Tai lieu boi duong hoc sinh gioi chuyen de bai tap lien quan den do thi ham sopdf 1wlxs (1)

a Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình: y x... Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  C tại các điểm A và B song song với... Chứng minh M là trung

CHUYÊN ĐỀ 3 - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số: y f x ,yg x 

Phương trình hoành độ giao điểm: f x g x  f x g x 0 là một phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…

y y  , có 2 nghiệm: y C Ð.y CT 0, có 3 nghiệm phân biệt: y CÐ.y CT 0

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:

- Đồ thị hàm bậc 3: y f x  cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách ABBC tức

là 3 nghiệm x x x1, 2, 3 lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành

- Phương trình trùng phương ax4bx2 c 0,a0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi 0 t1 t2,

2 91

t  t

Tiếp tuyến và tiếp xúc:

- Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 của đồ thị  C :y f x 

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O

- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OIuur

Oxy  IXY với I x y 0; 0: 0

Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y)

Đặc biệt: Nếu M x y   ;  V thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số yx42m x2 21 luôn cắt đường thẳng y x 1 tại đúng hai

điểm phân biệt với mọi giá trị m

nên phương trình f x 0 luôn có nghiệm duy nhất x0: đpcm

Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:







a) Tại hai điểm phân biệt?

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu    P 0 m 0

Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng

a) ym m, 0 cắt đồ thị  C của hàm số y x43x22 tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O

b) y3xm cắt đồ thị  C của hàm số

2

1

x y x

Vậy giá trị x1x2 nhỏ nhất khi m 1

Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho

a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:

y x

Ta có x1 không là nghiệm và  m2160, m nên d luôn cắt  C tại 2 điểm phân biệt M, N

Bài toán 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a) y x2 biết tung độ tiếp điểm là y0 2

f x  nên có tiếp tuyến 3 37

f x   nên có tiếp tuyến 3 1

 biết khoảng cách từ tâm đối xứng của  C đến tiếp tuyến bằng 2 2

b) y x33x22 biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm phân biệt A, B sao cho

34

11

x

x x

Với x0 1 ta có phương trình tiếp tuyến y x 2

Với x0  3, ta có phương trình tiếp tuyến y x 6

Với x0 1, phương trình của d là y9x7

Với x0 3, phương trình của d là y9x25

Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến của  C hàm số: 1

2

x y x





 tại điểm M có hoành độ âm, biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích 1

13

:

22

x

x x

 

2 0

    

 0 0

2

0 0

1

11

11

11

011

0 2

Vậy phương trình tiếp tuyến d y:   x 2

Bài toán 3.12: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đồ thị:

Bài toán 3.13: Tìm điểm M trên đồ thị  C hàm số: 2 2

2

x y x

2:

22

x

x x

2

x A

y f x x  x có đồ thị  C Trên đồ thị  C lấy điểm phân biệt là A và B

có hoành độ lần lượt là a, b Tìm điều kiện của a, b để tiếp tuyến của  C tại các điểm A và B song song với

Giải hệ này, ta được nghiệm là   a b;  1;1 , 1; 1   

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của  C tại A và B song song với nhau là a2ab b 2 1,

 tại điểm M có hoành độ x a 2, cắt trục hoành Ox tại A

và cắt đường thẳng d x: 2 tại B Chứng minh M là trung điểm của AB và diện tích tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến, Ox và d không đổi

a a

nên tiếp điểm M là trung điểm của AB

Gọi I là giao điểm của Ox và d thì I 2;0 Tam giác cần xác định là tam giác ABI vuông tại I có diện tích:

Bài toán 3.16: Cho hàm số

 Chứng minh rằng qua điểm M3; 1  vẽ được hai tiếp tuyến với

đồ thị và hai tiếp tuyến đố vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng qua M3; 1  hệ số góc là a là ya x  3 1, đường thẳng là tiếp tuyến với

đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

12

Vậy 2 tiếp tuyến qua M vuông góc với nhau

Bài toán 3.17: Cho hàm số 3 2  

3

12

x



   Từ đó tính được y0 0

Vậy M 1;0 là điểm duy nhất trên  C mà qua đó có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với  C

Bài toán 3.18: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị   2 2 2

TCX: y x 1, giao điểm 2 tiệm cận I1;0

Phương trình đường thẳng  d qua I với hệ số góc k là yk x 1

Giả sử d là tiếp tuyến của  C thì hệ sau có nghiệm

 2 2

Vậy không một tiếp tuyến nào của  C đi qua I

Bài toán 3.19: Chứng minh tiếp tuyến tại A1;0 của đồ thị   4 2

C y  x x x cũng là tiếp tuyến của

đồ thị này tại một điểm B khác A nữa

Chọn nghiệm x0   1 1 nên B 1; 2 : đpcm

Chú ý: Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm

Bài toán 3.20: Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau:   2 3

  nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y x m Đường

thẳng này tiếp xúc với yx33x28x khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

Vậy có hai giá trị m cần tìm là m5, m 27

Bài toán 3.22: Cho hàm số 3  

3 2

yx  x C Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng và thuộc  C Gọi A B C', ', '

là giao điểm của  C với tiếp tuyến của  C tại A, B, C Chứng minh rằng A B C', ', ' thẳng hàng

