15 cau trac nghiem dinh li cosin va dinh li sin chan troi sang tao co dap an toan 10

Câu 1 Tam giác ABC có B C=5√ 5 ,AC=5√ 2 ,AB=5BC=55,AC=52,AB=5 Số đo góc ˆAA^ là A 30°; B 45°; C 120°; D 135° Đáp án D Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có cosA=AB2+AC2−BC22 AB AC=52+([.]

Câu 1 Tam giác ABC có B

C=5√ 5 ,AC=5√ 2 ,AB=5BC=55,AC=52,AB=5 Số đo góc ˆAA^ là:

A 30°;

B 45°;

C 120°;

D 135°

Đáp án: D

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=52+(5√ 2 )2−(5√ 5 )22.5.5√ 2 =−√ 2 2c osA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=52+522−5522.5.52=−22

⇒ˆA=135°.⇒A^=135°

Vậy ˆA=135°.A^=135°

Câu 2 Tam giác ABC có ˆA=105°,ˆB=45°A^=105°,B^=45°, AC = 10

Độ dài cạnh AB là:

A 5√ 6 2;562;

B 5√ 2 ;52;

C 5√ 6 ;56;

D 10√ 2 102

Đáp án: B

Xét tam giác ABC có ˆA=105°,ˆB=45°A^=105°,B^=45° ta có:

ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆC=180°−ˆA−ˆB⇒C^=180°−A^−B^

⇒ˆC=180°−105°−45°=30°⇒C^=180°−105°−45°=30°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta

có: ACsinB=ABsinCACsinB=ABsinC

⇒10sin45°=ABsin30°⇒AB=10.sin30°sin45°=5√ 2 ⇒10sin45°=ABsin3 0°⇒AB=10.sin30°sin45°=52

Vậy AB=5√ 2 AB=52

Câu 3 Tam giác ABC có AC=3√ 3 ,AC=33, AB = 3, BC = 6 Số đo góc

B là:

A 30°;

B 45°;

C 60°;

D 120°

Đáp án: C

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=32+62−(3√ 3 )22.3.6=12cosB=AB2+B C2−AC22.AB.BC=32+62−3322.3.6=12

⇒ˆB=60°.⇒B^=60°

Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, AB =

R, AC=R√ 2 AC=R2 Tính số đo của ˆAA^ biết ˆAA^ là góc tù

A 105°;

B 120°;

C 135°;

D 150°

Đáp án: A

Trong tam giác ABC có ˆAA^ là góc tù nên ˆB,ˆCB^,C^ là góc nhọn

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta

có: ACsinB=ABsinC=2RACsinB=ABsinC=2R

⇒R√ 2 sinB=RsinC=2R⇒R2sinB=RsinC=2R

⇒⎛⎝sinB=R√ 2 2R=√ 2 2sinC=R2R=12⎞⎠⇒(ˆB=45°ˆC=30°)⇒sinB=R 22R=22sinC=R2R=12⇒B^=45°C^=30°(vì là góc nhọn)

Xét tam giác ABC có ˆB=45°,ˆC=30°B^=45°,C^=30° ta có:

ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180°(định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆA=180°−ˆB−ˆC⇒A^=180°−B^−C^

⇒ˆA=180°−45°−35°=105°⇒A^=180°−45°−35°=105°

Vậy ˆA=105°.A^=105°

Câu 5 Tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là: 2, 3, 4 Góc nhỏ nhất

của tam giác có côsin bằng bao nhiêu?

