Câu 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √ 2 2, AD = 1 Tính góc giữa hai vectơ −−→ACAC→ và −−→BDBD→ A 89°; B 92°; C 109°; D 91° Đáp án C Tam giác ACD vuông tại D cosˆCAD=ADACcosCAD^=ADAC Tam giác ABC vuôn[.]
Trang 1Câu 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √ 2 2, AD = 1 Tính góc
giữa hai vectơ −−→ACAC→ và −−→BDBD→
A 89°;
B 92°;
C 109°;
D 91°
Đáp án: C
Tam giác ACD vuông tại D: cosˆCAD=ADACcosCAD^=ADAC Tam giác ABC vuông tại B: cosˆCAB=ABACcosCAB^=ABAC
Ta
có −−→AC.−−→BD=−−→AC.(−−→AD−−−→AB)=−−→AC.−−→AD−−−→A C.−−→ABAC→.BD→=AC→.AD→−AB→=AC→.AD→−AC→.AB
→
=AC.AD.cosˆCAD−AC.AB.cosˆCAB=AC.AD.cosCAD^−AC.AB.c osCAB^
=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC
Trang 2= AD2 – AB2 = 1 – 2 = –1
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = √ 2 2 và AC = BD Tam giác ACD vuông tại D: AC2 = AD2 + CD2 (Định lý Pytago)
⇔AC2=12+(√ 2 )2=3⇔AC2=12+22=3
⇒AC=√ 3⇒AC=3
Do đó BD = AC = √ 3 3
Lại
có: −−→AC.−−→BD=AC.BD.cos(−−→AC,−−→BD)AC→.BD→=AC.B D.cosAC→,BD→
⇔−1=√ 3 √ 3 cos(−−→AC,−−→BD)⇔−1=3.3.cosAC→,BD→
⇔cos(−−→AC,−−→BD)=−13⇔cosAC→,BD→=−13
⇒(−−→AC,−−→BD)≈109°28′⇒AC→,BD→≈109°28'
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 2 Cho tam giác đều ABC có đường cao AH
Tính (−−→AH,−−→BA)AH→,BA→
A 30°;
B 60°;
C 120°;
D 150°
Đáp án: D
Trang 3Vẽ −−→AE=−−→BAAE→=BA→
có (−−→AH,−−→BA)=(−−→AH,−−→AE)=ˆHAE=αAH→,BA→=AH→, AE→=HAE^=α
Tam giác ABC đều có AH là đường cao
Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC
Tam giác ABC đều, suy ra ˆBAC=60°BAC^=60°
Do đó ˆHAB=12ˆBAC=12.60°=30°HAB^=12BAC^=12.60°=30°
Ta có: ˆHAE+ˆHAB=180°HAE^+HAB^=180° (hai góc kề bù)
⇔ˆHAE=180°−30°=150°⇔HAE^=180°−30°=150°
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 3 Cho →aa→ và →bb→ là hai vectơ cùng hướng và đều
khác →00→ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A →a.→b=(→a).(→b)a→.b→=a→.b→;
B →a.→b=0a→.b→=0;
C →a.→b=−1a→.b→=−1;
D →a.→b=−(→a).(→b)a→.b→=−a→.b→
Trang 4Đáp án: A
Ta
có →a.→b=(→a).(→b).cos(→a,→b)a→.b→=a→.b→.cosa→,b→
Vì →aa→ và →bb→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác →00→ nên (→a,→b)=0°a→,b→=0°, suy
ra cos(→a,→b)=1cosa→,b→=1
Ta suy ra →a.→b=(→a).(→b)a→.b→=a→.b→
Vậy ta chọn đáp án A
Câu 4 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần và
hướng (−−→OA+−−→OB).−−→AB=0OA→+OB→.AB→=0 là:
A Tam giác OAB đều;
B Tam giác OAB cân tại O;
C Tam giác OAB vuông tại O;
D Tam giác OAB vuông cân tại O
Đáp án: B
Ta
có (−−→OA+−−→OB).−−→AB=0⇔(−−→OA+−−→OB).(−−→OB−−−→O A)=0OA→+OB→.AB→=0⇔OA→+OB→.OB→−OA→=0
⇔−−→OB2−−−→OA2=0⇔OB→2−OA→2=0
⇔ OB2 – OA2 = 0
Trang 5⇔ OB = OA
Do đó tam giác OAB cân tại O
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 5 Cho hai vectơ →aa→ và →bb→ thỏa mãn (→a)=3a→=3, (→b)=2b→=2 và →a.→b=−3a→.b→=−3 Xác định góc α giữa hai vectơ →aa→ và →bb→
A α = 30°;
B α = 45°;
C α = 60°;
D α = 120°
Đáp án: D
Ta
có →a.→b=(→a).(→b).cos(→a,→b)a→.b→=a→.b→.cosa→,b→
⇔cos(→a,→b)=→a.→b(→a).(→b)=−33.2=−12⇔cosa→,b→=a
→.b→a→.b→=−33.2=−12
⇒(→a,→b)=120°⇒a→,b→=120°
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 6 Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau,
hệ thức nào sai?
