Câu 1 Cho f(x) = x2 – 4 Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây A f(x) < 0 khi x ∈ (–2; 2); B f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞); C f(x) = 0 khi x = 2; x = – 2; D f(x) > 0 khi x ∈ (–2; 2) Đáp[.]
Trang 1Câu 1 Cho f(x) = x2 – 4 Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây
A f(x) < 0 khi x ∈ (–2; 2);
B f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);
C f(x) = 0 khi x = 2; x = – 2;
D f(x) > 0 khi x ∈ (–2; 2)
Đáp án: D
Xét f(x) = x2 – 4 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = –2; x
= 2 và a = 1 > 0
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x ∈ (–∞; –2) và (2; +∞); f(x)
< 0 khi x ∈ (– 2; 2)
Vậy khẳng định sai là D
Câu 2.Tam thức f(x) = x2 + 2x – 3 nhận giá trị dương khi và chỉ khi
A x ∈ (–∞; –3) ∪ (1; +∞);
B x ∈ (–∞; –1) ∪ (3; +∞);
Trang 2C x ∈ (–∞; –2) ∪ (6; +∞);
D x ∈ (1; 3)
Xét f(x) = x2 + 2x – 3 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 1
; x = – 3 và a = 1 > 0
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞); f(x)
< 0 khi x ∈ (– 3; 1)
Vậy f(x) nhận giá trị dương với mọi x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞)
Câu 3 Số nghiệm của phương trình √ 2x−3 =x−32x−3=x−3
A 0;
B 1;
C 2;
D 3
Đáp án: B
Bình phương hai vế của phương trình ta có
Trang 32x – 3 = (x – 3)2
⇒ 2x – 3 = x2 – 6x + 9
⇒ x2 – 8x + 12 = 0
⇒ x = 2 hoặc x = 6
Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 6 thoả mãn
Vậy phương trình có 1 nghiệm
Câu 4 Nghiệm của phương trình √ x2−3x =√ 2x−4 x2−3x=2x−4
A x = 4;
B x = 2;
C x = 0;
D x = 1
Đáp án: A
Bình phương hai vế của phương trình ta có
x2 – 3x = 2x – 4
⇒ x2 – 5x + 4 = 0
⇒ x = 1 hoặc x = 4
Trang 4Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 4 thoả mãn
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
Câu 5 Cho f(x) = mx2 – 2x – 1 Xác định m để f(x) ≤ 0 với ∀x ∈
ℝ
A m ≤ – 1;
B m ≤ 0;
C – 1 ≤ m ≤ 0
D m ≤ 1 và m ≠ 0
Đáp án: A
Trường hợp 1 m = 0 Khi đó f(x) = – 2x – 1 ≤ 0 ⇔x≥−12⇔x≥−12 Vậy m = 0 không thỏa mãn f(x) ≤ 0 với ∀x ∈ℝ
Trường hợp 2 m ≠ 0
Khi đó: f(x) = mx2 – 2x – 1 < 0 với ∀x ∈
ℝ⇔(a=m<0Δ′=1+m≤0)⇔m≤−1⇔a=m<0Δ'=1+m≤0⇔m≤−1 Vậy m ≤ – 1 thỏa mãn bài toán
trình x2−2x+3√ x2−2x−3 =7x2−2x+3x2−2x−3=7 là:
A 1;
B 0;
Trang 5C 2;
D – 4
Đáp án: C
x2−2x+3√ x2−2x−3 =7⇔x2−2x−3+3√ x2−2x−3 −4=0x2−2x+3x2− 2x−3=7⇔x2−2x−3+3x2−2x−3−4=0
Đặt √ x2−2x−3 =tx2−2x−3=t (t ≥ 0) ta có phương trình t2 + 3t – 4
= 0⇔(t=1t=−4)⇔t=1t=−4
Kết hợp với điều kiện của t ta có t = 1 thỏa mãn
1 ⇒√ x2−2x−3 =1⇔x2−2x−4=0⇔(x=1+√ 5 x=1−√ 5 )⇒x2−2x−3=1
⇔x2−2x−4=0⇔x=1+5x=1−5
Thay lần lượt các nghiệm vào phương trình ta
có x=1+√ 5 ;x=1−√ 5 x=1+5;x=1−5 đều thỏa mãn
Vậy tích các nghiệm của phương trình S = – 4
trình √ x−2 +√ x+3 =5x−2+x+3=5 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau
A (7; 10);
B (2; 5);
C (3; 7);
D (- 2; 2)
Trang 6Đáp án: C
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta có
x – 2 + x + 3 + 2√ (x−2)(x+3) (x−2)(x+3) = 25
⇒ √ x2+x−6 x2+x−6 = 12 – x(1)
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có
x2 + x – 6 = (12 – x)2
⇒ x2 + x – 6 = x2 – 24x + 144
⇒ 25x – 150 = 0
⇒ x = 6
Thay nghiệm trên vào phương trình ta thấy x = 6 thoả mãn Vậy nghiệm của phương trình thuộc khoảng (3; 7)
Câu 8.Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f(x) = 2x2 – 7x – 15 không âm?
