BÀI tập NHÓM QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM

BÀI tập NHÓM QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Dân

Sinh viên thực hiện:

Đà Nẵng 12/2011

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA HÓA

5 ∑ mu yu u= 1 5

=

5 ∑ mu yu tu u= 1

Bài tập 1: Lập phương trình tuyến tính y = b0+b1t để mô tả ảnh hưởng của nhiệt độ đến

kết quả của quá trình theo các số liệu thí nghiêm sau đây:

Yu - kết quả thí nghiệm thứ u

Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho hai biến b0 và b1 ta có hệ phương trình sau:Trong đó: Ŷu - kết quả thí nghiệm tính theo phương trìnhcho thí nghiệm thứ u

5

b1∑ tu u= 1

+

5

b2∑ t2 u

u= 1

=

5

∑ mu yu u= 1 5

b0∑ tu u= 1

u= 1

=

5

∑ mu yu t2u u= 1

N

S = ∑ (Ŷ u − Y u ) 2 → min u= 1

N

S = ∑ (b0+b1t +b2t2 − Y u )2 → min u= 1

Bài tập 2: Lập phương trình tuyến tính y = b0+b1t+b2t2 để mô tả ảnh hưởng của nhiệt

độ đến kết quả của quá trình

Trong đó: Ŷu - kết quả thí nghiệm tính theo phương trình

Yu - kết quả thí nghiệm thứ u

u = u= 1

u = u= 1

Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho hai biến b0 và b1 ta có hệ phương trình sau:

5

b2∑ mu t2u u= 1

=

5 ∑ mu yu u= 1 5

+

5

b2∑ mu t3u u= 1

=

5

∑ mu yu tu u= 1 5

+

5

b2∑ mu t4u u= 1

=

5 ∑ mu yu t2uu= 1

N

S = ∑ m(Ŷ u − Y u ) 2 → min u= 1

Bài tập 3: Lập phương trình tuyến tính y = b0+b1t+b2t2 để mô tả ảnh hưởng của nhiệt độ đến

kết quả của quá trình theo các số liệu thí nghiệm sau đây:

Yu - kết quả thí nghiệm thứ u

Trong đó: Ŷu - kết quả thí nghiệm tính theo phương trình

N

S = ∑ m(b0+b1t +b2t2 − Y u )2 → min u= 1

Bài tập 4

BÀI LÀM

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Số thí nghiệm N= 210-n' Như vậy, để giảm số thí nghiệm thì n' phải là lớn nhất

* Không chọn các hệ thức sinh là tích của 2 biến mã:

Nếu chọn xi=xj.xkTạo tương phản xác định: 1= xi.xj.xkNhư vậy: (hiệu ứng tuyến tính hổn hợp với các tương tác cặp)

* Không chọn các hệ thức sinh có số thừa số liền kề nhau :Chọn

Tại tương phản xác định :

Tạo tương phản xác định tổng hợp :

Như vậy + Nếu n' = 6 ta có ĐK1:

Lập quy hoạch thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của 10 yếu tố đến quá trình sao cho cac hệ số đặc trưng cho các hiệu ứng tuyến tính không hổn hợp với các hiệu ứng tương tác cặp Biết rằng các tương tác bộ bốn, bộ

ba và tương tác cặp của yếu tố thứ nhấtvà thứ hai không đáng kể.

+ Nếu n' = 7 thì phải lập TĐY 23,như vậy số yếu tố bổ sung là 7trong khi đó các hiệu ứng

tương tác cặp, tương tác bộ ba có thể bỏ qua( xấp xỉ bằng 0) là: C32+C33=4 <7 Suy ra phải bắt đầu từ n'=6, vì

Mặt khác các hệ số đặc trưng cho hiệu ứng tuyến tính không hiệu ứng với các tương tác cặp và các hiệu ứng có bậc liền kề nhau không hổn hợp với các hệ thức sinh đã chọn thì phải thỏa mãn:

6 11

4 4 3 4 2

4 C C  

C

3 2 1

5 x x x

4 3 2 1

1.

1  x x x x

9 4 3 2

1 .

1  x x x x x

9 5 4

1  x x x

1459 235

1

611

4 4

3 4

2

4 C C  

C

64

3

C

61

4

C

526

5 5 4 5 3 5 2

C

2 5

C

510

5 5 3

5  C  

C

II XÉT KHẢ NĂNG GIẢI

2 

3 2 1

4 2 1

x 

521

5 3 1

x 

5 4 1

10 x x x

) 1 (

1  x1x2x3x6

) 2 (

1  x1x2x4x7

) 3 (

1  x1x2x5x8

) 4 (

1  x1x3x5x9

) 5 (

1  x1x4x5x10

7621

) 5

) 3 )(

2 )(

1 (

97653

) 4 )(

2 )(

1 (

107643

) 5 )(

2 )(

1 (

98652

) 4 )(

3 )(

1 (

108642

) 5 )(

3 )(

1 (

109632

) 5 )(

4 )(

1 (

98751

) 4 )(

3 )(

2 (

108741

) 5 )(

3 )(

2 (

109731

) 5 )(

4 )(

2 (

109821

) 5 )(

4 )(

3 (

*Xác định điều kiện hỗn hợp các hiệu ứng :

