Tai lieu boi duong hoc sinh gioi ung dung tich phan co dap an 4kgan

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 9 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b ( a b ) Giả[.]

CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Diện tích hình thang cong:

Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,

trục hoành và hai đường thẳng xa, xb (ab) Giả sử

f là hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn  a b;

Diện tích S của hình thang cong đó là: S F b F a 

Diện tích hình phẳng

Từ định nghĩa tích phân, với y f x 0 và liên tục trên

đoạn  a b; thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

 

y f x , trục hoành và 2 đường thẳng xa x, b là:

 

b

a

S  f x dx

Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

 

x g y , trục tung và 2 đường thẳng yc, yd là: y d  

c

S g y dy

Mở rộng cho y f x  bất kỳ liên tục trên đoạn  a b; thì diện tích giới hạn như trên là: b  

a

S  f x dx Đối với 2 đồ thị y f x ,yg x  liên tục trên đoạn  a b; thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường thẳng xa, xb là:

   

b

a

S  f x g x dx

Chú ý:

- Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm y f x  và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao

điểm

- Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới

- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư

hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn

Thể tích khối tròn xoay

Thể tích vật thể tổng quát b  

a

V S x dx

Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi

 , 0

y f x y (trục hoành) và xa x, b quanh trục

b

a

V  y dx

Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi xg y x , 0 và yc y, d thì có thể tích:

2

d

c

V  x dy

Chú ý:

- Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm y f x  và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có

hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm

- Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên

- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thể tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:   2

2 x

y x e , trục hoành và 2 đường thẳng x0,x3

Hướng dẫn giải

1

3

Bài toán 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

 1 2

y x x x và trục hoành

Hướng dẫn giải

y   x x x

2

1



   



37

12

 (đvdt)

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C của hàm số:

2

2 10 12

2

y

x



 và trục hoành

Hướng dẫn giải

y   x x

Diện tích hình phẳng S cần tìm là:

6 2

1

2 10 12

2

x







6

1

16

14 2

2

x





2

1

14x x 16ln x 2 63 16ln 8



Bài toán 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:

2

1

y x  và y 5 x

Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng nên

3

2 0

2 5 x 1 x dx 5 x x 1 dx

(đvdt)

Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x 4 4y2 và x 1 y4

Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng nên S 2S1S2

1

2

4

4

4

x



16 8 56

3 5 15

   (đvdt)

0

Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2 2  

Hướng dẫn giải

Hoành độ giao điểm:

2

2

2

x

p

2 0

4 2

p

x

p

Bài toán 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

2 3

2

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

2 3

3 2

2





 3

3

Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là

2 3

x y và

2 3

2

y y

Theo tính chất đối xứng thì

1 2 2

0

8

2 2

5

     

Bài toán 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số  3

1 3 4

y x  x và trục hoành

Hướng dẫn giải

Ta có:  3

3

1

x

x

 









4

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

 3

1 3 4

y x  x và Ox: 1 3

3 4

1 3 4

4

4

dx t dt

4

x  t x   t

0

1

Bài toán 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2xx2 và trục hoành

Hướng dẫn giải

2

x

x





Vì x 2x x2 0 với mọi x 0; 2 nên diện tích giới hạn là:

2 2

S x xx dxx  x dx

Đặt 1 sin , ;

2 2

x  u u   

  thì dxcosudu

Khi x0 thì

2

  , khi x2 thì

2



   

1 sin cos cos cos cos cos

3

2







Vậy

2

S 

(đvdt)

Bài toán 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số   3 4

3 3

3 3

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm

 2 

6 0

2, 0, 3

Do đó:



Bài toán 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx y, 1 và

2

4

x

y trong miền

0, 1

x y

Hướng dẫn giải

Với x0,0 y 1 thì x y x, 2 y

1

0

2

S  yy dy

1 3

2 2

0

3 y 2y 6

Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2,

4 4

y x và y  4x 4

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y4x4, y  4x 4 là 2 tiếp tuyến của   2

:

P yx



8 8 16

3 3 3

   (đvdt)

Bài toán 9.13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

3 4

x

2

1

x y x





Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm

2

2

3

3

x

      

Với x 0;3 thì

2

3

x



 Diện tích hình giới hạn là

3

2 0

1

3

3 2

0 0

ln 1 2ln 2

Bài toán 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

2 1,

1

x

x

e

 và xln 3

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

2

1

x

e

1

x

x

e

 nên diện tích hình giới hạn là

ln 3

0

2 1

1

x

x

e



1

x x

x

t e



Khi x  0 t 2;xln 32

tdt

2

2t lnt 1 ln t 1 4 2 2 ln 9 6 2

Bài toán 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: yx2 2x và 2 tiếp tuyến qua B2; 9 

