TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC CẠNH – GÓC – CẠNH (C G C) I KIẾN THỨC CƠ BẢN Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó[.]
Trang 1TR ƯỜ NG H P B NG NHAU TH HAI C A TAM GIÁC: Ợ Ằ Ứ Ủ
C NH – GÓC – C NH (C.G.C) Ạ Ạ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
N u hai c nh và góc xen gi a c a tam giác này b ng hai c nh vàế ạ ữ ủ ằ ạ
góc xen gi a c a tam giác kia thì hai tam giác đó b ng nhau.ữ ủ ằ
H qu : ệ ả N u hai c nh góc vuông c a tam giác vuông này b ngế ạ ủ ằ
hai c nh góc vuông c a tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó b ng nhau.ạ ủ ằ
II BÀI T P Ậ
Bài 1: Cho ^xOy có Om là tia phân giác, C ∈Om (C ≠ O) Trên tia Ox l y đi m ấ ể A, trên tiaOy l yấ
đi m ể B sao cho OA=OB Ch ng minh:ứ
a) ΔOAC =ΔOBC
b) OAC=^^ OBC và CA=CB
Bài 2: Cho tam giác ABC, k AH vuông góc v i BC ẻ ớ (H ∈BC) Trên tia đ i c a tia HA, l y ố ủ ấ
đi m K sao cho ể HK=HA N i KB, KC Tìm các c p tam giác b ng nhau trong hình v ố ặ ằ ẽ
Bài 3: Cho có , trên c nh ạ l y đi m E sao cho ấ ể Tia phân giác góc B
c t AC D.ắ ở
a) Ch ng minh: ứ
b) Ch ng minh: ứ
c) Tính s đo ố
Bài 4: Cho hai đo n th ng ạ ẳ ABvà CDc t nhau t i trung đi m ắ ạ ể O c a m i đo n th ng.ủ ỗ ạ ẳ
a) Ch ng minh: ứ và AC // DB.
b) Ch ng minh: ứ và AD // CB
c) Ch ng minh: ứ
d) V ẽCH⊥AB t i ạ H.Trên tia đ i c a tia ố ủ OH l y đi m ấ ể I sao cho OI = OH Ch ng minh:ứ
DI ⊥AB.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ^A=50° V đo n th ng AI vuông góc và b ng AB (I và C khác ẽ ạ ẳ ằ phía đ i v i AB) V đo n th ng AK vuông góc và b ng AC (K và B khác phía đ i v i AC) ố ớ ẽ ạ ẳ ằ ố ớ
Ch ng minh r ng:ứ ằ a) IC=BK b) IC ⊥ BK
A
A'
C' B'
Trang 2Bài 6: Cho Δ ABC có ba góc nh n V ọ ẽBD⊥ AC t i ạ D, CE⊥AB t i ạ E Trên tia đ i c a tia ố ủ BD
l y đi m ấ ể F sao cho BF = AC, trên tia đ i c a tia ố ủ CE l y đi m ấ ể G sao cho CG = AB Ch ng minh:ứ
AF = AG và AF⊥AG
Bài 7: Cho góc b t ẹ xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot l y hai đi m A, B ( A n m gi a O và ấ ể ằ ữ B) L y đi m ấ ể C ∈Ox sao cho OC=OB, l y đi m ấ ể D ∈Oysao cho OD=OA
a) Ch ng minh AC = BD và ứ AC ⊥BD
b) G i M, N l n l t là trung đi m c a AC và BD Ch ng minh ọ ầ ượ ể ủ ứ OM =ON
c) Tính các góc c a tam giác ủ MON
d) Ch ng minh ứ AD⊥BC
Bài 8: (T luy n) ự ệ Cho tam giác ABC có ba góc nh n V ọ ẽ AH ⊥BC (H ∈ BC) V ẽ HI ⊥ AB t i I, ạ
v ẽHK ⊥ ACt i K L y E, F sao cho I là trung đi m c a HE, K là trung đi m c a HF, EF c t ạ ấ ể ủ ể ủ ắ
AB, AC l n l t t i M, N ầ ượ ạ
a) Ch ng minh ứ MH =ME và chu vi Δ MHN b ng EF ằ
b) Ch ng minh AE = AFứ
c) N u bi t ế ế ^BAC=600 Khi đó hãy tính các góc c a tam giác ủ AEF
( Chu vi c a m t tam giác b ng t ng đ dài 3 c nh c a tam giác) ủ ộ ằ ổ ộ ạ ủ
HDG Bài 1 : a) Có OA=OB ; ^AOC=^ COB ; OC là c nh chungạ
⇒ ΔOAC=ΔOBC (c g.c)
suy ra OAC=^^ OBC (hai góc t ng ng) ươ ứ O C
