ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Đường trung tuyến của tam giác Đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh gọi là đường trung tuyến của tam giác Mỗi tam giác có ba đường[.]
Trang 1Đ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
Đ ườ ng trung tuy n c a tam giác ế ủ
Đo n th ng ạ ẳ AM n i đ nh ố ỉ A c a tam giác ủ ABC v i trung đi m ớ ể M c a ủ
c nh ạ BC g i là đ ng trung tuy n c a tam giác ọ ườ ế ủ ABC.
M i tam giác có ba đ ng trung tuy n.ỗ ườ ế
Tính ch t ba đ ấ ườ ng trung tuy n c a tam giác ế ủ
Ba đ ng trung tuy n c a m t tam giác cùng đi qua m t đi m Đi m đó cách m i đ nh m t ườ ế ủ ộ ộ ể ể ỗ ỉ ộ kho ng b ng ả ằ 23 đ dài đ ng trung tuy n đi qua đ nh y.ộ ườ ế ỉ ấ
G là tr ng tâm tam giác ọ ABC thì AG AD = BG BE = CG CF= 23.
II BÀI T P Ậ
Bài 1:
T các đ ng th c trên, hãy suy ra các đ ng th c khác:ừ ẳ ứ ẳ ứ
GD= 13AD= 12 AG= 23AD=
BG= 2
3BE=
CG= 23CF=
; ;
Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đ ng trung tuy n ườ ế BP,CQ c t nhau t i ắ ạ G Trên tia đ i c a tiaố ủ
PB l y đi m ấ ể E sao cho PE=PG Trên tia đ i c a tia ố ủ QG l y đi m ấ ể F sao cho QF=QG Ch ng ứ minh r ng: a) ằ GB=¿, GC=GF ; b) EF=BC và EF // BC
Bài 3: Tam giác ABC có các đ ng trung tuy n BD và CE b ng nhau Ch ng ườ ế ằ ứ minh r ngằ
Δ ABClà tam giác cân.
Bài 4: Cho Δ ABC có 3 đ ng trung tuy n ườ ế AD, BE ,CF đ ng quy t i ồ ạ G
a) N u ế Δ ABC đ u hãy ch ng minh: ề ứ GD=¿=GF
b) Đ o l i, n u có ả ạ ế GD=¿=GF khi đó hãy ch ng minh tam ứ Δ ABCđ u.ề
C M
B A
G
E F
C D
B A
Trang 2Bài 5: : Ch ng minh r ng, trong m t tam giác vuông, đ ng trung tuy n ng v i c nh huy nứ ằ ộ ườ ế ứ ớ ạ ề
b ng m t n a c nh huy n.ằ ộ ử ạ ề
Bài 6: Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đ ng trung tuy n t ng ng v i m t c nhứ ằ ế ộ ườ ế ươ ứ ớ ộ ạ
b ng m t n a c nh y thì tam giác đó là tam giác vuông.ằ ộ ử ạ ấ
Bài 7: Cho Δ ABC cân ở A , AB=34 cm,BC=32cm và 3
trung tuy n ế AM ,BN ,CP đ ng quy t i tr ng tâm ồ ạ ọ G.
a) Ch ng minh ứ AM ⊥BC
b) Tính đ dài ộ AM , BN ,CP (làm tròn k t qu đ n ch sế ả ế ữ ố th pậ phân th hai).ứ
Bài 8: Δ ABCcó đ ng cao ườ AH , trung tuy n ế AM (H n»m gi÷a M, B) Cho bi tế
^
BAH =^ HAM=^ MAC
a) Ch ng minh ứ MC=2 MH
b) V ẽMI ⊥ AC t i I Ch ng minh ạ ứ ^IMB=2.^ ABC.
c) Tính các góc c a ủ Δ ABC.
Bài 9: Cho Δ ABC vuông t i A có AD là trung tuy n.ạ ế
a) Ch ng minh ứ AD= 12BC
b) Bi t ế AC=√8cm , AD=√3 cm + Tính c nh AB.ạ
+ Trung tuy n BE c a ế ủ Δ ABCc t AD t i G Tính BE và ch ng minh ắ ạ ứ Δ AGB là tam giác vuông.
