Dang bai tap bieu dien va tap hop diem cua so phuc

BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải Biểu diễn số phức  Số phức  ,z x yi x y   được biểu diễn bởi điểm M(x;y) hay bởi vectơ  ;u x y trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi là mặt ph[.]

BIỂU DIỄN VÀ TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC

I Phương pháp giải

Biểu diễn số phức:

 Số phức z x yi x y   ,   được biểu diễn bởi điểm M(x;y) hay bởi vectơ u x y ; trong mặt phẳng toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng phức Trục thực là trục hoành và trục ảo là trục tung

 Nếu z biểu diễn bởi u và z biểu diễn bởi u thì z z  biểu diễn bởi u u  và z z  biểu diễn bởi u u 

 Nếu z z,  biểu diễn bởi M M,  thì z z  được biểu diễn bởi OM OM z z  ,   được biểu diễn bởi OM OM  M M

Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi u thì kz biểu diễn bởi ku

Nếu k là số thực, z biểu diễn bởi điểm M thì kz biểu diễn bởi kOM

Tập điểm biểu diễn số phức:

Gọi điểm M(x, y) biểu diễn số phức z x yi  với x y,  , dựa vào điều kiện của đề bài để tìm quan hệ giữa hoành độ x và tung độ y

Các dạng phương trình:

Ax By C   A B  : đường thẳng

2

y ax bx c : parabol đại số

  2 2 2

x a  y b R : đường tròn tâm I(a,b), bán kính R

  2 2 2

x a  y b R : hình tròn tâm I(a, b), bán kính R

2 2

2  2  1,   0

a b : phương trình chính tắc elip

x y

a b  :phương trình chính tắc hypebol

y  px : phương trình chính tắc parabol

Chú ý các tập điểm M

MI R : đường tròn tâm I bán kính R

MI MJ :trung trực của đoạn IJ

MF MF  a FF  c a : elip

MF MF  a F F  c a : hypebol

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1: Biểu diễn các số phức sau trong mặt phẳng Oxy z  2 3i và z    4 i

Giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

Điểm M 2;3 biểu diễn số phức z  2 3i

Điểm M   4; 1 diễn số phức z    4 i

Bài toán 2: Biểu diễn các số phức sau trong mặt phẳng z  4 và z  5i

Giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

Điểm M 4;0 biểu diễn số phức z  4

Điểm M 0;5 diễn số phức z  5i

Bài toán 3: Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều

kiện:

a) z  1

b) z  2

Giải

a) Đặt: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng

phức

Theo giả thiết:

z   x y  x y 

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính R = 1

b) Đặt: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Theo giả thiết:

z   x y  x y 

Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O, bán kính R = 2

Bài toán 4: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau:

a) z  1 1

b) z   z 3 4i

Giải

a) Giả sử: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có: z     1 1 x  y 1 i  1

       

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0;1 , bán kính

R = 1

b) Giả sử: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có z   z 3 4i  x yi    x yi 3 4i

           

2 2 2 6 9 16 8 2 6 8 25 0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình

6x 8y 25 0 

Bài toán 5: Xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả điều kiện:

a) z 2 là số ảo

b) z  1  1 i z

Giải

a) Giả sử: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có 2  2 2 2

2

z  x yi x y  xyi

Do đó: z 2 là số ảo x2 y2   0 x y x y    0

0

x y

   hay x y  0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng có phương trình:

x y x y

b) Viết z x yi  với x y, 

Ta có z i   1 i z    x yi i  1 i x yi 

x y i x y x y i

  2  2 2

Vậy tập hợp các điểm M x y ; ,biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I0; 1   và bán kính R 2

Bài toán 6: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau:

a) z i 1

z i

 



b)    1 i z  1 i z 2 z 1

Giải

a) Nếu z x yi x y   ,  , và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có z i 1 z i z i x  y 1 i x  y 1 i

z i

           



 2  2

         z là số thực

Vậy tập hợp các điểm M là trục thực Ox

b) Giả sử M x y ; biểu diễn z x yi x y   ,  

Ta có z z  2 ;x z z  2yi

Do đó    1 i z  1 i z 2z     1 z z  z z i 2z 1

 2 2

2x 2y 2 z 1 x y x 1 y

        

2 2 2 2

0

1

2

x y

x y

x

 

  

   

Vì x y nên

2

 

Vậy tập hợp điểm M là đồ thị của hàm số 1 1

2

y

x

   với x 0

Bài toán 7: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt.phẳng Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

a) 2z i   z z 2i

b)  2

z  z 

Giảỉ

a) Gọi: z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có: 2z    1 z z 2i  2x  y 1 i  2 y 1 i