10 9 5 4

)

5

)(

4

(

1   x x x x

9 8 7 6 4 3 2 1

) 4 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

10 8 7 6 5 3 2 1

) 5 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

10 9 7 6 5 4 2 1

) 5 )(

4 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

10 9 8 6 5 4 3 1

) 5 )(

4 )(

3 )(

1 (

1   x x x x x x x x

10 9 8 7 5 4 3 2

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 (

1   x x x x x x x x

10 9 8 7 6

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 )(

1 (

14578 12345610

12569 13568

13467 4510

359 258

247 236 1

1                      

b

246910 346810

689 356710 45679

2345678 134910

124810 12389

125710

25678910 13578910

14568910 167910

12367810 1246789

23458910 237910

7810

24578 345610

569 23568

23467 124510

12359 158

147 136

2

b

146910 12346810

12689 123456710

1245679 1345678

234910 4810

389 5710

15678910 23578910

24568910 267910

367810 46789

13458910 137910

127810

3

3   

b

457810 23456

256910 356840

346710 145

135910 125810

124710 123610

10

10                      

b

4321

10 x x x x

) 1 (

7543

x



) 3 (

1  x1x2x4x5x8 1  x1x2x3x5x9( 4 )

) 5 (

1  x1x2x3x4x10

12469 13468

168910 13567

14567910 1234567810

349 248

238910 257

125678935789

45689679

2367824678910

123458912379

178

7621

) 2 )(

1 (

1   x x x x

8631

) 3 )(

1 (

1   x x x x

9641

) 4 )(

1 (

1   x x x x

87654

) 3 )(

2 )(

1 (

97653

) 4 )(

2 )(

1 (

107643

) 5 )(

2 )(

1 (

*Xác định điều kiện hỗn hợp của hiệu ứng:

10651

) 5 )(

1 (

1   x x x x

8732

) 3 )(

2 (

1   x x x x

9742

) 4 )(

2 (

1   x x x x

10752

) 5 )(

2 (

1   x x x x

9843

) 4 )(

3 (

1   x x x x

10853

) 5 )(

3 (

1   x x x x

10954

) 5 )(

4 (

1   x x x x

98652

) 4 )(

3 )(

1 (

108642

) 5 )(

3 )(

1 (

109632

) 5 )(

4 )(

1 (

98751

) 4 )(

3 )(

2 (

108741

) 5 )(

3 )(

2 (

109731

) 5 )(

4 )(

2 (

109821

) 5 )(

4 )(

3 (

9 8 7 6 4 3 2 1

) 4 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

108765321

) 5 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

109765421

) 5 )(

4 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

10 9 8 6 5 4 3 1

) 5 )(

4 )(

3 )(

1 (

1   x x x x x x x x

109875432

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 (

1   x x x x x x x x

10 9 8 7 6

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x

12378 5610

469 368

267 23410

2359 2458

3457 123456

1

1                      

b

12369101246810

1256891346710

135679145678

145910135810

13489125710

16789101234578910

3456891024567910

235678102346789

2891037910

47810

3 Trường hợp 3

*Lập: TĐY 25

*Chọn hệ thức sinh :

*Trong trường hợp này thì các hệ số đặc trưng cho hiệu ứng tuyến tính không hỗn hợp với các hiệu ứng tương tác cặp nhưng các hiệu ứng có bậc liền kề lai hỗn hợp với nhau

378 125610

12469 12368

167 23410

1359 1458

123457 3456

2

b

36910 46810

5689 2346710

235679 245678

245910 235810

23489 5710

2678910 34578910

1234568910 14567910

13567810 1346789

18910 1237910

1247810

3

b

237810 156

146910 136810

126710 1234

1235910 1245810

1345710 2345610

10

10                     

b

2369 2468

2568910 3467

3567910 4567810

459 358

348910 257

6789 2345789

1345689 1245679

1235678 1234678910

1289 1379

1478

3 2 1

5 2 1

4 2 1

5 4 3

5 4 3 2 1

10 x x x x x

*Tạo tương phản xác định:

*Tao tương phản xác định tổng hợp:

) 1 (

1  x1x2 x3 x6 1  x1x2 x5 x7 ( 2 )

) 3 (

1  x1x2 x4 x8 1  x3 x4 x5 x9 ( 4 )

) 5 (

1  x1x2x3x4x5x10

7 6 5 3 )

) 3

) 5

) 3

) 5

) 5

) 3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

9 7 6 4 )

4 )(

2 )(

1 (

10 7 6 4 2 1 ) 5 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x

9865

) 4 )(

3 )(

1 (

1086521

) 5 )(

3 )(

1 (

10963

) 5 )(

4 )(

1 (

9873

) 4 )(

3 )(

2 (

1087321

) 5 )(

3 )(

2 (

10 9 7 5 )