A (−∞;−32)∪(5;+∞)−∞;−32∪5;+∞;
B (−∞;−5)∪(32;+∞)−∞;−5∪32;+∞;
C (−5;32)−5;32;
D (−32;5)−32;5
Đáp án: A
Xét f(x) = 2x2 – 7x – 15 có ∆ = 169 > 0, hai nghiệm phân biệt là x
= 5; x = −32−32 và a = 2 > 0
Trang 7Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có f(x) không âm khi x
∈ (−∞;−32)∪(5;+∞)−∞;−32∪5;+∞
Câu 9.Biểu thức f(x) = (m2 + 2)x2 – 2(m – 2)x + 2 luôn nhận giá trị dương khi và chỉ khi:
A m ≤ – 4 hoặc m ≥ 0;
B m < – 4 hoặc m > 0;
C – 4 < m < 0;
D m < 0 hoặc m > 4
Đáp án: B
Ta có (m2 + 2)x2 – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈
ℝ⇔(a>0Δ/<0)⇔a>0Δ/<0⇔(m2+2>0−m2−4m<0)⇔m2+2>0−m2
−4m<0
Ta có m2 + 2 > 0 với mọi m nên để (m2 + 2)x2 – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈ℝ thì – m2 – 4m < 0
Xét f(m) = – m2 – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0
Trang 8Ta có bảng xét dấu:
Vậy để f(m) < 0 khi m < – 4 hoặc m > 0
Câu 10.Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình
x2 + 3mx2 + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x ∈ℝ
A 1;
B 4;
C 6;
D 5
Đáp án: B
Ta có x2 + 3mx2 + 4mx + 4 ≥ 0
⇔ (1 + 3m)x2 + 4mx + 4 ≥ 0
Với 1 + 3m = 0 thì m = −13−13 thì bất phương trình trở thành ⇔
x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 Vậy m = −13−13 không thỏa mãn
Với 1 + 3m ≠ 0 thì m ≠ −13−13
Để bất phương trình (1 + 3m)x2 + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x ∈ℝ thì
⇔(1+3m>0Δ'=4m2−12m−4≤0)⇔1+3m>0Δ'=4m2−12m−4≤0⇔( m>−134m2−12m−4≤0)⇔m>−134m2−12m−4≤0
Trang 9Xét f(m) = 4m2 – 12m – 4 có ∆ = 208 > 0, hai nghiệm phân biệt là
x = ⇔(m>−134m2−12m−4≤0)⇔m>−134m2−12m−4≤0 ; x
= 3+√ 13 23+132 và a = 4 > 0
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có để f(m) ≤ 0 thì 3−√ 13 23−132 ≤ m
≤ 3+√ 13 23+132
Kết hợp với điều kiện của m để (1 + 3m)x2 + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi
x ∈ℝ thì 3−√ 13 23−132 ≤ m ≤ 3+√ 13 23+132
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để bất phương trình (1 + 3m)x2 + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x ∈ℝ
Câu 11 Xác định m để bất phương trình x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1
> 0 có nghiệm với mọi x ∈ℝ
A m < 1 hoặc m > 5;
B m < – 5 hoặc m > – 1;
C 1 < m < 5;
D – 5 < m < – 1
Đáp án: C
Trang 10Để bất phương trình x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 có nghiệm với mọi x ∈ ℝ thì (a=1>0Δ'<0)a=1>0Δ'<0⇔(a=1>0(m -
2)2−2m+1<0⇔(a=1>0m2−6m+5<0)⇔a=1>0m2−6m+5<0
Xét f(m) = m2 – 6m + 5 có ∆ = 16 > 0 hai nghiệm phân biệt là m =
1 ; m = 5 và a = 1 > 0
Ta có bảng xét dấu:
Suy ra để f(m) < 0 thì 1 < m < 5
Vậy với 1 < m < 5 thì bất phương trình x2 + 2(m – 2)x + 2m – 1 >
0 có nghiệm với mọi x ∈ℝ