Bài 10: Cho Δ ABC có hai trung tuy n ế AM và BN vuông góc v i nhau t i G Ch ng minhớ ạ ứ
BC2+C A2=5 A B2
CÓ TH EM CH A BI T Ể Ư Ế
M i trung tuy n chia thành 2 tam giác có di n tích b ng nhau ỗ ế ệ ằ
N i 3 đ nh c a tam giác v i tr ng tâm c a nó ta đ c 3 tam giác nh có di n tích b ng nhau ố ỉ ủ ớ ọ ủ ượ ỏ ệ ằ
3 trung tuy n c a tam giác phân tam giác thành 6 tam giác nh có di n tích b ng nhau ế ủ ỏ ệ ằ
H t ế
HDG Bài 1: Hs t đi n ự ề
Bài 2:
a) Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC nên : BG=2GP ,CG=2GQ
G
C B
A
Trang 3L i có ạ PE=PG ,QF=QG nên : ¿=2GP , GF=2GQ
Do đó BG=¿,CG=GF
b) Suy ra : ΔGBC =ΔGEF(c.g.c)
T đó ta có ừ EF=BC và GEF=^^ GBC ⇒ EF // BC
Bài 3: G i G là giao đi m c a BD và CE, ta có ọ ể ủ
CG= 23CE Do BD=CE nênBG=CG,GD=¿
Δ BGE=ΔCGD(c g.c)⇒ BE=CD
Ta l i cóạ BE= 12AB,CD= 12 AC nên AB= AC V y ậ Δ ABClà tam giác cân
Bài 4: a) Vì Δ ABC đ u nên ề AD=BE=CF
mà EG= 1
3EB ; FG= 13CF ; DG= 13AD ⇒≥¿GF=GD
b) Ta có: EG= 1
3EB ; FG=13CF ; DG= 13 AD
mà ¿=GF=GD ⇒ AD=BE=CF
BE=CF ⇒ AB= AC ( đã ch ng minh ứ bài 3 )
AD=BE ⇒ CA=CB
⇒ AB=BC=CA ⇒ Δ ABC đ u.ề
Bài 5: Xét Δ ABC vuông t i A, đ ng trung tuy n AM ạ ườ ế
Ta s ch ng minh ẽ ứ AM=12BC
Trên tia đ i c a tia MA l y đi m D sao cho ố ủ ấ ể Ta có
MA= 12 AD, c n ch ng minh D th y ầ ứ ễ ấ Δ BMD= ΔCMA (c.g.c)
⇒ BD= AC , ^ B1=^C do đó BD // AC Ta l i có ạ ^BAC=90° nên^ABD=90° Do đó ΔCAB= Δ DBA (vì
c nh AB chung, ạ CAB=^^ DBA=90°, AC=BD), suy raBC= AD V y ậ AM=1
2BC
Bài 6: XétΔ ABC, đ ng trung tuy n AM có ườ ế AM=1
2BC
Ta s ch ng minhẽ ứ ^BAC=90° D th yễ ấ MA=MB=MC
G
A
E A
D
Trang 4Các tam giác MAB, MAC cân t i M nên:ạ ^B=^ A1, ^C=^ A2
Do đó ^B+^C=^A1+^A2=^BAC
Ta l i có ạ ^B+^C+^ BAC=180° nên ^BAC=90°
Bài 7:
a)
b) Vì M là trung đi m ể BC ⇒ BM= BC2 =16cm
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABM ta có:
A M2+M B2= A B2⇒ AM=√A B2−M B2=√342−162=30 cm
Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC ⇒ GM = 1
3AM=13.30=10cm Xét ΔCBP và Δ BCN có:
{ ¿^B=^C(¿)
¿BCc hung
¿CN=PB( AB= AC)