A √ 15 8;158;

B 78;78;

C 12;12;

D √ 14 8.148

Đáp án: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4 Khi đó góc nhỏ nhất

là góc C ứng với cạnh đối diện AB

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosC=AC2+BC2−AB22.AC.BC=32+42−222.3.4=78.cosC=AC2+BC2− AB22.AC.BC=32+42−222.3.4=78

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng

Câu 6 Diện tích của tam giác ABC với ˆA=60°,A^=60°,AB = 20, AC =

10 là:

A 50;

B 50√ 2 ;502;

C 50√ 3 ;503;

D 50√ 5 ;505;

Đáp án: C

Diện tích tam giác ABC là:

S=12.AB.AC.sinA=12.20.10.sin60°=50√ 3 S=12.AB.AC.sinA=12.20.10 sin60°=503(đơn vị diện tích)

Vậy S=50√ 3 S=503(đơn vị diện tích)

Câu 7 Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là √ 3 ,√ 2 3,2 và 1 là:

A √ 2 2;22;

B √ 3 ;3;

C √ 6 2;62;

D √ 3 2.32

Đáp án: A

Nửa chu vi tam giác có độ dài ba cạnh √ 3 ,√ 2 3,2, 1

là: p=√ 3 +√ 2 +12p=3+2+12

Diện tích tam giác theo công thức Heron

là: S=√ p.(p−√ 3 ).(p−√ 2 ).(p−1) =√ 2 2S=p.p−3.p−2.p−1=22 Vậy S=√ 2 2.S=22

Câu 8 Nếu tam giác ABC có BC2 < AB2 + AC2 thì:

A ˆAA^ là góc nhọn;

B ˆAA^ là góc vuông;

C ˆAA^ là góc tù;

D Không đưa ra được kết luận nào

Đáp án: A

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.ACcosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC Nếu BC2 < AB2 + AC2 thì AB2 + AC2 ‒ BC2 > 0

Do đó AB2+AC2−BC22.AB.AC>0AB2+AC2−BC22.AB.AC>0 hay cosA > 0

Mà 0°<ˆA<180°0°<A^<180°

=> Góc là góc nhọn

Câu 9 Tam giác ABC có ˆB+ˆC=135°B^+C^=135° và BC = a Tính

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A a√ 3 ;a3;

B a√ 2 ;a2;

C a√ 3 2;a32;

D a√ 2 2.a22

Đáp án: D

Xét tam giác ABC có ˆB+ˆC=135°B^+C^=135° ta có:

ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

⇒ˆA=180°−(ˆB+ˆC)⇒A^=180°−B^+C^

⇒ˆA=180°−135°=45°⇒A^=180°−135°=45°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: BCsinA=2RBCsinA=2R

⇒R=BC2.sinA=a2.sin45°=a2.√ 2 2=a√ 2 =a√ 2 2⇒R=BC2.sinA=a2.sin 45°=a2.22=a2=a22

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

là: R=a√ 2 2.R=a22

Câu 10 Tam giác ABC có AB = 10, AC = 24, diện tích bằng 120 Độ

dài đường trung tuyến AM là:

A 7√ 3 ;73;

B 13;

C 11√ 2 ;112;

D 26

Đáp án: B

Diện tích tam giác ABC là: S=12.AB.AC.sinAS=12.AB.AC.sinA

⇒sinA=2SAB.AC=2.12010.24=1⇒sinA=2SAB.AC=2.12010.24=1

Mà 0°<ˆA<180°0°<A^<180°

⇒ˆA=90°⇒A^=90°

⇒⇒ DABC vuông tại A

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 Þ BC2 = 102 + 242 = 676

⇒⇒ BC = 26

Do đó trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC có độ dài

là: AM=12BC=12.26=13.AM=12BC=12.26=13

Vậy độ dài đường trung tuyến AM bằng 13

Câu 11 Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm Hai đường

trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G Diện tích tam giác GEC là:

A 50√ 2 502 cm2;

B 50 cm2;

C 75 cm2;

D 15√ 105 15105 cm2

Đáp án: C

Vì BE là trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AC

Do đó EC=12.AC=12.30=15(cm)EC=12.AC=12.30=15cm

Hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó GE=13BEGE=13BE(tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay GEBE=13.GEBE=13

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ G xuống AC

Suy ra GH // AB

Do đó GHBA=GEBEGHBA=GEBE(định lí Ta – let trong tam giác ABE)

