Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 Tính độ dài −−→CB+−−→ABCB→+AB→ A √ 13 13; B 2√ 13 213; C 2√ 3 23; D √ 3 3 Đáp án B Gọi M là trung điểm AC, ta suy ra −−→MA+−−→MC=→0MA→+MC→=0→ ⇔−−−→[.]
Trang 1Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4
Tính độ dài −−→CB+−−→ABCB→+AB→
A √ 13 13;
B 2√ 13 213;
C 2√ 3 23;
D √ 3 3
Đáp án: B
Gọi M là trung điểm AC, ta suy
ra −−→MA+−−→MC=→0MA→+MC→=0→
⇔−−−→AM−−−→CM=→0⇔−AM→−CM→=0→
⇔−(−−→AM+−−→CM)=→0⇔−AM→+CM→=0→
⇔−−→AM+−−→CM=→0⇔AM→+CM→=0→
Ta
có −−→CB+−−→AB=−−→CM+−−→MB+−−→AM+−−→MB=(−−→ AM+−−→CM)+2−−→MB=→0+2−−→MB=2−−→MBCB→+AB
→=CM→+MB→+AM→+MB→=AM→+CM→+2MB→=0→+ 2MB→=2MB→
Trang 2Vì M là trung điểm AC nên AM = AC2AC2 = 2
Tam giác ABM vuông tại A: BM2 = AB2 + AM2 (Định lý Pytago)
⇔ BM2 = 32 + 22 = 13
⇒BM=√ 13⇒BM=13
ra (−−→CB+−−→AB)=(2−−→MB)=2.MB=2√ 13 CB→+AB→=2 MB→=2.MB=213
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 2 Cho →a≠→0a→≠0→ và điểm O Gọi M, N lần lượt
mãn −−→OM=3→aOM→=3a→ và −−→ON=−4→aON→=−4 a→ Tìm −−−→MNMN→
A −−−→MN=7→aMN→=7a→;
B −−−→MN=−5→aMN→=−5a→;
C −−−→MN=−7→aMN→=−7a→;
D −−−→MN=−5→aMN→=−5a→
Đáp án: C
Câu 3 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi các điểm D,
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A −−→AG=12−−→AE+12−−→AFAG→=12AE→+12AF→;
B −−→AG=13−−→AE+13−−→AFAG→=13AE→+13AF→;
C −−→AG=32−−→AE+32−−→AFAG→=32AE→+32AF→;
Trang 3D −−→AG=23−−→AE+23−−→AFAG→=23AE→+23AF→
Đáp án: D
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta
có −−→AG=23−−→ADAG→=23AD→
Tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, suy
ra 2−−→AD=−−→AB+−−→AC2AD→=AB→+AC→
Ta có E, F lần lượt là trung điểm AC, AB
Suy
ra −−→AC=2−−→AEAC→=2AE→ và −−→AB=2−−→AFAB→=2 AF→
có −−→AG=23−−→AD=13(−−→AB+−−→AC)=13(2−−→AF+2−−→ AE)=23−−→AE+23−−→AFAG→=23AD→=13AB→+AC→=13 2AF→+2AE→=23AE→+23AF→
Vậy ta chọn đáp án D
Trang 4Câu 4 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu −−→AB=−3−−→ACAB→=−3AC→ thì đẳng thức nào dưới đây đúng?
A −−→BC=−4−−→ACBC→=−4AC→;
B −−→BC=−2−−→ACBC→=−2AC→;
C −−→BC=2−−→ACBC→=2AC→;
D −−→BC=4−−→ACBC→=4AC→
Đáp án: D
Từ đẳng thức −−→AB=−3−−→ACAB→=−3AC→, ta suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng
Vì k = – 3 < 0 nên −−→ABAB→ và −−→ACAC→ ngược hướng Do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Ta có −−→AB=−3−−→ACAB→=−3AC→, suy
ra (−−→AB)=(−3−−→AC)AB→=−3AC→, do đó AB = 3AC Suy ra BC = AB + AC = 3AC + AC = 4AC
Mà −−→BC,−−→ACBC→,AC→ cùng hướng
Do đó ta suy ra −−→BC=4−−→ACBC→=4AC→
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 5 Cho hình bình hành ABCD tâm O Mệnh đề nào sau
đây là sai?
