Mat cau khoi cau on thi thpt qg mon toan oeltu

MẶT CẦU, KHỐI CẦU _Tập hợp các điểm trong không gian, cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là Nếu OAR thì điểm A thuộc mặt cầu, đoạn thẳng OA gọi là bán kí

CHỦ ĐỀ V MẶT CẦU ,KHỐI CẦU Dạng toán 1 MẶT CẦU, KHỐI CẦU

_Tập hợp các điểm trong không gian, cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là

Nếu OAR thì điểm A thuộc mặt cầu, đoạn thẳng

OA gọi là bán kính của mặt cầu

Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho A,O,B

thẳng hàng thì đoạn thẳng AB được gọi là đường

Bài toán 1 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua:

a) Hai điểm phân biệt A, B cho trước

b) Ba điểm phân biệt A, B, C cho trước

c) Một đường tròn cho trước

Giải

a) I là tâm của mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi IAIB

Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

b) I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A, B , C cho trước khi và chỉ khi IAIBIC

_Nếu ba điểm A, B , C không thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là trục của đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC tức là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

_Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là rỗng

c) I là tâm của mặt cầu đi qua đường tròn  C cho trước khi và chỉ khi I cách đều mọi điểm của đường

tròn

Vậy tập hợp các điểm I là trục của đường tròn  C tức là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng của

đường tròn và đi qua tâm đường tròn  C

Bài toán 2 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước

Giải

Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC,

CA của tam giác ABC lần lượt tại các điểm I, J,

K khi và chỉ khi OI AB OJ, BC OK, CA,

OI OJ OK

Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp ABC thì  

các điều kiện: O I AB O J,  BC O K,  CA O I,  O J O K

hay O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra tập hợp các điểm O là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài toán 3 Cho hai điểm A, B cố định Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho MA MB 0 là mặt cầu đường kính AB

Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm I bán kính RIA, tức là mặt cầu đường kính AB

Bài toán 4 Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố

Nếu m0 thì tập điểm là mặt cầu tâm G có bán kính R m

Bài toán 6 Cho tứ diện ABCD Tìm tập hợp các điểm M:

Nếu m0 thì tập điểm là mặt cầu tâm G có bán kính R m

Vậy các điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu

đường kính AD, tâm là trung điểm của AD

SA ABC , gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên một mặt cầu

b) Năm điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu Tính diện tích của mặt cầu và thể tích khối cầu

Vậy các điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu đường kính SC

b)Ta có BCSAB nên AHBC

Mà AHSBAH SBC.Do đó AH HC

Ta lại có AKKC BA, BC nên B, H và K cùng nhìn đoạn AC dưới một góc

vuông nên các điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC, bán

Gọi I là giao điểm của SO với B D , gọi C là giao

của AI với SC thì AC thuộc AB D  nên AC SC

Vậy CC

Từ đó A B C D,   , , cùng thuộc mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, tức là các điểm

, , ,

A B C D   đồng phẳng

b) Theo giả thiết ta có AB BC AD, DC

Theo chứng minh trên ta có ABB C AD , D C AC , C C

Từ đó các điểm B D B C D, ,   , , cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông, do đó chúng cùng thuộc mặt cầu đường kính AC

Dạng toán 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG , MẶT PHẲNG

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S O R và mặt phẳng  ;   P , gọi d là khoảng cách từ O tới  P và H là hình chiếu của O trên

 P Khi đó:

_Nếu d R thì mp P cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là H và bán kính 2 2

r R d _Nếu d R thì mp P tiếp xúc mặt cầu tại một điểm duy nhất H

_Nếu d R thì mp P không cắt mặt cầu S O R  ; 

Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu S O R và đường thẳng  ;   , gọi d là khoảng cách từ O tới và H là hình chiếu của O trên , Khi đó:

_Nếu d R thì  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt A, B và dây AB2 R2d2

_Nếu d R thì  tiếp xúc mặt cầu tại một điểm duy nhất

_Nếu d R thì  không cắt mặt cầu

Tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm ngoài mặt cầu:

Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

Chú ý:

1) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R tại điểm H là  ;   vuông góc với bán kính OH tại điểm H

2) Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S O R tại điểm H ,chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc  ; 

với mặt cầu tại H

Bài toán 1 Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa

đường tròn?