Câu 12 Số nghiệm của phương trình 4x2 – 12x + 5√ 4x2−12x 4x2−12x = 0
A 1;
B 4;
C 2;
D 5
Đáp án: C
Ta có 4x2 – 12x + 5√ 4x2−12x 4x2−12x = 0
Trang 11Đặt √ 4x2−12x 4x2−12x = t (t ≥ 0)
Phương trình (1) trở thành t2 + 5t = 0 ⇔(t=0t=−5)⇔t=0t=−5 Kết hợp với điều kiện t = 0 thoả mãn
Với t = 0 ta có √ 4x2−12x 4x2−12x = 0
⇒ 4x2 – 12x = 0
⇒ x = 0 hoặc x = 3
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 0 và
x = 3 thoả mãn
Vậy phương trình có hai nghiệm
Câu 13 Tích các nghiệm của phương trình x2 + 2√ x2−3x+11 x2−3x+11 = 3x + 4 là
A 1;
B 2;
C –2;
D 4
Đáp án: B
Ta có x2 + 2√ x2−3x+11 x2−3x+11 = 3x + 4 ⇔ x2 – 3x + 11 + 2√ x2−3x+11 x2−3x+11 – 15 = 0
Đặt √ x2−3x+11 x2−3x+11 = t (t ≥ 0)
Phương trình trở thành t2 + 2t – 15 = 0 <![if !vml]><![endif]>
Trang 12Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn
Với t = 3 ta có √ x2−3x+11 x2−3x+11 = 3
⇒ x2 – 3x + 11 = 9
⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ x = 2 hoặc x = 1
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 1 và
x = 2 thoả mãn
Tích các nghiệm của phương trình là 1.2 = 2
trình √ x+3 +√ 6−x =3+√ (x+3)(6−x) x+3+6−x=3+(x+3)(6−x) (*) là
A 1;
B 2;
C 3;
D 4
Đáp án: C
Đặt √ x+3 +√ 6−x =tx+3+6−x=t (t > 0) ⇔ x + 3 + 6 – x + 2√ (x+3)(6−x) 2(x+3)(6−x) = t2
Ta có √ (x+3)(6−x) =t2−92(x+3)(6−x)=t2−92
Phương trình (*) trở thành t = 3 + t2−92t2−92
⇒ t2 – 2t – 3 = 0
Trang 13⇒ t = – 1 hặc t = 3
Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn
Với t = 3 ta có √ x+3 +√ 6−x =3x+3+6−x=3
⇒ x + 3 + 6 – x + 2√ (x+3)(6−x) 2(x+3)(6−x) = 9
⇒ √ (x+3)(6−x) (x+3)(6−x) = 0
⇒ – x2 + 3x + 18 = 0
⇒ x = 6 hoặc x = – 3
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 6 và
x = – 3 thoả mãn
Tổng các nghiệm của phương trình là 6 + (– 3) = 3
Câu 15 Gọi x là nghiệm của phương trình
√ 3x−2 +√ x−1 =4x−9+2√ 3x2−5x+2 3x−2+x−1=4x−9+23x2−5x+2 Tính giá trị của biểu thức A = x2 – 3x + 15
A 10;
B 12;
C 13;
D 14
Đáp án: C
Trang 14√ 3x−2 +√ x−1 =4x−9+2√ 3x2−5x+2 3x−2+x−1=4x−9+23x2−5x+2 (*)
Đặt √ 3x−2 +√ x−1 =t(t>0)3x−2+x−1=t(t>0)
⇔ 3x – 2 + x – 1 + 2√ 3x2−5x+2 3x2−5x+2 = t2
⇔ 4x – 3 + 2√ 3x2−5x+2 3x2−5x+2 = t2
⇔ 4x – 9 + 2√ 3x2−5x+2 3x2−5x+2 = t2 – 6
Phương trình (*) trở thành t = t2 – 6
⇒ t2 – t – 6 = 0
⇒ t = 3 hoặc t = – 2
Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn
Với t = 3 ta có √ 3x−2 +√ x−1 =33x−2+x−1=3
⇒ 4x – 3 + 2<![if !vml]><![endif]>= 9
⇒ √ 3x2−5x+2 3x2−5x+2 = – 2x + 6
⇒ 3x2 – 5x + 2 = (6 – 2x)2
⇒ 3x2 – 5x + 2 = 4x2 – 24x + 36
⇒ x2 – 19x + 34 = 0
⇒ x1 = 17 hoặc x2 = 2
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình (*), ta thấy x2 =
2 thoả mãn
Giá trị của biểu thức A = 22 – 3.2 + 15 = 13