⇒ ΔCBP=Δ BCN(c.g c)⇒ CP=BN
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị GBM ta có:
G M2+M B2=M B2 ⇒ M B2=102+162=356 ⇒ BM ≈ 18,87 cm
Vì G là tr ng tâm ọ Δ ABC ⇒ BN= 32BG= 32.18,87=28,31cm
V y ậ AM=30cm; BN=CP=28,31 cm
Bài 8:
a) Δ ABH =Δ AMH (c.g.c)⇒ BH=HM ⇒ BM=2 HM =MC b) Ch ra ỉ Δ AHM= Δ AIM(ch−gn)⇒ ^ AMH =^ AMI
mà ^AMH=^ ABH(t heoa)⇒ ^ BMI =2.^ ABC
c) Ta có: Δ AMI= Δ AMH ⇒ ℑ=MH = CM2
Trong tam giác vuông CMI có
ℑ= CM
2 ⇒ ^C=30
0⇒ ^ CMI=600⇒ ^ IMB=1200⇒ ^B=600
⇒ ^A=90° V y tam giác ABC có: ậ ^C=30°; ^A=90°
Trang 5Ch ng minh b đ ứ ổ ề: Trong m t tam giác vuông, góc đ i di n v i c nh c nh góc vuông b ng n a ộ ố ệ ớ ạ ạ ằ ử
c nh huy n thì b ng ạ ề ằ 30°
Bài 9:
a) AD= BC2 ⇒ BC=2 AD=2√3 cm
b) Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABC ta có:
BC2= A B2+ A C2
⇒ AB=√B C2− A C2=√(2√3)2−(√8)2=2cm
Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác vuông ụ ị ABE ta có:
B E2= A B2+ A E2⇒ BE=√22+( √8
2 )2
=√6cm
mà AG= 23 AD=2√3
3 cm ;BG= 23BE=2√6
3 cm
A G2+B G2=(2√3
3 )2 +(2√6
3 )2
=4= A B2 ⇒ Δ AGBvuông t i G ( ạ Pitago đ o) ả
Bài 10: Vì AM ⊥BN nên :
BC2+C A2=¿
¿4 (B G2+G M2+G N2+ A G2)
¿4(G B2+ A G2)+4 (G M2+G N2)
¿4 A B2+4[ (1
2 AG)2
+(1
2BG)2
]=5 A B2
Bài t p b sung: ậ ổ
1) Cho Δ ABC có hai trung tuy n ế BE và CFc t nhau t i G Đ ng th ng ắ ạ ườ ẳ AG c t ắ BC t i D Kạ ẻ
BH AD t i H và ạ CK AD t i K Ch ng minh: ạ ứ
a) BH=CK
b) S Δ AGB =S Δ AGC =S Δ CGB ( S là di n tích)ệ
2) Cho Δ MNP G i I là m t đi m n m trong tam giác Ch ng minh r ng n uọ ộ ể ằ ứ ằ ế
S Δ IGN =S Δ MIP =S Δ NIP thì I là tr ng tâm c a ọ ủ Δ MNP
Trang 6a) Δ BDH =ΔCKD(ch−gn)⇒ BH=CK
b) Xét Δ AGB và Δ AGC có cạnh AG chung mà:
{¿BH ⊥ AD
¿CK ⊥ AD
¿BH=CK
⇒ S Δ AGB =S Δ AGC Chứng minh tương tự ta được: S Δ BGC =S Δ AGC
Vậy S Δ AGB =S Δ BGC =S Δ AGC
2) Gọi MI ∩ NP={E};∋∩ MP={F}
Kẻ NH ⊥ ME tại H, PK ⊥ ME tại K
⇒ S Δ MNI =S Δ MIP ⇒ 12MI NH= 12MI PK ⇒ NH=PK ⇒ ΔNHE= Δ PKE(cgv−gn)⇒ NE=EP
⇒ E là trung điểm NP Chứng minh tương tự: F là trung điểm MP
mà ME ∩ NF={I}⇒ I là trọng tâm Δ MNP