A
B
Trang 3suy ra AC= AB ¿hai c nh t ng ng)ạ ươ ứ
Bài 2: Δ AHB=Δ KHB (c.g.c);
Δ AHC= Δ KHC (c.g.c);
Δ ABC= Δ KBC (c.g.c) ho c (c.c.c)ặ
Bài 3:
a¿Δ ABD=Δ EBD (c g.c)
b¿⇒ DA=DE¿C p c nh t ng ngặ ạ ươ ứ ¿
^A=^E=900¿C p góc t ng ngặ ươ ứ ¿
Bài 4: a) Ch ng minh: ứ AC = DB và AC // DB
* Xét hai tam giác Δ AOC và Δ BOD có:
OA = OB (gt)
^
AOC=^BOD (hai góc đ i đ nh)ố ỉ
OC = OD (gt)
⇒ ΔAOC = Δ BOD (c.g.c)
⇒ AC = DB.(2 c nh t ng ng b ng nhau)ạ ươ ứ ằ
Vì Δ AOC = Δ BOD nên OCA=^^ ODB (2 góc t ng ng b ngươ ứ ằ
nhau)
Mà OCA^ và ODB^ là hai góc v trí so le trong ở ị ⇒ AC // DB
b) Ch ng minh: ứ AD = CB và AD // CB
* Xét hai tam giác Δ AOD và Δ BOC có:
OA = OB (gt)
^
AOD=^BOC (hai góc đ i đ nh)ố ỉ
OD = OC (gt)
⇒ ΔAOD = Δ BOC (c.g.c)
⇒ AD = CB (2 c nh t ng ng b ng nhau).ạ ươ ứ ằ
Vì Δ AOD = Δ BOC nên OCB=^^ ODA (2 góc t ng ng b ng nhau)ươ ứ ằ
Mà OCB^ và ODA^ là hai góc v trí so le trong, cát tuy n ở ị ế C D ⇒ AD // CB
c) Ch ng minh: ứ ^ACB=^BDA
Ta có: OCA=^^ ODB (cmt)
^
OCB=^ODA (cmt)
^
OCA+^OCB=^ODB+^ODA
^
ACB=^BDA (đpcm)
d) V ẽ CH⊥AB t i ạ H.Trên tia đ i c a tia ố ủ OH l y đi m ấ ể I sao cho OI = OH Ch ng minh:ứ
DI ⊥AB.
* Xét hai tam giác Δ HOC và Δ IOD có:
OH = OI (gt)
^
HOC=^IOD (hai góc đ i đ nh)ố ỉ
K
H B
A
C
C
E D
Trang 4OC = OD (gt)
⇒ ΔHOC = Δ IOD (c.g.c)
^
OID=^IHC=900 hay DI⊥AB
Bài 5: a) ^IAC=^ BAK(¿140o)
Δ IAC= ΔBAK (c.g.c) ⇒ IC=BK
b) G i ọ D là giao đi m c a AB và IC, g i ể ủ ọ E là giao đi mể c a ủ IC
và BK
Xét Δ AID và Δ EBD, ta có ^AID=^ EBD (do
Δ IAC= ΔBAK¿, (đ i đ nh) nên ố ỉ ^IAD=^ BED
Do ^IAD=90 o nên ^BED=90 o V y ậ IC ⊥ BK
Bài 6:
Vì Δ ADB vuông t i ạ D nên ^ABD=900−^DAB hay (1)
Vì Δ AEC vuông t i ạ E nên ^ACE=900−^EAChay (2)
T ừ (1) và (2) suy ra
M t khác, ta l i có ặ ạ
^ ACG+^ACE=1800
^
FBA=^ACG
* Xét hai tam giác Δ FBA và Δ ACG có:
FB=AC (gt)
^
FBA=^ACG (theo ch ng minh trên)ứ
BA = CG (gt)
⇒ (c.g.c)
⇒ AF = AG (2 c nh t ng ng b ng nhau)ạ ươ ứ ằ
Vì nên FAB=^^ AGC (2 góc t ng ng b ng nhau)ươ ứ ằ
Ta có
FAG=^^ AGC+^BAC+^CAG
( là góc ngoài t i đ nh C c a ạ ỉ ủ )
¿EAC+^^ ACE=90 ° (AEC vuông t i E)ạ
V y ậ FAG=90 °^ hay
Bài 7:
E D
K
I
A
C B
A D E
G F
Trang 5a) Vì góc xOy b t có Ot là tia phân giác ẹ
⇒Ot ⊥ xy ⇒ ^ COA=^ DOB=900
Ch ng minhứ Δ AOC= Δ DOB(c−g−c)
⇒ DB= AC (2 c nh t ng ng)ạ ươ ứ
G i E là giao đi m c a AC và BD Cóọ ể ủ
^
EAB+ ^ EBA=^ OCA +^ OAC=900 vuông t i E ạ ⇒
b) Vì Δ AOC= Δ DOB ⇒ ^ DBO=^ ACO
Ch ng minh ứ ΔONB=ΔOMC (c−g−c)⇒ OM=ON ; và ^NOB=^ MOC
c) ^NOB=^ MOC (cmt) t đó ch ra đ c ừ ỉ ượ ^NOB+^ BOM=^ BOM +^ MOC=900
G i P là trung đi m c a MN t đó ch ra ọ ể ủ ừ ỉ Δ NOP=Δ MOP(c−c−c) t đó ch raừ ỉ
^
ONM=^ MON =1800−^NOM
0
2 =45
0 d) V n d ng t ng t câu c, g i Q, T l n l t là trung đi m c a BC và AD, ch raậ ụ ươ ự ọ ầ ượ ể ủ ỉ
T đó suy ra ừ ^BFA=900 hay AD⊥ BC
Bài 8: a,b t ch ng minhự ứ
c) ^AEF=^ AFE= 180 °−^2FAE= 1800−1202 °=30°