33 bài tập Thể tích khối lăng trụ Câu 1 Cho lăng trụ 1 1 1 ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của điểm 1A lên ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, 1 2 3 3 a AA Thể tích khối[.]
Trang 133 bài tập - Thể tích khối lăng trụ Câu 1 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của điểm 1 1 1 A lên 1 ABC
trùng với trọng tâm tam giác ABC, 1 2 3
3
a
AA Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
6 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
3 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
3 4
ABC A B C
a
Câu 2 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3, cạnh bên có độ dài bằng
2a Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của BC Thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1 là:
A
1 1 1
3
8
ABC A B C
a
1 1 1
3
21 24
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
14 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
14 8
ABC A B C
a
Câu 3 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3 Hình chiếu của điểm A 1
1 1 1
ABC A B C là:
A
1 1 1
3
3 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
8
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
9 8
ABC A B C
a
1 1 1
3
27 8
ABC A B C
a
Câu 4 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 1 1 a 3 Hình chiếu của điểm A 1
tan
3
Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
3 24
ABC A B C
a
1 1 1
3
8
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
6 12
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 9
ABC A B C
a
Câu 5 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA 1 1 1 BCa Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của
1 1
2
, AA C C 2
AC S a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1 là:
Trang 2A
1 1 1
3
2
ABC A B C
a
1 1 1
3
6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
2 3
ABC A B C
a
1 1 1
3
2 6
ABC A B C
a
Câu 6 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA 1 1 1 BCa Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của AC, cạnh A B hợp với đáy một góc 45° Thể tích khối 1
lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
3 2
ABC A B C
a
1 1 1
3
3 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
2 6
ABC A B C
a
1 1 1
3
2 4
ABC A B C
a
Câu 7 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA 1 1 1 BCa Hình chiếu của điểm A lên 1 ABC trùng với trung điểm của AC, mặt A AB hợp với đáy một góc 60° Thể tích 1 khối lăng trụ ABC A B C là: 1 1 1
A
1 1 1
3
3 4
ABC A B C
a
1 1 1
3
3 6
ABC A B C
a
C
1 1 1
3
6 6
ABC A B C
a
1 1 1
3
6 9
ABC A B C
a
Câu 8 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Chân đường vuông góc kẻ từ 1 1 1 1
1
tích khối lăng trụ ABCD A B C D là: 1 1 1 1
A
1 1 1 1
3
3 3
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
3 2
ABCD A B C D
a
C
1 1 1 1
3
6 2
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
6 6
ABCD A B C D
a
Câu 9 Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 1 1 1 1 BAD120 Biết A ABC là 1 hình chóp đều và A D hợp với đáy một góc 45° Thể tích khối lăng trụ 1 ABCD A B C D là: 1 1 1 1
A
1 1 1 1
3
3 3
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
ABCD A B C D
C
1 1 1 1
3
3
ABCD A B C D
a
1 1 1 1
3
6 12
ABCD A B C D
a
Câu 10 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C cạnh đáy ' ' ' a4, biết diện tích tam giác A BC bằng 8 ' Thể tích khối lăng trụ ABC A B C bằng: ' ' '
Trang 3A 4 3 B 8 3 C 2 3 D 10 3
Câu 11 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác cân tại A, ' ' ' AB AC 2a, CAB120 Góc giữa AB C và ' ABC là 45° Thể tích khối lăng trụ là:
A 2a3 3 B
3
3 3
a
3
3 2
a
Câu 12 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' '
2
a
Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
3
3 3
a
3
3 2
a
Câu 13 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của ' ' ' A lên ' ABC
trùng với trung điểm của AB Biết góc giữa AA C C và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối lăng trụ bằng: ' '
A 2a3 3 B 3a3 3 C
3
2
a
D a3 3
Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a tâm O Khi đó thể tích khối tứ diện ' ' ' ' ' A A BO là:
A
3
8
a
3
9
a
3
2 3
a
3
12
a
Câu 15 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc ' ' ' của A xuống mặt phẳng ' ABC là trung điểm của AB Mặt bên AA C C tạo với đáy một góc 45° ' ' Tính thể tích khối lăng trụ
A
3
3
32
a
3
3 4
a
3
3 8
a
3
3 16
a
Câu 16 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là ' ' ' 3
a và hợp với đáy ABC một góc 60° Tính thể tích lăng trụ
A
3
8
a
3
2 9
a
3
8
a
Câu 17 Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng
Diện tích của một mặt bên bằng S Thể tích hình hộp đã cho là:
A sin
2
sin
2
Câu 18 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có thể tích là V Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh ' ' ' '
A 3
4
3
2
3V
Trang 4Câu 19 Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy là hình chữ nhật với ' ' ' ' AB 3,AD 7 Hai mặt bên
bên bằng 1
Câu 20 Khối lăng trụ ABC A B C có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng ' ' ' đáy bằng 30° Hình chiếu của đỉnh 'A trên mặt phẳng đáy ABC trùng với trung điểm của cạnh BC Thể tích của khối lăng trụ đã cho là:
A
3
3
4
a
3
3 3
a
3
3 12
a
3
3 8
a
Câu 21 Cho hình hộp ABCD A B C D Tỉ số thể tích của khối tứ diện ' ' ' ' ACB D và khối hộp ' '
' ' ' '
ABCD A B C D bằng:
A 1
1
1
1
4
Câu 22 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C mà mặt bên 1 1 1 ABB A có diện tích bằng 4 Khoảng cách 1 1
giữa cạnh CC và mặt phẳng 1 ABB A bằng 7 Khi đó thể tích khối lăng trụ 1 1 ABC A B C là: 1 1 1
28
Câu 23 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C , M là trung điểm của ' ' ' AA Mặt phẳng ' MBC ' chia khối lăng trụ thành hai phần Tỷ số của hai phần đó bằng:
A 5
1
2
5
Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC A B C có thể tích là V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC ' ' ' Khi đó thể tích của khối chóp 'C AMN là:
A
3
V
12
V
6
V
4
V
Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh ' ' ' BB và ' CC Mặt ' phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số ' ' '.