A −−→AB+−−→AD=−−→ACAB→+AD→=AC→;
B −−→OA=12(−−→BA+−−→CB)OA→=12BA→+CB→
Trang 5C −−→OA+−−→OB=−−→OC+−−→ODOA→+OB→=OC→+OD
→;
D −−→OA+−−→OB=−−→DAOA→+OB→=DA→
Đáp án: C
Ta xét từng đáp án:
Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta
có −−→AB+−−→AD=−−→ACAB→+AD→=AC→ ⇒ A đúng Đáp án B: Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm AC
Ta suy ra OA=12CAOA=12CA
Mà −−→OA,−−→CAOA→,CA→ cùng hướng
Do
đó −−→OA=12−−→CA=12(−−→CB+−−→BA)OA→=12CA→=12 CB→+BA→ ⇒ B đúng
Đáp án C: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
Trang 6Ta
có −−→OA+−−→OB=2−→OIOA→+OB→=2OI→ và −−→OC+−−
→OD=2−→OJOC→+OD→=2OJ→
Mà −→OI,−→OJOI→,OJ→ là hai vectơ đối nhau
Do đó 2−→OI≠2−→OJ2OI→≠2OJ→
Suy
ra −−→OA+−−→OB≠−−→OC+−−→ODOA→+OB→≠OC→+OD
→ ⇒ C sai
Đáp án D: Ta có OI là đường trung bình của tam giác ABD Suy ra −→OI=12−−→DAOI→=12DA→
Ta
có −−→OA+−−→OB=2−→OI=2.12−−→DA=−−→DAOA→+OB→
=2OI→=2.12DA→=DA→ ⇒ D đúng
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 6.Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm AB Tìm điểm
thức −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0MA→+MB→+2MC→= 0→
A M là trung điểm BC;
B M là trung điểm IC;
C M là trung điểm IA;
D M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC
Đáp án: B
Trang 7Ta
có −−→MA+−−→MB+2−−→MC=→0⇔2−−→MI+2−−→MC=→0
⇔2(−−→MI+−−→MC)=→0⇔−−→MI+−−→MC=→0MA→+MB
→+2MC→=0→⇔2MI→+2MC→=0→⇔2MI→+MC→=0→
⇔MI→+MC→=0→
Do đó ta suy ra M là trung điểm IC
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 7 Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa
mãn 4−−→AM=−−→AB+−−→AD+−−→AC4AM→=AB→+AD→+ AC→ Xác định vị trí điểm M
A M là trung điểm AC;
B Điểm M trùng với điểm C;
C M là trung điểm AB;
D M là trung điểm AD
Đáp án: A
Trang 8Theo quy tắc hình bình hành, ta
có −−→AB+−−→AD=−−→ACAB→+AD→=AC→
Ta
có 4−−→AM=−−→AB+−−→AD+−−→AC4AM→=AB→+AD→+A C→
⇔4−−→AM=2−−→AC⇔4AM→=2AC→
⇔−−→AM=12−−→AC⇔AM→=12AC→
Suy ra M là trung điểm AC
Vậy ta chọn đáp án A
Câu 8 Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính độ
dài −−→AB+−−→ACAB→+AC→
A (−−→AB+−−→AC)=a√ 3 AB→+AC→=a3;
B (−−→AB+−−→AC)=a√ 3 2AB→+AC→=a32;
C (−−→AB+−−→AC)=2aAB→+AC→=2a;
D Đáp án khác
Đáp án: A
Trang 9Gọi H là trung điểm BC Ta suy ra BH = BC2=a2BC2=a2
Vì H là trung điểm BC nên ta
có −−→AB+−−→AC=2−−→AHAB→+AC→=2AH→
Do
đó (−−→AB+−−→AC)=(2−−→AH)=2AHAB→+AC→=2AH→=2
AH
Tam giác ABC đều có AH là đường trung tuyến
Suy ra AH cũng là đường cao của tam giác ABC
H: AH2=AB2−BH2AH2=AB2−BH2 (Định lý Pytago)
⇔AH2=a2−a24=3a24⇔AH2=a2−a24=3a24