   2 2 2

4

x

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là parabol 2

4

x

y

b) Gọi z x yi  với x y,  và M x y ; là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Ta có:  2

z  z   xyi   xy 

1

xy

  hoặc xy 1 y 1

x

    hoặc y 1

x

 

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai hypebol y 1

x

 và y 1

x

 

Bài toán 8: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức w 2z  3 i, biết rằng 2z i 2  3 1z z

Giải

Đặt w x yi z a bi x y a b  ,    , , ,  

Ta có w 2z     3 i x yi 2a b   2b 1i

3

2

x a

x a

  





2z i  3 z z 2a 2b 1 i  3 a b  1

  2 2  2 2 2 2

2a 2b 1 3 a b 1 a b 4b 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(3;-5) và có bán kính R = 4 Bài toán 9: Cho số phức z thỏa mãn  1

1

i z i



 

a) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z

b) Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện cho, hãy tìm số phức có môđun lớn nhất

Giải

a) Đặt z x yi x y   ,  

1





i z

i x yi i

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I 0;2 ,R 3

b) Vì tâm I 0;2 thuộc trục tung nên Oy cắt (C) tại A0;2  3 và B0;2  3

Do đó: z OM OB    2 3 và z OA   2 3

Vì z lớn nhất khi z2  3i và z nhỏ nhất khi z2  3i

Cách khác: 2  22 3 2 2 1

   

Đặt sin , 2 cos



thì x 3 sin ,  y 3 cos 

2 2 3sin 2 3 cos 2 7 4 3 cos

Bài toán 10: Cho số phức z thỏa mãn  1 z i z   là số ảo

a) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z

b) Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện cho, hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T  z i

Giải

a) Đặt z x yi x y   ,  

Ta có:  1 z i z    1 x yi x    y 1 i

 1 x x y y    1  1 x y 1 yx i

nên  1 z i z   là số ảo  1 x x y y     1 0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm 1 1;

2 2

I 

 , bán kính

2

2

R

b) Gọi A 0;1 thì T   z i AM

Đường tròn (C) cắt Oy tại A 0;1 và cắt Ox tại B 1;0 , vì AB là đường kính nên

T   z i AM bé nhất khi M A  z i

T   z i AM lớn nhất khi M B  z 1

Cách khác:

      

Đặt

2

2

Nên 2 2   2 2  2

1 sin 1 1 cos 1

     

1

1 sin cos 1 sin

4 2



       

 

Bài toán 11: Gọi M M,  theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức Oxy, biểu diễn số

0

2

i

z   z, Chứng minh rằng tam giác OMM là vuông cân

Giải

Gọi M x y ; biểu diễn số phức z x yi  vớix y,  ,z 0 Ta có

Ta có: 1 1 1  1   

i

z   z i x yi  x y  x y i

Nên điểm biểu diễn số phứcz là ;

x y x y

Ta có các khoảng cách: OM  x2 y2

Do đó OM MM OM ;  2 MM 2 OM2

Vậy tam giác OMM là tam giác vuông cân đỉnh M

i

i

Do z  0 , suy ra tam giác OMM là tam giác vuông cân đỉnh M

Bài toán 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A là điểm biểu diễn số phức z là nghiệm của phương trình z2  6z 45 0  và điểm B biểu diễn số phức 2

3

i

z   z Chứng minh rằng tam giác OAB vuông

Giải

2 6 45 0

z  z  có   =9 45    36 36i2 nên có 2 nghiệm z  3 6i hoặc z  3 6i

Với z  3 6i, thì z 2 3 6 4 23i  i  i

Suy raA  3;6 ,B 4; 2   Do đó OA 3;6 ,OB4; 2  

OA OB

  nên tam giác OAB vuông tại O

Với z  3 6i thì 2 3 6  4 2

3

  i    

Suy ra A3; 6 ,   B   4; 2 Do đó OA3; 6 ,   OB   4; 2

OA OB

  nên tam giác OAB vuông tại O

Vậy trong 2 trường hợp ta có điều phải chứng minh

Bài toán 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A là điểm biểu diễn số phức z là nghiệm của phương trình z2  2z  5 0 và điểm B biểu diễn số phức 1

2

i

z   z Tính diện tích tam

giác OAB

Giải

Ta có 2 2 5 0  1 2 4 4 2 1 2

1 2

  

           



Với z  1 2i, ta có 1 1 2  1 3

i

z    i    i Suy ra  1;2 , 1 3;

2 2

 

Ta có: 1 3; , 3; 1

OB   AB   

0

1 .AB 1 1 9 9 1 5.

OAB

Với z  1 2i, ta có 1 1 2  3 1

i

z    i   i Suy ra  1; 2 , 3; 1

2 2

Ta có: 3; 1 , 1 3;

OB   AB 

0

1 . 1 9 1 1 9 5.

OAB

4



OAB

S