Dang bai tap can bac hai cua so phuc m3rv5

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Căn bậc hai của số phức z là một căn bậc hai của số phức 2w z w  Kết quả số phức 0w  có đúng một căn bậc hai là 0z  số phức 0w  có đúng hai căn bậc hai[.]

CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

I Phương pháp giải

- Căn bậc hai của số phức

z là một căn bậc hai của số phức 2

wz w

Kết quả: số phức w 0 có đúng một căn bậc hai là z 0

số phức w 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau

- Căn bậc hai của số thực

Hai căn bậc hai của w a 0 là  a

Hai căn bậc hai của w a 0 là  i a

Gọi z x yi x y ,   là căn bậc hai của w a bi a b ,  

2

xy b



Để giải hệ (*) ta dùng phương pháp rút thế thì được phương trình trùng phương đối với x hay y

Chú ý: Để tìm các căn bậc hai ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương

đủ, việc này thu gọn quá trình giải nhưng phải dự đoán và ước lượng tốt mới làm được

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Giải a) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức zi

xyi  i x y  xy i

2 2

xy

 



Vậy có hai căn bậc hai là: 1 1

 

Cách khác: Ta có  2 2

1 i     1 i 2i 2i nên i có các căn bậc hai là 1  

1

b) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z i

xyi   i x y  xy i

2 2

xy

 



Vậy có hai căn bậc hai là: 1 1

 

Cách khác: Ta có  2 2

1 i      1 i 2i 2i nên i có các căn bậc hai là 1  

1

Bài toán 2 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) z  5 12i b) z   9 40 ,i

Giải

z  i   i  i

Do đó z  5 12i có hai căn bậc hai là  3 2i

z   i   i  i

Do đó z   9 40 ,i có hai căn bậc hai là  4 5i

Bài toán 3 Tìm các căn bậc hai của số phức

Giải a) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z  1 4 3i

xyi   ix y   xy i

12

1

2 3

2 3

x





Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1   2 3 ,i z2    2 3i

b) Gọi xyi với x y,  là căn bậc hai của số phức z 17 20 2  i

Ta có:  2

17 20 2

xyi   i

2 2

2 2





Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 ,  i   5 2 2i

Bài toán 4 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Giải

a) Ta có  2

7 6 2 9 2 6 2 3 2

Do đó z  7 6 2i có hai căn bậc hai là  3 2i

3 2 10 5 2 2 10 5 2

Do đó z  3 2 10i có hai căn bậc hai là  5  2i

Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số thực , ta có:

cos  isin   cos 2  isin 2 

Từ đó hãy tìm các căn bậc hai của số phức cos 2  isin 2 

Giải Với mọi số thực , ta có:

cos  isin   cos   sin   2sin cos   i cos 2  isin 2 

Để tìm các căn bậc hai xyi của cos 2  isin 2 , ta cần giải hệ phương trình

2 2

cos 2

2 sin 2

xy











Rõ ràng các cặp cos , sin   ,  cos , sin    là nghiệm của hệ, tức là cos  isin  là hai căn bậc hai của cos 2  isin 2 

Ta đã biết rằng số phức chỉ có hai căn nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm

Vậy các căn bậc hai của cos 2  isin 2  là cos  isin 

Bài toán 6 Tìm các căn bậc hai của 2 

1

Giải Với mọi số thực , ta có các căn bậc hai của

cos 2  isin 2  là cos  isin 

Áp dụng: Ta có 2 

       

Do đó 2 

1

2 i có hai căn bậc hai là

Vậy hai căn bậc hai cần tìm là: 1 

Bài toán 7 Chứng minh rằng:

Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w  z

Giải Nếu z là một căn bậc hai của w thì 2

z w

Nên 2 2

z  z  w Vậy: z  z2  w

Cách khác: viết z x yi x y ,  

Bài toán 8 Hỏi khi số thực a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a i chạy trên đường nào?

Giải Gọi z x yi với x y,  là căn bậc hai của số phức z a i

Ta có:

2 2 2

2 2

1 2

y

xy

 



Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol 1

2

y x

 Vì với mỗi điểm x y,  của hypebol này, tìm được 2 2

ax y nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hypebol đó

Vậy các điểm M biểu diễn căn bậc hai chạy trên hypebol 1

2

y x