⇒AH=a√ 3 2⇒AH=a32
Suy
ra (−−→AB+−−→AC)=2AH=2.a√ 3 2=a√ 3 AB→+AC→=2AH=2 a32=a3
Vậy ta chọn đáp án A
Trang 10Câu 9 Cho tam giác ABC có điểm O thỏa
mãn (−−→OA+−−→OB−2−−→OC)=(−−→OA−−−→OB)OA→+OB
→−2OC→=OA→−OB→ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Tam giác ABC đều;
B Tam giác ABC cân tại C;
C Tam giác ABC vuông tại C;
D Tam giác ABC cân tại B
Đáp án: C
Gọi I là trung điểm AB Ta suy
ra −−→CA+−−→CB=2−→CICA→+CB→=2CI→
Ta
có (−−→OA+−−→OB−2−−→OC)=(−−→OA−−−→OB)OA→+OB→
−2OC→=OA→−OB→
⇔(−−→OA−−−→OC+−−→OB−−−→OC)=(−−→BA)⇔OA→−OC
→+OB→−OC→=BA→
⇔(−−→CA+−−→CB)=BA⇔CA→+CB→=BA
Trang 11⇔(2−→CI)=AB⇔2CI→=AB
⇔ 2.CI = AB
⇔CI=12AB⇔CI=12AB
Do đó tam giác ABC vuông tại C (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền)
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 10 Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý
Cho →v=−−→MA+−−→MB−2−−→MCv→=MA→+MB→−2MC
→ Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho −−→CD=→vCD→=v→
A D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD;
B D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD;
C D là trọng tâm của tam giác ABC;
D D là trực tâm của tam giác ABC
Đáp án: B
Ta
có →v=−−→MA+−−→MB−2−−→MC=−−→MA−−−→MC+−−→M B−−−→MC=−−→CA+−−→CB=2−→CIv→=MA→+MB→−2MC
→=MA→−MC→+MB→−MC→=CA→+CB→=2CI→ (với I là trung điểm AB)
Do đó →vv→ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
Khi đó −−→CD=→v=2−→CICD→=v→=2CI→
Trang 12Suy ra I là trung điểm CD
Vậy D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 11.Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC và N là
trung điểm AM Đường thẳng BN cắt AC tại P Khi
đó −−→AC=x−−→CPAC→=xCP→ thì giá trị của x là:
A −43−43;
B −23−23;
C −32−32;
D −53−53
Đáp án: C
Kẻ MK // BP (K ∈ AC) Do M là trung điểm BC nên ta suy ra
K là trung điểm CP (1)
Trang 13Vì MK // NP, mà N là trung điểm AM nên ta suy ra P là trung điểm AK (2)
Từ (1), (2) ta suy ra AP = PK = KC
Do đó AP = 1212CP
Ta có AC = AP + CP
Suy ra AC = 3232CP
Vì −−→AC,−−→CPAC→,CP→ ngược hướng với nhau
Nên −−→AC=−32−−→CPAC→=−32CP→
Do đó x = −32−32
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 12 Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA = OB =
của →u=214−−→OA−52−−→OBu→=214OA→−52OB→ là:
A a√ 140 4a1404;
B a√ 321 4a3214;
C a√ 520 4a5204;
D a√ 541 4a5414
Đáp án: D
Trang 14Dựng điểm M, N sao cho −−→OM=214−−→OAOM→=214OA→ và −−→ON=52−−→ OBON→=52OB→ Khi đó ta có:
(→u)=(214−−→OA−52−−→OB)=(−−→OM−−−→ON)=(−−−→NM)
=MNu→=214OA→−52OB→=OM→−ON→=NM→=MN
Từ dữ kiện −−→OM=214−−→OAOM→=214OA→
