

- Choy f x liên tục trên khoảng a;b chứax 0có đạo hàm trên các khoảnga; x 0và

x ;b : 0 

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tạix 0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tạix 0

- Choy f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng a;b chứax 0:

Nếu f x 0 0và f x 0 0thì f đạt cực tiểu tạix 0

Nếu f x 0 0và f x 0 0thì f đạt cực đại tạix 0

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  2 x 2 x

2 2 y

2 2









yx 5 x

Giải

a) 2 x   2 x   2 x

y e  x 1 2e  2x 1 e

b)      

2

2 ln 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 ln 2

y

2 2



 



2

ln 2

c) Ta có 5 x x 5 x xln x

yx 5 x x 5 e nên

y 5x 5 ln 5 e ln x 1 5x 5 ln 5x ln x 1 

Bài toán 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y 3x 2 ln x b)  2 2

yln x x a c)  2 

ln x 1

x





Giải

a) 2 2 3x 2 ln x 

y 3ln x

x



x 1

1

x a y





ln x 1 2

y



Bài toán 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y 2x 1  tan e b) 5 3

3 3 3

1 x y

1 x







Giải

y 2 2x 1   1 tan e e

3 5

ln 5x 3ln 5x 3 y

5 ln 5x 5 ln 5x

5 ln 5x

c) Đặt

3

3

1 x u

1 x





 thì 3 2

u y

3 u



  và

2

2 3

6 x u

1 x

  



nên

3

3

y

3u 1 x 1 x

Bài toán 4: Chứng minh:

a) Nếu y ln 1

1 x



 thì

y

xy  1 e

b) Nếu 4 x x

ye 2e thì: y 13y 12 y0

Giải

x 1

  

 suy ra

y



y 4e 2e , y  16e 2e , y  64e 2e nên:

 4 x x  4 x x  4 x x

y 13y 12 y 64e 2e 13 4e 2e 12 e 2e 0.

Bài toán 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

a) kx

y5 b) yln x 5   c)  2 

yln 6 x  x 1

Giải

y  k ln 5 5 , y  k ln 5 5

Ta chứng minh quy nạp:  n  n kx

y  k ln 5 5

b) Với



Ta chứng minh quy nạp:      

n 1 n

n

1 n 1 ! y

x 5







c) Với x 1

3

x : y ln 2x 1 3x 1 ln 2x 1 ln 3x 1 2

2x 1 3x 1

Ta chứng minh quy nạp

m

m 1

1 m! a 1



  

Suy ra      

n

1 n 1 ! 2 1 n 1 ! 3

Bài toán 6: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:

a)

x

e

y

x

yx e

Giải

e x 1

x

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng ;0và  0;1 , đồng biến trên khoảng

1;, đạt CT  1;e

DR, y  2xx e , y   0 x 0hoặc x2.

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng  0;2 , nghịch biến trong các khoảng ;0và

2;, đạt CĐ  2

2;4e , CT  0;0

Bài toán 7: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:

yln x 1 b) y x ln 1 x  

Giải

2x

x 1





Khi x 1thì y 0nên hàm số nghịch biến trên  ; 1

Khi x1thì y 0nên hàm số đồng biến trên 1;

Hàm số không có cực trị

1 x 1 x

y   0, x 0; nên hàm số đồng biến trên 0;

y    0, x 1;0 nên hàm số nghịch biến trên 1;0

Ta có

1

1 x

 nên đạt cực tiểu tại x0, y CT 0.