CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN * Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam gi[.]
Trang 1CÁC TR ƯỜ NG H P B NG NHAU C A TAM GIÁC VUÔNG Ợ Ằ Ủ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
* N u c nh huy n và m t c nh góc vuông c a tam giác vuông này b ng c nh huy n và m tế ạ ề ộ ạ ủ ằ ạ ề ộ
c nh góc vuông c a tam giác vuông kia thì hai tam giác đó b ng nhau.ạ ủ ằ
¿^A= ^ A '=900
¿BC=B ' C '
¿AC=A ' C '}⇒ Δ ABC=Δ A ' B ' C '
II BÀI T P Ậ
Bài 1: Cho góc xOy Tia Oz là tia phân giác góc xOy L y đi m ấ ể A thu c tia ộ Oz ( A ≠ O). K ẻ AB
vuông góc v i ớ Ox , AC vuông góc v i ớ Oy (B ∈Ox ,C ∈Oy). Ch ng minh ứ ΔOAB= ΔOAC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông t i ạ A Tia phân giác góc B c t c nh ắ ạ AC t i đi m ạ ể M Kẻ
MD ⊥BC (D∈BC).
a) Ch ng minh ứ BA=BD ;
b) G i ọ E là giao đi m c a hai đ ng th ng ể ủ ườ ẳ DM và BA Ch ng minh ứ Δ ABC= Δ DBE ;
c) K ẻDH ⊥ MC (H ∈ MC) và AK ⊥ ME(K ∈ ME). G i ọ N là giao đi m c a hai tia ể ủ DH và AK
Ch ng minh ứ MN là tia phân giác góc HMK ;
d) Ch ng minh ba đi m ứ ể B ,M , N th ng hàng.ẳ
Bài 3: Cho Δ ABC có hai đ ng cao BM, CN Ch ng minh n u ườ ứ ế BM=CN thì Δ ABC cân
Bài 4: Cho tam giác ABC Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I Kẻ ID ⊥ AC(E ∈ AC) Chứng minh rằng AD= AE
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB< AC Tia phân giác c a góc ủ A c t đ ng trung tr c c a ắ ườ ự ủ BC
t i ạ I Qua I k các đ ng th ng vuông góc v i hai c nh c a góc ẻ ườ ẳ ớ ạ ủ A, c t các tia ắ AB và AC theo
th t t i ứ ự ạ H và K Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) AH=AK
b) BH=CK
c) AK= AC+ AB
2 ,CK= AC− AB2
Bài 6: Cho tam giác ABC cân t i ạ A Trên tia đ i c a tia ố ủ BC l y đi m ấ ể M , trên tia đ i tia c a tiaố ủ
CB l y đi m ấ ể N sao cho BM=CN
a) Ch ng minh tam giác ứ AMN cân;
Trang 2b) K ẻBE⊥ AM (E ∈ AM ),CF ⊥ AN (F ∈ AN). Ch ng minh r ng ứ ằ Δ BME=ΔCNF ;
c) EB và FC kéo dài c t nhau t i ắ ạ O Ch ng minh ứ AO là tia phân giác c a góc ủ MAN
d) Qua M k đ ng th ng vuông góc v i ẻ ườ ẳ ớ AM , qua N k đ ng th ng vuông góc v i ẻ ườ ẳ ớ AN ,
chúng c t nhau ắ ởH Ch ng minh ba đi m ứ ể A ,O ,H th ng hàng.ẳ
Bài 7: Cho Δ ABC có M là trung đi m c a BC và AM là tia phân giác c a góc A V ể ủ ủ ẽ MI ⊥ AB
t i I, ạ MK ⊥ AC t i K.ạ
Ch ng minh:ứ
a)
b) Δ ABC cân
c) Cho bi t AB = 37, AM = 35 Tính BC.ế
d) Trên tia đ i c a tia BC l y đi m D, trên tia đ i c a tia CB l y đi m E sao cho BD = CE.ố ủ ấ ể ố ủ ấ ể
Ch ng minh ứ △ ADE cân
e) V ẽ BQ⊥ AD t i Q, ạ CR ⊥ AE t i R Ch ng minh ạ ứ △ ABQ=△ ACR
Bài 8: Cho tam giác ABC cân t i A (ạ ^A<90 ∘) Các đ ng trung tr c c a AB, AC c t nhau t iườ ự ủ ắ ạ O
a) Ch ng minh r ng: AO là tia phân giác c a góc A.ứ ằ ủ
b) Qua B k đ ng th ng vuông góc v i AB, qua C k đ ng th ng vuông góc v i AC, chúngẻ ườ ẳ ớ ẻ ườ ẳ ớ
c t nhau t i K Ch ng minh AK là tia phân giác c a góc A.ắ ạ ứ ủ
c) V ẽBD⊥ AC t i D, ạ CE ⊥ AB t i e, BD c t CE t i H Ch ng minh A, O, H, K th ng hàng.ạ ắ ạ ứ ẳ
Bài 9: Cho Δ ABCcó V tia phân giác Ax Đ ng th ng đi qua B vuông góc v iẽ ườ ẳ ớ
đ ng th ng Ax c t AC t i D.ườ ẳ ắ ạ
a) Ch ng minh ứ Δ ABD cân.