A −−−→MN(−−→NP+−−→PQ)=−−−→MN.−−→NP+−−−→MN.−−→PQMN
→NP→+PQ→=MN→.NP→+MN→.PQ→;
Trang 6B −−→MP.−−−→MN=−−−−→MN.−−→MPMP→.MN→=−MN→.MP→;
C −−−→MN.−−→PQ=−−→PQ.−−−→MNMN→.PQ→=PQ→.MN→;
D (−−−→MN−−−→PQ)(−−−→MN+−−→PQ)=MN2−PQ2MN→−PQ→M N→+PQ→=MN2−PQ2
Đáp án: B
Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng
lại: −−→MP.−−−→MN=−−−→MN.−−→MPMP→.MN→=MN→.MP→ Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức
Câu 7 Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm
Tính −−→CA.−−→CBCA→.CB→
A −−→CA.−−→CBCA→.CB→ = 13;
B −−→CA.−−→CBCA→.CB→ = 15;
C −−→CA.−−→CBCA→.CB→ = 17;
D −−→CA.−−→CBCA→.CB→ = 19
Đáp án: B
Ta có 2 + 3 = 5 (cm) Ta suy ra AB + BC = AC
Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm
A và C
Trang 7(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
đó (−−→CA,−−→CB)=ˆACB=0°CA→,CB→=ACB^=0°
Khi
đó −−→CA.−−→CB=CA.CB.cos(−−→CA,−−→CB)=3.5.cos0°=15CA
→.CB→=CA.CB.cosCA→,CB→=3.5.cos0°=15
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 8 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính P=−−→AC.(−−→CD+−−→CA)P=AC→.CD→+CA→
A P = – 1;
B P = 3a2;
C P = – 3a2;
D P = 2a2
Đáp án: C
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pytago)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒AC=a√ 2⇒AC=a2
Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên ˆACD=45°ACD^=45°
Ta
có P=−−→AC.(−−→CD+−−→CA)=−−−→CA.(−−→CD+−−→CA)=−−−→C
Trang 8A.−−→CD−−−→CA2P=AC→.CD→+CA→=−CA→.CD→+CA→=− CA→.CD→−CA→2
=−CA.CD.cos(−−→CA,−−→CD)−CA2=−a√ 2 a.cos45°−2a2=−3a2
=−CA.CD.cosCA→,CD→−CA2=−a2.a.cos45°−2a2=−3a2
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 9 Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng (−−→AB,−−→DC)+(−−→AD,−−→CB)+(−−→CO,−−→DC)AB→,DC
→+AD→,CB→+CO→,DC→
A 45°;
B 405°;
C 315°;
D 225°
Đáp án: C
Ta có −−→AB,−−→DCAB→,DC→ cùng hướng nên (−−→AB,−−→DC)=0°AB→,DC→=0°
Trang 9Ta có −−→AD,−−→CBAD→,CB→ ngược hướng nên (−−→AD,−−→CB)=180°AD→,CB→=180°
Vẽ −−→CE=−−→DCCE→=DC→ Khi đó ta
có (−−→CO,−−→DC)=(−−→CO,−−→CE)=ˆOCECO→,DC→=CO→,C E→=OCỆ
Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên ˆOCB=45°OCB^=45°
Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra BC ⊥ CE, do đó ˆBCE=90°BCÊ=90°
Ta
có ˆOCE=ˆOCB+ˆBCE=45°+90°=135°OCÊ=OCB^+BCÊ=45°+ 90°=135°
Vậy (−−→AB,−−→DC)+(−−→AD,−−→CB)+(−−→CO,−−→DC)=0°+180° +135°=315°AB→,DC→+AD→,CB→+CO→,DC→=0°+180°+135
°=315°
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 10 Cho tam giác đều ABC có cạnh ạ Tính tích vô
hướng −−→AB.−−→ACAB→.AC→
Ạ −−→AB.−−→AC=2a2AB→.AC→=2a2;
B −−→AB.−−→AC=−a2√ 3 2AB→.AC→=−a232;
C −−→AB.−−→AC=−a22AB→.AC→=−a22;
D −−→AB.−−→AC=a22AB→.AC→=a22
Đáp án: D
Ta có (−−→AB,−−→AC)=ˆBAC=ˆAAB→,AC→=BAC^=Ậ
Tam giác ABC đều nên ˆA=60°Â=60°
