Bai tap ve nguyen ham tich phan va ung dung co dap an

Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT 1 Kiến thức Theo yêu cầu của chuẩn kiến thức môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần hiểu, nhớ các khái niệm và kết q[.]

 Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận dưới của tích phân,

 Khái niệm diện tích hình thang cong

 Khái niệm thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox

 Công thức đổi biến số tích phân Công thức tích phân từng phần

 Công thức tính diện tích hình thang cong Công thức tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi hai đường cong

 Công thức tính thể tích khối trong xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox

2 Kỹ năng

Theo yêu cầu của Chuẩn kỹ năng môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần luyện tập

để thành thục các kỹ năng dưới đây:

 Có khả năng tái hiện các khái niệm, các két quả nêu ở mục 1 trên đây, trong các tình huống cụ thể;

 Biết kiểm tra một hàm số F x có phải là nguyên hàm của hàm số   f x hay không  

 Biết kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định f x dx  F x C

 Biết tính đạo hàm các hàm số đơn giản ( đã học trong chương trình Toán 11) phục vụ yêu cầu kiểm tra xem một hàm số F x có phải là nguyên hàm của hàm số   f x hay không  ( hoặc kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định f x dx  F x C )

 Biết dùng các tính chất của nguyên hàm và các công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp để tính nguyên hàm của những hàm số đơn giản

 Biết tính tích phân bằng hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa bài toán về tìm nguyên hàm; sử dụng các phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần

 Biết một số dạng hàm số có thể tích phân từng phần: x.f x  , trong đó f x là một  trong các hàm số e kx b , cos kx b, sin kx b , ln kx b

 Biết biến đổi các biểu thức lượng giác, biết giải các phương trình lượng giác đơn giản (

đã học trong chương trình Toán 10 và Toán 11)

 Biết tính diện tích hình thang cong và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

 Biết tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục Ox

 Vơi các bài toán tính tích phân những hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , các bài toán tính diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét

dấu một biểu thức Đặc biệt, học sinh nên nắm được tính chất: Nếu hàm số liên tục và

không triệt tiêu tại điểm nào trên một khoảng thì có dấu không đổi trên khoảng đó đã học

Ví dụ 2 (Câu 25 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân là những hàm lượng giác của x Có hai cách tính các tích

phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa về tích phân của cos kx, sin kx hoặc

đổi biến số để đưa về tính tích phân hàm lũy thừa

Cách giải 1: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có:

Ví dụ 4 (Câu 27 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx3x và đồ thị hàm số y x x2

Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm được kỹ năng tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đường cong Trước tiên, cần tìm giao điểm của hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3) Sau đó cần viết được công thức tính diện tích bằng tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) và cuối cùng phải tính được tích phân đó

ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

Ví dụ 5 (Câu 28 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x1e x , trục tung và trục hoành Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox

Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng khi muốn vẽ đồ thị hàm số y2x1e x Thực ra,

ta không cần vẽ hình H mà chỉ cần giải phương trình tìm hoành độ giao điểm hai đường

Ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường y2x1e x và y0 là

II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP

21

3sin 2

10cos 4 sin

 , trong đó ,a b là hai số nguyên dương và a

b là phân số tối giản

 , trong đó ,a b nguyên dương và a

b là phân số tối giản Hãy

 ,trong đó ,a b nguyên dương và a

b là phân số tối giản Khẳng định

 , trong đó ,a b nguyên dương và a

b là phân số tối giản

22

16

x dx x

16

x dx x

dx x

dx x

tan

cos 2

x dx x

x

dx x

x

dx x

x

dx x

x

dx x

 



3 ln

1

x dx x

41

x dx x

41

x dx x



ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

55 Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y f x( ) , trục hoành và hai đường thẳng xa , xb như trong hình vẽ bên Khẳng định nào sai ?

S x dx



58 Kí hiệu S t là diện tích hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng   y2x1 , trục hoành

và hai đường thẳng x1 , xt1 t 5 Khẳng định nào sai ?

63 Biết rằng diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ylnx, y0, x 1

67 Kí hiệu S S S1, 2, 3 lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng đơn vị), hình tròn đơn

vị (có bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2

2 1

y x , y2 1 x Tính tỉ số 1 3

69 Gọi V là thể tích hình cầu bán kính R Khẳng định nào sai ?

A Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình trong giới hạn bởi đường

y R x   R x R và đường thẳng y0 xung quang trục Ox

III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN

Gợi ý – Hướng dẫn giải

Câu 1 Để kiểm tra đẳng thức f x dx  F x C cần kiểm tra đẳng thức '   

Dùng công thức  ' '

2

u u

Câu 54 Tính

 2 1

ln1

x dx

x

 bằng phương pháp tích phân từng phần

Câu 60

1 2