b) Đ ng trung tr c c a BC c t Ax E V EF vuông góc v i đ ng th ng AB t i F, EGườ ự ủ ắ ở ẽ ớ ườ ẳ ạ vuông góc v i đ ng th ng AC t i G Ch ng minh: ớ ườ ẳ ạ ứ BF=CG
HDG Bài 1: Do Oz là tia phân giác ^xOy nên ^AOB=^ AOC , t đóừ
ΔOAB= ΔOAC (c nh huy n - góc nh n).ạ ề ọ
Bài 2:
a) Ta có Δ BMA=Δ BMD (c nh huy n - góc nh n), t đó ạ ề ọ ừ BA=BD C
B
A z
y x
O
Trang 3b) T k t qu câu a) ch ng minh đ c ừ ế ả ứ ượ Δ ABC= Δ DBE(g-c-g).
c) Chú ý MA=MD , t đó ừ Δ MAK =Δ MDH (c nh huy n - góc nh n) ạ ề ọ ⇒ MK =MH
Do đó Δ MKN =Δ MHN (c nh huy n - c nh góc vuông)ạ ề ạ
⇒ ^ KMN =^ HMN ⇒ ĐPCM
d) Ch ng minh đ c ứ ượ ^AMB=^
2 =
^
2 =^HMN
Do đó ^AMB+^ AMN=^ HMN +^ AMN=180 ° ⇒ B ,M , N th ng hàng.ẳ
Bài 3: Ta có: BM ⊥ AC ,CN ⊥ AB ⇒ ^ BNC=90 ° ;^ CMB=90 °
Xét Δ BNC và ΔCMB có:
^
BNC=^ CMB=90° (cmt)
BC là c nh chungạ
(gt)
⇒ ΔBNC=ΔCMB(ch−cgv)
⇒ ^B=^C (2 góc t ng ng) ươ ứ ⇒ Δ ABC cân t i Aạ
Bài 4: Kẻ HI ⊥BC
(cạnh huyền – góc nhọn) suy ra ID=IH (1) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra (2)
Từ (1)và (2)suy ra ID=IE.
(cạnh huyền – cạnh góc vuông) suy ra AD= AE
Bài 5:
a) (c nh huy n – góc nh n) suy ra ạ ề ọ
b) G i M là trung đi m c a BC ọ ể ủ
(câu a)
E
N K H
D M
C
B
A
K M
H
A
I
H
I
A
Trang 4(c nh huy n – c nh góc vuông) suy ra ạ ề ạ
T ừ (1)và (2)suy ra
Do , nên AC+ AB=2 AK , suy ra AK= AC+ AB2
T ừ(1)và (2)suy ra:
Bài 6: a) Ch ng minh đ cứ ượ Δ ABM =ΔCAN (c-g-c) ⇒ đpcm
b) T k t qu câu a) ch ng minh đ c ừ ế ả ứ ượ Δ BME=ΔCNF (c nhạ
huy n - góc nh n).ề ọ
c) T k t qu câu b) ta có ừ ế ả ME=NF , mà AM=AN ⇒ AE= AF
Cũng có ^EBM =^ FCN ⇒ ^ OBC=^ OCB ⇒ ΔOBC cân t i ạ O , t đóừ
OB=OC ⇒ OE=OF
B i v y ở ậ Δ AEO=Δ AFO(c-g-c) ⇒ ĐPCM
d) Ch ng minh đ c ứ ượ Δ AMH= Δ ANH (c nh huy n - c nh gócạ ề ạ
vuông), t đó suy ra ừ AH là phân giác góc MAN
M t khác ặ AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau hay A ,O ,H th ng hàng.ẳ
H O
F E
N
A