Dang bai tap bat dang thuc gtln gtnn cua ham so mu luy thua logarit

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Tính đạo hàm của hàm số để xét tính đơn điệu, lập bảng biến thiên của hàm số để ch[.]

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT

I Phương pháp giải

-Tính đạo hàm của hàm số để xét tính đơn điệu, lập bảng biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

- Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, đánh giá đạo hàm các cấp của hàm số, phối hợp biến đổi tương đương, so sánh,

- So sánh cùng cơ số của mũ: a0,a1.

Nếu a1thì: a M a N M N.

Nếu 0 a 1thì: M N

- So sánh cùng lũy thừa của mũ:0 a b

- So sánh cùng cơ số của logarit:a0,a1

Nếu a1thì: log E a log F a   E F 0

Nếu 0 a 1thì:log E a log F a   0 E F

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1: So sánh các số:

a) 2và 3

7 15và 3

10 28

Giải a) Ta có  6  6

2 2 8; 3 3 9.

Do 98nên ta có    6 6

3

2  3 , suy ra 3

2 3

7  15    2 4 3 3 10 28

Bài toán 2: So sánh các số:

a)

5

7

1

2



 

 

  và

3 14

4 5

1 3

 

 

  và

3 2

3

Giải a)

5

7

7 14 2 14 2 14 7 1

2 ; 2 2 2 2 2 2 2





 

5

3 7

14 1

2.2 2



  

 

 

b) Ta có

4 5 2 5

3 3

   

  

   

3 2

3 2 1

3

   

Ta có    2 2

3 22 5  3 2  2 5 1820: đúng

Vì cơ số 0 1 1

3

  nên

4 5

2 5 3 2

3 2



 

     

     

     

Bài toán 3: So sánh các số:

a) log 4 3 và log 4 1

3 và log 0 ,99 6

7

Giải

a) Ta có log 4 3 1và log 4 1 0

3 , suy ra log 4 3 log 4 1

3



b) Ta có log 1,1 6 0 nên log 1,1 6 0

và log 0,99 6 0 nên log 0 ,99 6 0

7 7 1 (vì 71)

Suy ra log 1,1 6 log 0 ,99 6

Bài toán 4: So sánh các số:

5

2 log

2

3 log 5

Giải

3 log 2 log 3 log 2 3 log 24log 252 log 52 ln 5.

b) Vì 3 1

3  nên 3 3

2

Vì 3 1

5 nên 3 3

3

Từ đó suy ra 3 3

Bài toán 5: Chứng minh:

a) log 3 2 log 4 3

b) m m m

a b c , nếu m1,a b c,a0,b0.

Giải

3

1

log 2

b) Ta có

   

      

   

Mà a b c,a0,b0nên 0 a 1,0 b 1

   

Suy ra với m1 thì

;

       

       

       

Từ đó ta có:

1.

      

   

   

Bài toán 6: Chứng minh các bất đẳng thức sau với mọi x0.

a) x

2

  

Giải a) Xét hàm số   x

f x e  x 1, x0 thì   x

f x e  1 0,

x 0

  nên f đồng biến trên 0;vì f liên tục trên 0; nên f đồng biến trên

0;: x 0 f x  f 0 0 : đpcm

b) BĐT:   x 2

2

     



và f liên tục trên 0; nên f đồng biến trên 0;

Do đó: x 0 f x  f 0 0 : đpcm

Bài toán 7: Chứng minh:

a) sinx tan x 3 x 2

2



 

b)

     

    với a b 0.

Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

sinx tan x sinx tan x 2 sinx tan x 2

4 2 2 4 2  2  

Ta cần chứng minh: 2 sinx tan x 2 3 x 2

2



nên f đồng biến trên 0; : x 0 f x  f 0  0

2





b) Với a b 0, bất đẳng thức tương đương:

   

     

 a   b  ln 1 4 a ln 1 4 b b.ln 4 1 a.ln 4 1

Xét    x

ln 1 4

x





nên f nghịch biến: a  b 0 f a  f b : đpcm

Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a)   2 x

f x  x e nên đoạn 1;0 b)    2 

f x ln x  x 2 trên đoạn  3;6

Giải

f x  1 2e , f x   0 x ln 2 1;0

2

So sánh thì:

1

2



             

b) Ta có   2 2x 1



 

  nên f x   0, x  3;6 do đó trên đoạn  3;6

hàm số f x  đồng biến Vậy

x min f x 3;6 f 3 ln10; max f 6 x 3;6 ln 40.

Bài toán 9: Cho p1,q1thay đổi thỏa p q pq và a,b0.

Tìm GTNN của

p q

  

Giải Xét hàm số   a p b q

   với a0.

f a a  b, f a  0 a    b a b 

Mà p q pqp 1 q 1    1nên q 1

ab  Lập BBT thì min  q 1

Bài toán 10: Tìm các giá trị của m để phương trình 4 2

x 2x 4 x 1 mcó đúng một nghiệm

Giải

Đặt t x 1 0, phương trình trở thành 4 4  

t   3 t m *

Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng một nghiệm của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng một nghiệm không âm

Xét hàm số   4 4

f t  t  3 tvới  

 

3

3 4 4

t

t 3



Mà   4

x lim f t 0

  nên có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là 4

0 m 3.

Bài toán 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

4 2

3 x 1 m x 1 2 x 1.

Giải Điều kiện x1

Đặt 4 x 1 4 x 1 4 2

     

   nên 0 t 1.

Phương trình đã cho: x 1 4 x 1

   

2

  

Xét hàm số   2

f t  3t 2t ,0 t 1.

3

       

BBT

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực khi 1 m 1 .

3

  

Bài toán 12: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:

2x 2x2 6 x 2 6 x m

Giải

Xét   4 4

Với 0 x 6, ta có:

 

 3  3

f x

f 2 0, x 2 f x 0, x 2 f x 0

BBT:

Vậy điều kiện có 2 nghiệm phân biệt:

4

2 62 6  m 3 26.