Hướng dẫn giải

Hai tiếp tuyến qua B là:

4 1

y  x có tiếp điểm E1;3

8 25

y x có tiếp điểm F5;15

1 2



Bài toán 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên:  E :x22 y22 1

Ta có

2 2

a b    a 

Phương trình của  E trong góc phần tư thứ I là: b 2 2

a

  Theo tính đối xứng thì

2 2 1

0

4 4

a

b

a

Đặt: xasint, với 0 cos

2

2

x  t x  a t 

Khi đó:

/2

1

2 1 cos 2 2 sin 2

2







Đặc biệt: khi a b R thì có diện tích hình tròn R2

Bài toán 9.17: Cho elip với PT:

2 2

1 4

x y

1;

2

  nằm trên elip Gọi d là tiếp tuyến với elip tại

A Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip

Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến d là 3 1

4 2

x

y

d cắt Ox tại B 4;0 Hạ AK vuông góc với trục hoành

2

4

AKB

Diện tích tam giác cong AKC là

2

2 0

1

1 4 2

Đổi biến x2sint thì dx2costdt

Ta được

2 2 0

6

3 2cos

3 4







Vậy 0 3

3

AKB

(đvdt)

Bài toán 9.19: Cho   2

:

P y x và đường thẳng d qua A 1;3 có hệ số góc k Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và  P có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

PT hoành độ giao điểm: 2  

1 3

2

30

x kx k 

2

4 12 0,

Gọi 2 nghiệm x x1, 2 thì:

2

1

2

1 3

x

x

S   k x  x dx

1

3 3

2 1

x

x

 2 32

2 8

      nên min S khi k 2

Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y f x ex,y0,x0 và x1 Ta chia đoạn  0;1

thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang có tổng diện tích S n Chứng minh 1  

0

limS n  f x dx

Hướng dẫn giải

Ta có

 1

2

1 1

n

n

e









Do đó 1

lim n 1

   và

1

1 0

1

x

e dx  e 

Bài toán 9.21: Tính thể tích của vật thể:

a) Giữa hai mặt phẳng: x0,x2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 2) là một nửa hình tròn đường kính 5x2

b) Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông có đáy là một tam giác cho bởi yx y, 0 và 1

x

Hướng dẫn giải

2

5

4

b

a

V   f x dx  dx   (đvtt)

b) Thiết diện tại x 0;1 là hình vuông cạnh bằng x có diện tích   2

S x x

1 3

V S x dxx dx (đvtt)

Bài toán 9.22: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn bởi các

đường ycos ,x y0,x0 và

4

x

Hướng dẫn giải

2

2 1



Bài toán 9.23: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:

a) Giới hạn bởi các đường 2, 0, 0

x

yxe y x và x1

b) Giới hạn bởi các đường 2 2

3

Hướng dẫn giải

1

0

2

V  x e dx x d e  x e   xe dx

1 1 0 0

b) Do tính đối xứng của hình phẳng qua trục tung nên:

3

Bài toán 9.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3

1 2 x

y  x e và các trục tọa độ, quanh trục hoành

Hướng dẫn giải

1 2 0

2

x

y  x e    x

Vì 1 2  x e3x 0, với mọi 1

;0 2

  nên thể tích khối tròn xoay là:

0

6 1

2

1 2 x



1 2 , x

2 ,

6

x

0

3

1

2

1

x

e

 



9 18

V

e

  (đvtt)

Bài toán 9.25: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:

a) Giới hạn bởi 2

, sin , 0;

2



b) Giới hạn bởi: yx23x3,y x,0 x 3

Hướng dẫn giải

a) V  V1 V2

2

2 0

4 sin x x dx







4 6 12

  

b) V V1V2  V3V4

7 64 233

Bài toán 9.26: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị  :

1

x

x



 trục Ox và các đường thẳng x2,x4 khi quay quanh trục Ox

Hướng dẫn giải

2

2 1

x

x







4

2 2

2 1 1

1

x

dx x

   

   



4

2

1

x

dx

2

x





Bài toán 9.27: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1

x

x

xe

y

e



 , trục hoành và đường thẳng x1 xung quanh trục hoành

Hướng dẫn giải

Ta có 0

1

x x

xe

e

Do đó hình phẳng là hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong , 0, 0

1

x x

xe

e

 và x1

Thể tích khối tròn xoay là

 

2

2

x x

xe

e



Đặt

 2

,

1

x x

e

e

1 ,

1

x

e





Ta có:

 

1

2

0

1

1

1

x

e



 

