Câu 1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng (A) Từ ta suy ra (B) Từ ta suy ra ADVERTISING (C) Vì nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng (D) Nếu thì B là trung điểm của đoạn thẳng AC[.]
Trang 1Câu 1: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng
(A) Từ ta suy ra
(B) Từ ta suy ra
ADVERTISING
(C) Vì nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng
(D) Nếu thì B là trung điểm của đoạn thẳng AC
Lời giải:
Câu 2: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây
(A) Vì nên N là trung điểm của đoạn MP
(B) Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có:
(C) Từ hệ thức ta suy ra ba vec tơ đồng phẳng
(D) Vì nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng
Lời giải:
Chọn D
Với mọi điểm A, B, C, D trong không gian ta luôn có:
Trang 2nên không thể suy ra A, B, C, D đồng phẳng
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Ta có bằng:
Lời giải:
Câu 4: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
(A) Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c
(B) Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c
(C) Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c
(D) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a,b)
Lời giải:
Chọn B
Trang 3Vì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b nên (a, b) = 90°
Mà b // c nên (a; c) = (a; b) = 90°
Do đó, đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c
Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng
(A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
(B) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
(C) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d Với mỗi điểm A thuộc (α) và mỗi điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d
(D) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng (γ) thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu có sẽ vuông góc với (γ)
(C) sai
(D) Đúng (Định lí 2 trang 109 SGK)
Câu 6: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
(A) Hai đường thẳng a và b trong không gian có các vector chỉ phương lần lượt là vector u và vector v Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và hai vector u và vector v không cùng phương
(B) Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau Đường vuông góc chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia
Trang 4(C) Không thể có một hình chóp tứ giác S.ABCD nào có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy
(D) Cho vector u và vector v là hai vector chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) và vector n là vector chỉ phương của đường thăng Δ Điều kiện cần và đủ để Δ ⊥ (α) là vector n nhân vector u bằng 0 và vector n nhân vector
Vì a và b không có điểm chung nên hai đường thẳng này không cắt nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra, hai đường thẳng a và b ở vị trí chéo nhau
+) Mệnh đề (B) đúng
Giả sử đường vuông góc chung của a và b là c và a ⊥ b
+) Mệnh đề (C) sai Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi và AB cắt
CD tại H
Cho SH vuông góc với mặt phẳng đáy
Trang 5Câu 7: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
(A) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng
(B) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng
đó cùng nằm trong một mặt phẳng
(C) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng (D) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy
Trang 6Câu 8: Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào là đúng?
(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song (B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau (C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song (D) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau
Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau (B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau
(C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau
(D) Một mặt phẳng (α) và một đường thẳng a không thuộc (α) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (α) song song với a
Lời giải:
Trang 7Chọn D
(A) sai vì chúng có thể cùng nằm tronng mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và cắt nhau Hoặc chúng có thể chéo nhau
(B) sai vì chúng có thể song song với nhau
(C) sai vì chúng có thể cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho nên có thể song song hoặc cắt nhau
(D) đúng
Câu 10: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây
(A) Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng kéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại
(B) Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
(C) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước
(D) Cho ba đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một Khi đó ba đường thẳng này
sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một
Câu 11: Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a bằng kết quả
nào trong các kết quả sau đây?
Trang 8Lời giải:
Xét tứ diện ABCD là tứ diện đều cạnh a
ADVERTISING
Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của BC và AD
Ta có: IA = ID (hai trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau)
Nên tam giác IAD cân tại I
Trang 9Vậy d(AD, BC) = IK = a√2a2
Chọn đáp án B
Câu 12: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng ?
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song ;
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song ;
c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (α)
d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song
Lời giải:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai (vì a có thể nằm trong mp(α), xem hình vẽ)
d) Sai, chẳng hạn hai mặt phẳng (α) và (β) cùng đi qua đường thẳng a và a ⊥ mp(P) nên (α) và (β) cùng vuông góc với mp(P) nhưng (α) và (β) cắt nhau
e) Sai, chẳng hạn a và b cùng ở trong mp(P) và mp(P) ⊥ d Lúc đó a và b cùng vuông góc với d nhưng a và b có thể không song song nhau
Câu 13: Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?
