46 bai tap ve nguyen ham tich phan va ung dung co dap an oozjj

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I NGUYÊN HÀM Nếu có hàm số f(x) việc đi tính đạo hàm của nó chỉ cần áp dụng các công thức đã biết, công việc có vẻ không khó lắm Thế nhưng tì[.]

Định lí 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C,

hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

Định lí 2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm

của f(x) trên K đều có dạng G x F x C với C là hằng số

Định lí 3 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Chú ý: Công thức tính vi phân của f(x) là d f x  f ' x dx  Ví dụ duu '.dx,

dtt '.dx với u, t là hàm theo biến x

Với u là một hàm số 0dxC

sin xdxcos x



Phân tích Để ý khi ta đặt tcos x dt d cos x  sin xdx, ta cần chuyển tất cả

về theo biến t Muốn như vậy ta biến đổi sin x2  1 cos x2  1 t2

Lời giải

1 cos x sin xsin x

Phân tích Khi nguyên hàm có dạng phân thức bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu ta

thường dùng phép chia đa thức để giải

 Các loại hàm cơ bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ

 Khi nguyên hàm có dạng tích hai hàm nhân nhau ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Trang 4

 Thứ tự đặt u là logarit, đa thức, lượng giác, mũ (đọc tắt là lô đa lượng mũ), sau khi đặt

u thì toàn bộ lượng còn lại đặt là dv

Ví dụ 7: Tính  

2

ln sin x

dxcos x

  , áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta được:

cos xdx2 t cos tdt2t.sin t2 sin t.dt2t.sin t2cos t C 2 x.sin x2cos xC

Chú ý: Khi đặt dvf x dx  ta tính v theo công thức vf x dx  , chắc hẳn nhiều em sẽ hỏi sau khi tính xong sẽ có thêm hằng số C nhưng tại sao ở các ví dụ trên lại không thấy C, thật ra là người ta đã chọn C0

Trang 5

PHẦN II: TÍCH PHÂN

Định nghĩa Cho hàm số yf x  thỏa mãn:

 Liên tục trên đoạn  a; b

 F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn  a; b Lúc đó hiệu số F b   F a được gọi là tích phân từ a đến b và kí hiệu là

b a

Chú ý: Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm rồi sau đó thay cận

vào theo công thức b      

ln 3I

3

ln 2I

3e 1I

2 0

Trang 11

2 2

2 1

Trang 13

Tính

1

2x 2

2

eI2

xdxI

Trang 16

Ví dụ 24: Tính tích phân 2 

2 0

0 0

1

d x 12x

1 1

5 ln 2I

  

2

I4

Trang 22

Chọn đáp án D

Ví dụ 36: Tính tích phân

1 0

1dxx

1 x 2

1

dxdu

v2

Trang 24

PHẦN III: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI

TRÒN XOAY Diện tích hình phẳng

Nếu ta có hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

 

1 2

V   f x  dx

* Quay quanh trục Oy: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

x f yOy

Trang 25

Ta thấy hình phẳng giới hạn bởi hai đường yx2 x 2 và yx4 x 1 nên chưa

áp dụng được công thức tính ngay, ta cần phải tìm thêm hai đường xa, xb Ở đây a, b là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

x   x 1 x   x 1 x x   0 x 0, x 1

1

2 4 1

Chú ý: Các chú ý dưới đây nhằm mục đích phá dấu giá trị tuyệt đối khi tính tích phân chứa

dấu giá trị tuyệt đối

- Khi tính tích phân chứa trị tuyện đối b  

Trang 26

Chọn đáp án C

Ví dụ 43: Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi

các đường ysin x, trục hoành, hai đường thẳng x 0; x

x 0x4

V sin xdx 1 cos 2x dx x sin 2x

0 0

1 cos xy