1

1 0 0

ln

V

e



Bài toán 9.28: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

1 2 3 x

y  x  , y0,x1 xung quanh trục hoành

Hướng dẫn giải

1 2 3 0

2

x

y  x     x

Thể tích khối tròn xoay là 1 2 1   2

1 2 3 x

2 1, 3 x

2ln 3

x

1

2



1 2

1 2

3 6ln 3 2ln 3 18ln 3

x







Vậy 26 3ln 3

V    (đvtt)

Bài toán 9.29: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy:

a) Giới hạn bởi:  1

3

2 1 , 0, 3

b) Giới hạn bởi: yln ,x y0,xe

Hướng dẫn giải

2

y

x  y x  y x  x 

2

2 1

y

b) x  e y lnx1,ylnx x e y

1

2 2

1 2

0

y

V  V V   e e dy

 

1

0

1

y

Bài toán 9.30: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay

quanh Oy:

a) Giới hạn bởi các đường y2xx2 và y0

b) Giới hạn bởi đường

2

3, 0

yx x và tiếp tuyến tại x1

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

2xx   0 x 0 hoặc x2

 2 2

1 1

1

1 2

0

1

0 0

b) Phương trình tiếp tuyến là 2 1

3 3

3

Bài toán 9.31: Giả sử  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  2

y x và yx24x7 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  H xung quanh trục tung

Hướng dẫn giải

Hình  H1 giới hạn bởi đường cong

và hai đường thẳng y0,y4

4

1

0

V        dy



4

0

64 4

3



Hình  H2 được giới hạn bởi hai đường cong x 2 y3 , x 2 y3 và hai đường thẳng

3, 4

2

16

3

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V  V1 V2 16 (đvtt)

Bài toán 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn  C có phương trình: 2  2

2 1

x  y  quanh trục

Ox

Hướng dẫn giải

Đường tròn: 2  2

2 1

x  y  có tâm I 0; 2 , bán kính R1

y  x   y x

Nửa  C ở trên ứng với 2 y 4 có phương trình:

y f x   x với x  1;1

Nửa  C ở dưới ứng với 0 y 2 có phương trình:

2 1

y f x   x với x  1;1

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:

1 2

Đặt xsint thì dxcostdt

Đổi cận: x 1 thì

2

t  

; x1 thì

2

t 

8 cos cos 4 1 cos 2

/2

2 /2

1

2







Bài toán 9.33: Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h là 2

3

h

V h R 

Hướng dẫn giải

; :

O R y R x thì thể tích chỏm cẩu cần tìm là:

3

R R

x

3

2

3 3

R

V  R R  R

Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua ykx 1 k cắt Ox, Oy tại M, N Tìm k 0 để thể tích khối tròn xoay

tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất

Hướng dẫn giải

1

Thể tích khối nón tạo thành:

0

3

k

y



  23 32  

3

2 4

min V k V 

   (đvtt)

3 BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x34x, trục hoành và 2 đường thẳng 2; 4

x  x

Hướng dẫn

Dùng công thức S trực tiếp Kết quả 44 (ddvdt)

Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y 4 x y2,   x 2

Hướng dẫn

Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm Kết quả 9

2 (đvdt)

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: yx31 và tiếp tuyến tại điểm A 1; 2

Hướng dẫn

Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A 1; 2 rồi tìm thêm giao điểm khác A Kết quả 27

4 (đvdt)

Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

4 , 0 1

x

x

1 0,

2

Hướng dẫn

Dùng công thức S trực tiếp Đổi biến số tx2 rồi tsinu

Kết quả

12



(đvdt)

Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:

 3

2 , 27 8 1

Hướng dẫn

Vẽ hình và xác định miền giới hạn Kết quả 88 2

15 (đvdt)

Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị: yx21 và ymx2 là bé nhất

Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm và chú ý luôn có 2 nghiệm phân biệt Kết quả m0

Bài tập 9.7: Cho hàm số y f x  đơn điệu từ  a b; vào  c d; có hàm ngược xg y  Chứng minh thể

tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, xa x, b là: 2  

b Oy

a

Hướng dẫn

Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị

Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x0,x vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt

phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x  ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x

Hướng dẫn

Dùng công thức thể tích vật thể tổng quát b  

a

V S x dx Kết quả 2 3 (đvtt)

Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường yx24 ,x y  x2 2x6

Tính thể tích khối tròn xoay khi S quay quanh trục Ox

Hướng dẫn

Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm

Kết quả 3 (đvtt)

Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường:

2 2

1

;

x

x

 Tính thể tích khối tròn xoay khi

S quay quanh Ox

Hướng dẫn

Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm

Kết quả

2

3

4 10

Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy của hình phẳng S giới hạn bởi: y x y, 0 và 2

y x

Hướng dẫn

Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm

Kết quả 5

6



(đvtt) và 32

15



(đvtt)