Do đó (−−→AB,−−→AC)=ˆA=60°AB→,AC→=Â=60°
Trang 10Suy
ra −−→AB.−−→AC=AB.AC.cos(−−→AB,−−→AC)=a.a.cos60°=a22AB
→.AC→=AB.AC.cosAB→,AC→=a.a.cos60°=a22
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 11.Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c
Tính P=(−−→AB+−−→AC).−−→BCP=AB→+AC→.BC→
A P = b2 – c2;
B P=b2+c22P=b2+c22;
C P=c2+b2+a23P=c2+b2+a23;
D P=c2+b2−a22P=c2+b2−a22
Đáp án: A
Ta
có P=(−−→AB+−−→AC).−−→BC=(−−→AB+−−→AC)(−−→BA+−−→AC)P
=AB→+AC→.BC→=AB→+AC→BA→+AC→
=(−−→AC+−−→AB)(−−→AC−−−→AB)=−−→AC2−−−→AB2=AC2−AB2
=b2−c2=AC→+AB→AC→−AB→=AC→2−AB→2=AC2−AB2=b2
−c2
Vậy ta chọn đáp án A
Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5
Tính −−→AB.−−→BDAB→.BD→
A −−→AB.−−→BDAB→.BD→ = 62;
B −−→AB.−−→BDAB→.BD→ = 64;
C −−→AB.−−→BDAB→.BD→ = –62;
D −−→AB.−−→BDAB→.BD→ = –64
Trang 11Đáp án: D
Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ −−→AB,−−→BDAB→,BD→ theo các vectơ vuông góc với nhau
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC
Suy ra −−→AB⊥−−→BCAB→⊥BC→
Do đó −−→AB.−−→BC=0AB→.BC→=0
Theo quy tắc hình bình hành ta có: −−→BD=−−→BA+−−→BCBD→=BA→+BC→
Ta
có −−→AB.−−→BD=−−→AB.(−−→BA+−−→BC)=−−→AB.−−→BA+−−→A B.−−→BCAB→.BD→=AB→.BA→+BC→=AB→.BA→+AB→.BC→
=−−−→AB.−−→AB+0=−−−→AB2=−AB2=−64=−AB→.AB→+0=−AB
→2=−AB2=−64
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 13 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa
mãn −−→MA.−−→BC=0MA→.BC→=0 là:
A một điểm;
B đường thẳng;
C đoạn thẳng;
D đường tròn
Đáp án: B
Trang 12Ta
có −−→MA.−−→BC=0⇔−−→MA⊥−−→BC⇔MA⊥BCMA→.BC→=0
⇔MA→⊥BC→⇔MA⊥BC
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a
Tính −−→AB.−−→BCAB→.BC→
A −−→AB.−−→BC=−a2AB→.BC→=−a2;
B −−→AB.−−→BC=a2AB→.BC→=a2;
C −−→AB.−−→BC=−a2√ 2 2AB→.BC→=−a222>;
D −−→AB.−−→BC=a2√ 2 2AB→.BC→=a222
Đáp án: A
Vẽ −−→BD=−−→ABBD→=AB→
Trang 13Ta
có (−−→AB,−−→BC)=(−−→BD,−−→BC)=ˆCBDAB→,BC→=BD→,BC
→=CBD^
Tam giác ABC vuông cân tại A Ta suy ra ˆABC=45°ABC^=45°
Ta có ˆABC+ˆCBD=180°ABC^+CBD^=180° (hai góc kề bù) Khi đó ta được ˆCBD=180°−45°=135°CBD^=180°−45°=135° Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago)
⇔ BC2 = 2a2
⇒BC=a√ 2⇒BC=a2
Do
đó −−→AB.−−→BC=AB.BC.cos(−−→AB,−−→BC)=a.a√ 2 cos135°=− a2AB→.BC→=AB.BC.cosAB→,BC→=a.a2.cos135°=−a2
Vậy ta chọn đáp án A
Câu 15 Cho tam giác ABC Tập hợp các điểm M thỏa
mãn −−→MA(−−→MB+−−→MC)=0MA→MB→+MC→=0 là:
A một điểm;
B đường thẳng;
C đoạn thẳng;
D đường tròn
Đáp án: D
Gọi I là trung điểm BC Ta suy
ra −−→MB+−−→MC=2−−→MIMB→+MC→=2MI→
Trang 14Ta
có −−→MA(−−→MB+−−→MC)=0⇔−−→MA.2−−→MI=0⇔−−→MA.−−
→MI=0⇔−−→MA⊥−−→MIMA→MB→+MC→=0⇔MA→.2MI→=0
⇔MA→.MI→=0⇔MA→⊥MI→ (*)
Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông
Do đó tập hợp các điểm M là một đường tròn đường kính AI Vậy ta chọn đáp án D