Giải

Gọi M là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn  C

Lấy điểm A nằm trên  C và gọi I là giao điểm của

trục đường tròn và mặt phẳng trung trực của MA

Mặt cầu tâm I, bán kính RIAIM là mặt cầu đi

qua đường tròn  C và đi qua điểm M

Bài toán 2 Cho mp P và điểm A không thuộc  P Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm

nằm trên  P luôn luôn đi qua hai điểm cố định

Giải

Giả sử  S là mặt cầu đi qua A và có tâm O nằm trên  P

Gọi A là điểm đối xứng với A qua  P thì OA OA

nên mặt cầu  S cũng đi qua A

Vậy mặt cầu  S luôn đi qua hai điểm cố định A và A

Bài toán 3 Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d Xét các mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên

d Chứng minh rằng các mặt cầu đó luôn đi qua một đường tròn cố định

Giải

Giả sử  S là một mặt cầu đi qua A, có tâm O nằm trên

d Gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d

Khi đó  P cắt mặt cầu  S theo đường tròn  C có

tâm là giao điểm I của  P và d, có bán kính rIA

Vậy đường tròn  C cố định và mặt cầu  S luôn luôn

đi qua đường tròn cố định đó

Bài toán 4 Cho mặt cầu S O R và điểm M Qua điểm M, vẽ 2 cát tuyến cắt mặt cầu tại A,B và C, D  ; Chứng minh phương tích: MA MB MC MD MO2 R2

Giả sử có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của

tứ diện ABCD tại các điểm M,N,P,Q,R,S

_Nếu đường thẳng AB cắt mp  tại điểm I

Giả sử mặt cầu đi qua A, B và tiếp xúc với mp  tại T

Vậy tập hợp T là giao tuyến của mp  và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Bài toán 7 Ba cạnh của tam giác ABC có độ dài 13, 14 và 15 Một mặt cầu có bán kính R5 tiếp xúc với

ba cạnh của tam giác tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng của tam giác

a) Gọi M là trung điểm của AB thì OM  AB O M,  AB

Do  P và  P phân biệt nên ba điểm O M O, , không

thẳng hàng

Từ đó ABmp OMO 

Gọi  và ' lần lượt là trục của đường tròn C O r và  ; 

 ; 

C O r   thì  và ' cùng vuông góc với AB

Do đó ,' cùng nằm trong mp(OMO) và cắt nhau tại I

Khi ấy, mặt cầu  S có tâm I và bán kính R IB là mặt cầu phải tìm

Xét tam giác OIO, ta có : 21 2 3

21 3sin sin

Bài toán 9 Cho một tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a Một mặt cầu  S tiếp xúc với ba đường thẳng

AB, AC, AD lần lượt tại B,C và D Tính bán kính R của mặt cầu  S

Giải

Gọi O là tâm của mặt cầu  S thì OBOCOD R và

OBA, OCA, ODA là những tam giác vuông tại các đỉnh B, C, D

Gọi H là giao điểm của AO và mp(BCD) thì H là tâm của tam giác đều BCD

3

a a

a) Chứng minh tứ diện SABC chỉ có một cặp đối diện vuông góc với nhau

b) Xác định tâm mặt cầu đi qua S, A, B và C Tính thể tích mặt cầu khi (SBC) tạo với (ABC) một góc bằng 60

Vậy AC không vuông góc với SB

Tương tự AB không vuông góc với SC

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp O của tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I

Ta suy ra d/ /d do đó d cắt SB tại trung điểm O của SB

Vì SAABC,AC CB nên SCCB

Do đó SCA 30 ,AC a 2, suy ra tan 30 6

3

a

SA AC  Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Dạng toán 3 MẶT CẦU NỘI NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là nội tiếp mặt cầu đó

_Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó có đường tròn ngoại tiếp

_Điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là lăng trụ đứng và đáy của hình lăng trụ

đó có đường tròn ngoại tiếp

Xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp

_Hình chóp S A A 1 2 A n có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn  C , gọi  là trục của đường tròn đó và gọi

O là giao điểm của  với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, chẳng hạn cạnh SA1 thì

OS OA OA  OA nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

_Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I I,  là hai tâm của đường tròn ngoại tiếp 2 đáy thì II là trục của 2 đường tròn Gọi O là trung điểm của II thì O cách đều các đỉnh nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện

Mặt cầu tiếp xúc với mọi mặt của hình đa diện gọi là mặt cầu nội tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là ngoại tiếp mặt cầu đó

Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp:

Tìm điểm I cách đều tất cả các mặt của khối đa diện Với 2 mặt song song thì I thuộc mặt phẳng song song cách đều, với 2 mặt phẳng cắt nhau thì I thuộc mặt phân giác (chứa giao tuyến và qua một đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt thuộc 2 mặt phẳng vuông góc với giao tuyến)

Chú ý:

1) Với tứ diện thì có 4 cách chọn đáy tam giác Nếu có mặt là tam giác vuông, cân, đều thì chọn ưu tiên mặt đó

2) Với hình chóp đều, lăng trụ đều thì sử dụng trục của hình khối

3) Nếu khối đa diện có mặt cầu nội tiếp thì bán kính 3

tp

V r S



4) Nếu khối đa diện có một mặt không nội tiếp được đường tròn thì không có mặt cầu ngoại tiếp (vì nếu

có thì mặt phẳng chứa mặt đó cắt mặt cầu theo đường tròn ngoại tiếp đa giác)

Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABC biết rằng SAa SB, b SC, c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc

a) Định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Chứng minh rằng điểm S, trọng tâm tam giác ABC và tâm mặt cầu ngoại tiếp đó thẳng hàng