Ta suy ra −−→OMOM→ cùng phương với −−→OAOA→
Vì −−→OM,−−→OAOM→,OA→ có cùng điểm đầu là O Nên giá của −−→OM,−−→OAOM→,OA→ trùng nhau
Do đó ta có OM ≡ OA
Tương tự ta có ON ≡ OB
Mà OA ⊥ OB (tam giác OAB vuông cân tại O)
Do đó OM ⊥ ON
Ta
có −−→OM=214−−→OA⇔(−−→OM)=(214−−→OA)⇔OM=214 OA=21a4OM→=214OA→⇔OM→=214OA→⇔OM=214O A=21a4
Trang 15Tương tự, ta
có −−→ON=52−−→OB⇔(−−→ON)=(52−−→OB)⇔ON=52OB= 5a2ON→=52OB→⇔ON→=52OB→⇔ON=52OB=5a2 Tam giác OMN vuông tại O: MN2 = OM2 + ON2 (Định lý Pytago)
⇔MN2=441a216+25a24=541a216⇔MN2=441a216+25a2 4=541a216
⇒MN=a√ 541 4⇒MN=a5414
Vậy ta chọn đáp án D
Câu 13 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Biểu
diễn −−→AGAG→ theo hai vectơ −−→AB,−−→ACAB→,AC→
A −−→AG=13(−−→AB+−−→AC)AG→=13AB→+AC→;
B −−→AG=16(−−→AB+−−→AC)AG→=16AB→+AC→;
C −−→AG=16(−−→AB−−−→AC)AG→=16AB→−AC→;
D −−→AG=13(−−→AB−−−→AC)AG→=13AB→−AC→
Trang 16Gọi I là trung điểm BC Ta suy
ra 2−→AI=−−→AB+−−→AC2AI→=AB→+AC→
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên AG=23AIAG=23AI
Mà −−→AG,−→AIAG→,AI→ cùng hướng
Do đó −−→AG=23−→AIAG→=23AI→
Suy ra −−→AG=13(−−→AB+−−→AC)AG→=13AB→+AC→ Vậy ta chọn đáp án A
Câu 14 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm
AB, CD Khi đó −−→AC+−−→BDAC→+BD→ bằng
A −−−→MNMN→;
B 2−−−→MN2MN→;
C 3−−−→MN3MN→;
D −2−−−→MN−2MN→
Đáp án: B
nên −−→MA+−−→MB=→0⇔−(−−→AM+−−→BM)=→0⇔−−→ AM+−−→BM=→0MA→+MB→=0→⇔−AM→+BM→=0→⇔ AM→+BM→=0→
Trang 17Vì N là trung điểm CD nên −−→NC+−−→ND=→0NC→+ND→=0→
có −−→AC+−−→BD=−−→AM+−−−→MN+−−→NC+−−→BM+−−−→ MN+−−→NDAC→+BD→=AM→+MN→+NC→+BM→+MN→ +ND→
Suy
ra −−→AC+−−→BD=(−−→AM+−−→BM)+(−−→NC+−−→ND)+2−−−
→MN=→0+→0+2−−−→MN=2−−−→MNAC→+BD→=AM→+B M→+NC→+ND→+2MN→=0→+0→+2MN→=2MN→
Vậy ta chọn đáp án B
Câu 15 Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ
Khẳng định nào sau đây đúng?
A −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=−−→MOMA→+MB→ +MC→+MD→=MO→;
B −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=2−−→MOMA→+MB
→+MC→+MD→=2MO→;
C −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=3−−→MOMA→+MB
→+MC→+MD→=3MO→;
D −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=4−−→MOMA→+MB
→+MC→+MD→=4MO→
Đáp án: D
Trang 18Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD
Vì O là trung điểm AC và M là điểm tùy
ý nên −−→MA+−−→MC=2−−→MOMA→+MC→=2MO→ (1)
Vì O là trung điểm BD và M là điểm tùy
ý nên −−→MB+−−→MD=2−−→MOMB→+MD→=2MO→ (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được: −−→MA+−−→MB+−−→MC+−−→MD=4−−→MOMA→+ MB→+MC→+MD→=4MO→
Vậy ta chọn đáp án D