Hay GHBA=13⇒GH=13.BA=13.30=10(cm)GHBA=13⇒GH=13.BA=13 30=10cm

Diện tích tam giác GEC

là: SGEC=12.GH.EC=12.10.15=75(cm2)SGEC=12.GH.EC=12.10.15= 75cm2

Vậy diện tích tam giác GEC là 75 cm2

Câu 12 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có ba cạnh lần lượt là

5, 12, 13 là:

A √ 2 ;2;

B √ 3 ;3;

C 2;

D 2√ 2 22

Đáp án: C

Xét tam giác có độ dài ba cạnh là 5, 12, 13 ta có: 52 + 122 = 169 và

132 = 169

Do đó 52 + 122 = 132 nên tam giác này là tam giác vuông (định lí Py –

ta – go đảo)

Diện tích tam giác này là: S=12.5.12=30S=12.5.12=30(đơn vị diện tích)

Nửa chu vi tam giác này là: p=5+12+132=15p=5+12+132=15

Mặt khác S = pr ⇒r=Sp=3015=2.⇒r=Sp=3015=2

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2

Câu 13 Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S

Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A 2S;

B 3S;

C 4S;

D 6S

Đáp án: D

Ta có diện tích ban đầu của tam giác ABC

là: S=12.BC.AC.sinCS=12.BC.AC.sinC

Diện tích của tam giác mới sau khi thay đổi kích thước là:

S′=12.2BC.3AC.sinC=6.(12.BC.AC.sinC)=6SS'=12.2BC.3AC.sinC=6.1 2.BC.AC.sinC=6S

Vậy diện tích của tam giác mới được tạo thành là 6S

Câu 14 Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8

Độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 là:

A 5;

B √ 34 ;34;

C 6;

D √ 42 42

Đáp án:

Hình bình hành có một cạnh là 4, hai đường chéo là 6 và 8 được mô

tả như hình vẽ, do đó AD = 4, AC = 6, BD = 8

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo

Khi đó O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành)

Þ AO = 3 và DO = 4

Áp dụng hệ quả định lí côsin vào tam giác ADO ta có:

cosˆADO=AD2+DO2−AO22.AD.DO=42+42−322.4.4=2332cosADO^= AD2+DO2−AO22.AD.DO=42+42−322.4.4=2332 ⇒cosˆADB=2332⇒co sADB^=2332

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có:

AB2 = AD2 + BD2 – 2.AD.BD.cosˆADBcosADB^

⇒⇒ AB2 = 42 + 82 – 2.4.8.23322332 = 34

⇒AB=√ 34 ⇒AB=34

Vậy độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4 của hình bình hành đó

là √ 34 34

Câu 15 Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn

tâm O, bán kính R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tỉ số RrRrlà:

A 1+√ 2 ;1+2;

B 2+√ 2 2;2+22;

C √ 2 −12;2−12;

D 1+√ 2 2.1+22

Đáp án: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2

⇒BC=a√ 2 ⇒BC=a2

Do đó nửa chu vi tam giác ABC

là p=AB+AC+BC2=a+a+a√ 2 2=a.(2+√ 2 2)p=AB+AC+BC2=a+a+a22= a.2+22

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

S=12.AB.AC=12.a.a=a22S=12.AB.AC=12.a.a=a22(đơn vị diện tích) Mặt khác S=pr=AB.AC.BC4RS=pr=AB.AC.BC4R

⇒r=Sp=a22a.(2+√ 2 2)=a2+√ 2⇒r=Sp=a22a.2+22=a2+2 và R=AB.AC BC4S=a.a.a√ 2 4.a22=a√ 2 2R=AB.AC.BC4S=a.a.a24.a22=a22

Do

đó Rr=a√ 2 2a2+√ 2 =a√ 2 2:a2+√ 2 =a√ 2 2.2+√ 2 a=1+√ 2 Rr=a22a2 +2=a22:a2+2=a22.2+2a=1+2

Vậy Rr=1+√ 2