Ta chứng minh nhận xét: A, B, C thuộc  C thẳng hàng khi và chỉ khi x Ax Bx C 0

Thật vậy, giả sử A, B, C nằm trên đường thẳng có phương trình yax b

Khi đó x x x A, B, C là nghiệm của phương trình

Ngược lại, giả sử x Ax B x C 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B cắt C' thì theo phần thuận

ta có x Ax Bx C 0 suy ra x C' x C suy ra C' trùng với C và có nghĩa là A, B, C thẳng hàng Nhận xét

Khi m0 thì đồ thị có TCĐ và TCN vuông góc: loại

Khi m0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x 3m và tiệm cận xiên: ymx2

Hai tiệm cận hợp nhau góc 45° khi tiệm cận xiên hợp với trục hoành một góc 45°   m 1

Bài toán 3.24: Tìm m để đường thẳng y2m cắt đồ thị hàm số

 tại hai điểm phân biệt M và

N sao cho OM vuông góc với ON

Bài toán 3.26: Tìm m để đồ thị hàm số: yx33x2mx1 có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó cách đều đường thẳng d y:  2x

y x x cắt trục tung Oy tại một điểm A cách đều gốc O và tiếp điểm M

x y

Bài toán 3.28: Tìm các điểm M thuộc   1

Vậy điểm M thỏa mãn M1 2;1 2 , M 1 2;1 2

Bài toán 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị   4 3

x x

Dấu = xảy ra khi ab và

Ta có khoảng cách MN bé nhất khi 2 tiếp tuyến tại M và N song song với

nhau và chúng vuông góc với đoạn MN

Gọi M x f x ;   ,N x g x 1;  1  thì f ' x g x' 1

1 1

Xét đường thẳng d' vuông góc với d thì d' :y  x b

PT hoành độ giao điểm của d' và   2 2 2

C y x  x đối xứng với nhau qua đường thẳng

yx và không nằm trên đường thẳng đó

Hướng dẫn giải

Nếu gọi A x y ; thì điểm đối xứng của A qua đường thẳng yx có tọa độ là  y x; Vì thế yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm nghiệm nguyên  x y; với x y của hệ phương trình

3 3

Vậy cặp điểm nguyên duy nhất đối xứng với nhau qua đường thẳng y x và không nằm trên đường thẳng

đó là 2; 1  và 1; 2

Bài toán 3.40: Cho f x  là hàm đa thức bậc 4 Chứng minh đồ thị của f x  có trục đối xứng xa khi và chỉ khi: f ' a 0 và f ''' a 0

1 1

01!

0

99

,

9

x mx

Ta chứng minh (1) có 3 nghiệm phân biệt Xét hàm số   3 2

Vậy 3 điểm cố định thẳng hàng trên đường thẳng y4x1

Bài toán 3.44: Chứng minh các đồ thị hàm số  1

Vậy các đồ thị luôn luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định M0; 1 , có tiếp tuyến chung y  x 1

Bài toán 3.45: Trên đồ thị  C của hàm số y  x3 3x22 có những cặp điểm mà tại đó 2 tiếp tuyến cùng

có hệ số góc p, chứng minh trung điểm của các đoạn thẳng nối từng cặp điểm đó là điểm cố định

Với p3 thì  C có 2 tiếp tuyến song song với hệ số góc p

Gọi x x1, 2 là nghiệm của (1), với 2 tiếp điểm M M1, 2 thì trung điểm M M1 2 có hoành độ: 1 2 1

Vậy trung điểm M M1 2 là điểm cố định I 1;0

Bài toán 3.46: Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng hai đường của họ  C m :y x2 mx m2



  là hàm số lẻ nên  C có tâm đối xứng I có tọa độ x m; y m 1 Khử tham

số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là đường thẳng d y:   x 1,x0

Chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OIuur thì được tâm đối xứng I có tọa độ: xm, ym26m1

Khử tham số m thì quỹ tích các tâm đối xứng là parabol   2

Vậy quỹ tích của điểm cực tiểu là đường thẳng d y:  2

Bài toán 3.49: Với các giá trị nào của m đường thẳng y m x cắt đồ thị

 tại hai điểm phân

biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB

x x y

0 0

11

x x

1

x y x

Do đó y 1, nên quỹ tích của điểm thuộc trục tung cần tìm là B 0;y với y1

Bài toán 3.51: Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến   1

Gọi M a b ; , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: yk x ab

Điều kiện d tiếp xúc  C là hệ sau có nghiệm x1

b) y  x m cắt đồ thị hàm số

2

1

x y x

x



 có đồ thị  C Tìm tọa độ điểm M thuộc  C sao cho tiếp tuyến của

 C tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B và diện tích tam giác OAB là 3

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất yx

Điều kiện 2 đồ thị y f x  và yg x  tiếp xúc là hệ phương trình:

Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

a) y  x4 2x22 tại điểm uốn

b) y  x3 3x2 và có hệ số góc lớn nhất

Hướng dẫn

a) y' 4x34 , ''x y  12x24

Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y x3mx m 1, tại giao điểm với trục Oy, tạo với

hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Hướng dẫn

Kết quả m1 hay m  3 2 2