Giải

a) Gọi J là trung điểm của AB Vì tam giác SAB

vuông ở S nên trục  là đường thẳng vuông góc với

mp(SAB) tại J Gọi I là giao điểm của  và mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng SC thì I cách đều

b) Vì SC // IJ nên SI cắt CJ tại một điểm G và do SC2IJ nên CG2GJ Vì

CJ là trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABCđpcm

Bài toán 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Xác định tâm và

tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều đó Suy ra kết quả cho tứ diện đều cạnh a

Giải

Giả sử SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC thì SH là trục của tam giác ABC Trong mặt phẳng (SAH), đường trung trực của SA cắt SH tại O thì O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là RSO

Gọi I là trung điểm của SA thì tứ giác AHOI nội tiếp nên:

Gọi SH là đường cao của hình chóp, do SASBSC

nên HAHBHC suy ra H là trung điểm của cạnh AC

Tâm mặt cầu thuộc trục SH Vì góc HSA60nên

gọi O là điểm đối xứng với S qua điểm H thì:

OSOAOCOBa

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm O và có bán kính Ra

Bài toán 4 Tứ diện ABCD có AB6,CD8, các cạnh còn lại đều bằng 74 Định tâm và tính diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện

Giải

Gọi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD và K là

tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Khi đó K thuộc

CM Hạ KOFM thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ

 

47

Vậy diện tích mặt cầu S 4R2 100

Bài toán 5 Cho hình hộp ABCD A B C D     Biết rằng góc giữa CA và (ABCD) bằng 30, góc giữa

mpA BC  và mp(ABCD) bằng 45 và khoảng cách từ C đến A CD  bằng a Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE , trong đó E là trung điểm của CD

Tam giác A AB vuông cân tại A nên AB x

Tam giác A AC vuông tại A, có A CA  30

AH  AA  AD a  x  x  

Vậy

3

6 6 12 3 3

b) Tính tan của góc   ASB để hai mặt phẳng (SCA),(SCB) hợp nhau góc 60

Giải

a) SAmp ABC SABC

Hạ AHSB thì AH mp SBC 

Do đó BCmp SAH  suy ra BCSB

Các điểm A và B đều nhìn đoạn SC dưới một góc

vuông nên có mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp tứ diện

Bài toán 8 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều nằm trên mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Giải

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm I của hai

trục hình vuông ABCD và tam giác đều SAB

Trục của hình vuông ABCD là đường thẳng

d vuông góc với (ABCD) tại tâm O, trục của

tam giác đều SAB là đường thẳng vuông góc

với (SAB) tại tâm K

Gọi N là trung điểm AB, vì SAB  ABCD nên IONK là hình chữ nhật, do đó:

Vì ABCD là hình thoi cạnh  và BAD60 nên

BCD là tam giác đều cạnh a

Ta có CA3CH nên H là trọng tâm của tam giác

Ta có hai tam giác SBH, SOM đồng dạng SO SM

Gọi K là trung điểm của BB thì từ hai tam giác

vuông đồng dạng AIK và ABH, ta có:

3 3

86

Bài toán 13 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO1 và cạnh đáy bằng 2 6 Điểm M, N

là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó

Giải

Do ABC là tam giác đều nên:

62

Vì SABC là hình chóp đều nên O trùng với tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Do đó OM AC ON,  AB và do SOABC

Nên ta suy ra : SM  AC SN, AB và SM SN

Xét tam giác vuông AOM SOM ; :

3tan 30 6 2

Bài toán 14 Cho 3 tia Sx, Sy, Sz không đồng phẳng sao cho góc xSy120 , ySz 60 ,zSx 90 Trên các tia Sx, Sy, Sz lấy tương ứng các điểm A, B, C sao cho SASBSCa

a) Xác định hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC)

b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC

Giải

a) Do BSC60, nên SBC là tam giác đều , từ đó BCa

Do ASC là tam giác vuông cân nên AC a 2

Từ tam giác cân ASB có góc đỉnh là 120 nên

Bài toán 15 Cho tứ diện ABCD với ABCDc AC,  BDb AD, BCa

a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R

b) Chứng minh rằng có mặt cầu nội tiếp hình tứ diện Tính bán kính mặt cầu nội tiếp r

a) Gọi I là trung điểm AD

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Bài tập 2: Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng d và điểm A ngoài d Một góc xAy di động quanh A,

cắt d tại B và C Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC

a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc một mặt cầu

b) Tính bán kính mặt cầu trên biết ABc AC, b BAC, 60

Bài tập 3: Cạnh đáy và đường cao của hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF. A B C D E F      lần lượt bằng a và

h Chứng minh rằng sáu mặt phẳng AB F ' , CD B  , EF D' 'D EC  , F AE  , B CA  cùng tiếp xúc với một mặt cầu Tính bán kính của hình cầu nói trên

b) Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp, biết cạnh SC x