.
A B C NMA
A BCNM
V
A 1
1
Câu 26 Cho lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của ' ' ' ' A lên ABC trùng
với trung điểm của BC Thể tích của khối lăng trụ là
3
3 8
a
, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:
Trang 5A a B 2a C 6
2
a
Câu 27 Đáy của khối lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy ' ' ' của lăng trụ là 30° Hình chiếu vuông góc của A xuống đáy ' ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC Thể tích của khối lăng trụ là:
A
3
2
3
a
3
3 8
a
3
2 12
a
3
3 4
a
Câu 28 Cho hình hộp ABCD A B C D O là giao điểm của AC và BD Tỷ số thể tích của khối chóp ' ' ' ', ' ' ' '
A 1
1
1
1
4
Câu 29 Cho hình lập phương ABCD A B C D , I là trung điểm của ' ' ' ' BB Mặt phẳng ' DIC chia khối ' lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A 1
7
4
1
2
Câu 30 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C có thể tích bằng V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ' ' '
A
2
V
3
V
3
V
4
V
Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A B C D Mặt phẳng ' ' ' ' BDC chia khối lập phương thành 2 phần '
có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A 1
1
1
1
4
Câu 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có thể tích là V Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ' ' ' ' ' '
A
2
V
16
V
4
V
8
V
Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, ' ' ' A A' A B' A C' , cạnh A A tạo ' với mặt đáy một góc 60° Tính thể tích lăng trụ
A
3
3
3
a
3
3 2
a
3
3 4
a
Trang 6
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC
Khi đó
4
Do đó
1 1 1
ABC A B C ABC
Câu 2. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của BC khi đó 3 3 3
Mặt khác
2
4
1 1 1
2
3
ABC A B C ABC
Câu 3. Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC khi đó 3 3 3
· ·
2
a
1 1 1
2
3
ABC A B C ABC
Trang 7Câu 4. Chọn đáp án B
Gọi H trung điểm của BC khi đó 3 3 3
Dựng HK AB lại có A H1 AB do đó A KH1 AB
1 1 1
2
3
ABC A B C ABC
Câu 5. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A H1 ABC;ACa 2
Khi đó
1 1
2
Do vậy
1 1 1
ABC A B C ABC
Câu 6. Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm của
Khi đó · ·
Do vậy
1 1 1
ABC A B C ABC
Trang 8Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của AC, ta có A H1 ABC;ACa 2
Dựng HK AB lại có A H1 AB do đó AKH AB
tan 60
Do vậy
1 1 1
ABC A B C ABC
Câu 8. Chọn đáp án B
Gọi O là tâm mặt đáy ABCD Dựng OH AB, lại có A O1 ABA HO1 AB
Do đó · ·
tan 60 tan 60
Do đó
1 1 1 1
3 2
ABCD A B C D ABCD
Câu 9. Chọn đáp án B
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều
Khi đó A H1 ABC (do A ABC là khối chóp đều) 1
Ta có: · ·
a
Do đó V ABCD A B C D. 1 1 1 1 S ABCD.A O1 2S ABC.A H1
2
3
a
Trang 9Câu 10. Chọn đáp án B
Gọi M là trung điểm của BC suy ra '
'
2
A BC
2
a
Suy ra
2 ' ' '
4
ABC A B C ABC
Câu 11. Chọn đáp án C
Dựng BH AC lại có BB' AC suy ra B AB' AC
Do đó · ·
Lại có ·BAH 180 120 60 BH ABsin 60 a 3
2
ABC
ABC A B C ABC
Câu 12. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH BC Lại có AA'BC suy ra A AH' BC Dựng AF A H' AF A BC' khi đó 6
2
a
Mặt khác 1 2 1 2 12
3 ' ' '
4
ABC A B C ABC
a
Trang 10Câu 13. Chọn đáp án C
Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC
Kẻ d đi qua H và vuông góc với AC tại
Suy ra ·AA C C' ' , ABC ·A K HK' , ·A KH' 60
' tan 60
Thể tích khối lăng trụ là
3 2
' ' '
ABC A B C ABC
Câu 14. Chọn đáp án D
2
Câu 15. Chọn đáp án A
Đặt AA' x, tam giác A AC vuông tại ' A A C' x216
Và A B' A C' A BC' cân tại A '
Gọi M là trung điểm của BCA M; BC
2 '
A BC
Thể tích khối lăng trụ là
2
4
ABC
Câu 16. Chọn đáp án A
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ' ABC
AH
là hình chiếu của AA trên mặt phẳng ' ABC
AA
Trang 11Thể tích khối lăng trụ là
' ' '
ABC A B C ABC
Câu 17. Chọn đáp án D
Gọi hình hộp đứng là ABCD A B C D với ABCD là hình thoi, · ' ' ' ' ABC ,AC d Diện tích một mặt bên là AA B B' ' có diện tích S và AA'h
Gọi cạnh của hình thoi là x S x h h S
x
Diện tích hình thoi là S ABCD x2.sin
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, có 2 2 2 ·
2 .cos
2
d
Câu 18. Chọn đáp án D
Gọi K là trung điểm của . 1 ' ' '
'
2
ABC IJK ABC A B C
ABCIJC ABC IJK C IJK ABC A B C ABC A B C
Câu 19. Chọn đáp án A
Đặt 'A H x Khi đó
2
'
3 3
Mà
2
x
HM x x x
' ' ' '
3
7
ABCD A B C D
Câu 20. Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC A H' ABC
Trang 12 là hình chiếu của A A' trên mặt phẳng ABC
Tam giác A AH' vuông, có · '
2
AH
Thể tích lăng trụ là
ABC
Câu 21. Chọn đáp án C
Ta có ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. '. ' ' 4 ' ' ' ' ' '
6
ABCD A B C D A A B D C B C D B ABC D ADC ACB D ABCD A B C D ACB D
' '
' ' ' '
ACB D ABCD A B C D ABCD A B C D ACB D ACB D ABCD A B C D
ABCD A B C D
V
V
Câu 22. Chọn đáp án D
Ta có CC1/ /ABB A 1 1
1, 1 1 , 1 1 7
Bài ra
ABB A A AB
ABC A B C A ABC C A AB
1 1 1
1
Câu 23. Chọn đáp án C
Lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' '
'
và ABC đều
Đặt AB BC CA x và A A' h
Kẻ BP AC P AC
1
Lại có
2 2
' ' '
ABC A B C ABC
x h
Trang 132 2 2
' ' '
'
1
A B C BM
A B C BM ABC A B C B ACC M
B ACC M
V
V
Chọn C
Nhận xét
Bản chất là như vậy, ta có thể tư duy nhanh như sau:
1
3
1
3
Rõ ràng với lăng trụ tam giác đều ABC A B C thì ' ' '
' ' '
1
B ACC M
C A B BM
A B BM ACC M
V
Câu 24. Chọn đáp án B
AMN ABC C AMN C ABC
V
Câu 25. Chọn đáp án C
Ta có
1
3
A BCNM A BCM M ABC B ACB ABC A B C
2 3
A B C NMA ABC A B C A CNM ABC A B C
1 2
2
V V
Câu 26. Chọn đáp án C
Gọi H là trung điểm của cạnh BC A H' ABC
3 2
' ' '
ABC A B C ABC
a
3 '
2
a
A H
'
Trang 14Câu 27. Chọn đáp án B
3
A H
AH
3 2
' ' '
Câu 28. Chọn đáp án C
' ' ' '
1
3
3 , ' ' ' '
ABCD A B C D
V
Câu 29. Chọn đáp án B
Mặt phẳng IDC cắt AB tại N, với NA' NB
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD A B C D bằng a ' ' ' '
Ta có
C DAB IN C ADN C ANIB ADN ANID
Mà
2
1
ADN
2
1
IBN
2
3 1
Phần còn lại
2
2
V
Trang 15Câu 30. Chọn đáp án B
3
A BCNM A BCM M ABC B ABC
V
Câu 31. Chọn đáp án B
Ta có
C BDC BCD B C D ABCD A B C D
Phần còn lại 2 5 ' ' ' '
6 ABCD A B C D
Tỉ số cần tìm bằng 1
5
Câu 32. Chọn đáp án D
Ta có
MNB A B C A C D
NC D B C D A C D
MA D A B D A C D
D D MN D A C D
V V
Câu 33. Chọn đáp án D
Kẻ A P' ABC tại P
Mà A A' A B' A C' P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
AP
3
AB
Trang 163 2
' ' '
ABC A B C ABC
a