Dang bai tap ung dung cuc tri vao bat dang thuc

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ VÀO BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp giải BBT cho ta các giá trị của y, từ đó có đánh giá về hàm số y và tạo nên các bất đẳng thức Chú ý xét hàm số của đề bài cho, các hàm số trung gian, c[.]

I Phương pháp giải

BBT cho ta các giá trị của y, từ đó có đánh giá về hàm số y và tạo nên các bất đẳng thức Chú ý xét hàm số của đề bài cho, các hàm số trung gian, các biến đổi đưa về hàm theo một biến, các hàm dạng như nhau,…

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Chứng minh bất đẳng thức:  2

2

0

x



  với mọi x

Giải

Xét hàm số  2

2

4 ,

2 5

x



  ¡

2

2 2

2 3 11 4

2 5

y

 

 

 

3

y   x  x    x hay x 4

BBT

y

1

13/4

0

1

Vậy 0 13

4

y

  với mọi x  đpcm

Bài toán 2 Chứng minh:

3

6

x x



 với mọi x thỏa mãn x  6

Giải

Xét hàm số:

3 2

6

x y x



 Tập xác định D   ; 6  6; 

4

2 2

2

6 6

x

x x

x y

x



y   x hoặc x  3.







2

3 3

1 3

 0

9 3



Vậy f x   9 3 với mọi, x  6  đpcm

Bài toán 3 Cho a b c, ,  0 thỏa mãn 2 2 2

1

a  b c 

Chứng minh 2 2 2 2 2 2 3 3

2

b c c a a b 

Giải

2

3 3 (1 ) 2



Xét    2

1

f x x x với x 0;1

3

f x   x   x 

BBT:

 

f x

 

f x

Do đó   2  

, 0;1

3 3

Áp dụng thì có:

2



Bài toán 4 Cho 2 số a,b mà a b  0

Chứng minh bất đẳng thức: *

,

n n n

n

Xét f x x n c xn,c 0,D ¡

Ta có   1   1 1   1

f x n x   c x  n x   c x  

f x  x   c x 

Với n chẵn thì n 1 lẻ nên

2

c

x   c x x

Với n lẻ thì n 1 chẵn nên  

2

c

x  c x  x

BBT

f

Ta có:   ,

2

c

f x  f   x

 

  nên:  

2

n n

x  c x  

  

  Chọn xa c,    a b 0 đpcm

Bài toán 5 Chứng minh bất đẳng thức:

, 27

x yy zz x với x y z, ,  0,x  y z 1

Giải

Không mất tính tổng quát, giả sử:

min , , 0

3

y x y z   y

Ta có   2 2 2 2 2   2

f x x yy zz xx yy  x y x  x y

f x  x  y x  y

0

3

f x   x hoặc 1 2 1

3

x  y

Vì x     1 y z 1 y nên ta có BBT:

Ta có 1 4 1  2 4

1 3 3

f      y  y y 

f y  y y  y y y       

Vậy   4

27

f x  suy ra đpcm

Bài toán 6 Cho các số thực x, y thỏa mãn 0

3

x 

  và 0

3

y 

  Chứng minh rằng: cosx cosy  1 cos xy

Giải

Do , 0;

3

x y  

   nên 0 cos cos

Ta có cos cos 2 cos cos 2 cos 2 cos

Xét hàm số   2

1 cos 2cos

f t   t  t với 0;

3

t  

  

Ta có    2

2 sin sin

f t  t t t nên f 1  0, f  1   1 cost

Nếu 0  t 1 thì 2

1

t  t nên 2 2

sin sin sin

t t  t  t, do đó f t  0

Nếu 0

3

t 

  thì 2

2

t t 

nên 2 2

sin sin sin

t t  t  t, do đó f t  0 BBT

3



y

1 cos1 

2

cos 9



Do

2

9

 

nên   0, 0;

3

    

 

2cos xy 1 cos xy