a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại
b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Trang 10c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước
d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Lời giải:
Câu a) đúng Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c) Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III)
Câu b) sai Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Câu c) sai Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô
số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước Để có khẳng định đúng
ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho
Câu d) sai Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường
ấy
Câu 14: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b) Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, AC, SD tại
B', C', D' Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB
Lời giải:
Trang 12Dễ thấy ∆SAD = ∆SAB (cạnh – góc – cạnh)
=> AB' = AD' (hai đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh)
=> ∆SAD' = ∆SAB'
=> SD' = SB' (cạnh tương ứng)
Mà SD = SB (do ∆SAD = ∆SAB nên SD'SD=SB'SBSD'SD=SB'SB => B'D' // BD
Cách khác:
Ta có thể chứng minh B’D’//BD như sau:
Câu 15: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có BAD ^ = 60 o
Gọi O là giao điểm của AC và BD Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO= 3a 4 Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F là trung điểm của đoạn
BE
a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC)
Lời giải:
Trang 13a) Theo giả thiết BAD ^ = 60 o nên theo tính chất của hình thoi BCD ^ = 60 o hay tam giác BDC đều
Suy ra BD = a
Xét tam giác BOE có BO = BE = a 2 và OBE ^ = 60 0 nên tam giác BOE đều
Do đó OF là đường cao và ta được OF ⊥ BC
b) Kẻ OH ⊥ SF
Suy ra d(O, (SBC)) = OH
Ta có:
Trang 14Tam giác OBF vuông tại F nên
Gọi K là hình chiếu của A trên (SBC), ta có AK // OH
Trong ∆AKC thì OH là đường trung bình, do đó:
Câu 16: Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau Tam giác ABC vuông tại A và có AB = a, AC = b Tam giác ADC vuông tại D có CD = a
a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Lời giải:
Trang 15b) Gọi J là trung điểm của AC suy ra KJ // BA (đường trung bình của ∆ABC)
Mà BA ⊥ (ADC) => KJ ⊥ (ADC) => KJ ⊥ AD (1)
Ta cũng có IJ // DC (đường trung bình của ∆ADC)
Mà DC ⊥ AD => IJ ⊥ AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AD ⊥ (KIJ) => AD ⊥ IK (3)
Ta lại có: ∆BAI = ∆CDI (cạnh – góc - cạnh)
Suy ra IB = IC
=> ∆BIC cân đỉnh I => IK ⊥ BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra IK là đoạn vuông góc chung của AD và BC
Trang 16Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a) Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’
Lời giải:
a) Ta có tứ giác BCC’B’ là hình vuông nên BC' ⊥ B'C (1)
Mặt khác A'B' ⊥ (BCC'B') => A'B' ⊥ BC' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BC' ⊥ (A'B'CD)
b) Do AD’ // BC’ nên mặt phẳng (AB’D’) là mặt phẳng chứa AB’ và song song với BC’
Ta tìm hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’)
Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD’A’ và BCC’B’
Từ F kẻ FI ⊥ B'E Ta có BC’//AD’ mà BC' ⊥ (A'B'CD)
=> AD' ⊥ (A'B'CD) và IF ⊂ (A'B'CD)
AD' ⊥ IF (3)
EB' ⊥ IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra: IF ⊥ (AB'D')
Trang 17Vậy IF là hình chiếu của F trên mặt phẳng (AB’D’) Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC’ thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’)
Đường thẳng qua I song song với BC’ cắt AB’ tại K Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC’ tại H KH chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’ Thật vậy:
Tam giác EFB’ vuông góc tại F, FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên
Câu 18: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B
là
A Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
B Đường trung trực của đoạn thẳng AB
C Mặt phẳng vuông góc với AB tại A
D Đường thẳng qua A và vuông góc với AB
Lời giải:
Đáp án: A
Giải thích:
Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực
Câu 19: Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian Tìm mệnh đề sai trong
các mệnh đề sau
A Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c
Trang 18B Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b
Nếu thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a
Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC Biết SB = a Tính
số đo của góc giữa SA và (ABC)
Trang 19Gọi H là trung điểm của BC suy ra
AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2
Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu
vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC Biết tam giác SBC là tam giác đều Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)
Trang 20⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH
Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°
Chọn C
Câu 22: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông
Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC Số đo góc tạo bởi SC
Trang 21Câu 23: Cho hình hộp ABDC.A1B1C1D1 Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Trang 22Câu 24: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức đúng là
Lời giải:
Đáp án: D
Giải thích:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên:
Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c Độ
dài đường chéo AC' là
Lời giải:
Đáp án: A
Trang 23Giải thích:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:
B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:
Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật
Câu 26: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO
= a√3/3 Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng
Lời giải:
Đáp án: B
Giải thích:
Trang 24Chọn B
Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao
⇒ O là tâm của tam giác ABC
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC
Tam giác ABC đều nên
Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH
Xét tam giác SAO vuông tại O:
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật
với AC = a√5 và BC = a√2 Tính khoảng cách giữa SD và BC