5 )(

4 )(

2 (

10984

) 5 )(

4 )(

3 (

987621

) 4 )(

3 )(

2 )(

1 (

10876

) 5 )(

3 )(

2 )(

1 (

109765321

) 5 )(

4 )(

2 )(

1 (

*Xác định điều kiện hỗn hợp các hiệu ứng:

10 9 8 6 4 3 2 1

) 5 )(

4 )(

3 )(

1 (

10 9 8 7 5 4 2 1

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 (

10 9 8 7 6 5 4 3

) 5 )(

4 )(

3 )(

2 )(

1 (

1   x x x x x x x x

14578 145610

24569 13468

13567 234510

13459 248

357 236

1

1                      

b

136910 256810

15689 246710

14679 2345678

2910 135810

23589 134710

1345678910 24578910

23468910 23567910

167810 26789

148910 157910

24578 245610

14569 23468

23567 134510

23459 148

157 136

2

b

236910 156810

25689 146710

24679 1345678

1910 235810

13589 234710

2345678910 14578910

13468910 345689

13567910 267810

16789 248910

257910 137810

3

3   

b

457810 456

12456910 346810

356710 12345

345910 124810

125710 123610

10

10                     

b

378910 369

12568 568910

12467 467910

1234567810 129

358 12358910

3456789 1245789

1234689 1235679

678 12678910

489

 n n

m

1 2

' 1

m

i

C n

1 2

2

1 ' 



 n n

m

1 2

Đều không thỏa mãn, vậy với n'= 6 ta không thể chọn được hệ thức thõa mãn yêu cầu.

24578 345610

569 23568

23467 124510

12359 158

147 136

2

b

3

3   

b

12469 13468

168910 13567

14567910 1234567810

349 248

238910 257

1256891346710

135679145678

145910135810

13489125710

1246912368

16723410

13591458

1234573456

2

b

5432

1

10 x x x x x

136910 256810

15689 246710

14679 2345678

2910 135810

23589 134710

3

3   

b

378910 369

12568 568910

12467 467910

1234567810 129

358 12358910

Như Vậy nếu lập TBP 2n-n' ta nên chọn hệ thức theo điều kiện sau để thỏa mãn cả 2 điều kiện trên:

Với n-n' chẵn

Với n-n' chẵn

chịu ảnh hưởng của hai yếu tố nhiệt độ trong khoảng (20-400c) và từ (1-5M)

Bài tập 5: Hãy cho biết tâm thực nghiệm, khoảng biến thiên, mức trên, mức dưới của số liệu thực nghiệm chịu ảnh hưởng của hai yếu tố nhiệt độ trong khoảng (20-400c) và từ (1-5M)

Khoảng biến thiên: λ = Cu+1 - Cu = 2

xu = (Cu - C0 )/λ Khi đó ta có bảng số liệu sau đây

172

7 ∑xu yu = u= 1

68

7 ∑ x2

u = u= 1

28

Khi đó: b0 =

7 ∑ yu /N = u= 1

24.57

b1 =

7 7 ∑xu yu / ∑x2

u = u= 1 u=1

2.43

Bài tập 6: Dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất lập một xấp xỉ tuyến tính

theo các số liệu thực nghiệm sau:

Vậy phương trình theo biến mã là: y=24.57+2.43xuPhương trình theo biến có thứ nguyên là: y=24.57+2.43(Cu -15)/2 = 6.25+1.215CuCác biến không thứ nguyên

Bài tập 6: Dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất lập một xấp xỉ tuyến tính theo các số liệu thực nghiệm sau:

Bài tập 7: Biểu diễn các số liệu thực nghiệm bằng phương trình bậc hai theo bảng số liệu sau đây:

229.3

7 ∑xu yu

= u= 1

186.9

7 ∑ x2

u = u= 1

28

7 ∑ x4

u = u= 1

196

7 ∑x2

u yu = u= 1

984.1

b1=

7 7 ∑xu yu / ∑x2

u = u= 1 u=1

Giải hệ phương trình trên ta được;

Bài tập 7: Biểu diễn các số liệu thực nghiệm bằng phương trình bậc hai theo bảng số liệu sau đây:

Bài tập 8: Cho số liệu thực nghiệm sau đây.Xác định phương trình thực nghiệm

và sau đó kiểm tra bằng hai tiểu chuẩn student và Fisher

Giả sử phương trình đã tuyến tính

Khi đó ta có : y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x12+b13x13+b23x23+b123x1x2x3

u

Sai số tin cậy: ε(bi)=t(p;f).S(bi)

Tra bảng student ứng với p=0.95 và f=N(m-1)=8.2=16

1/ Phương sai theo hàng:

5/ Kiểm tra tiêu chuẩn student:

4/ Phương sai của hệ số bi bất kì của phương trình

Vậy y=81.875-0.625x1+4.375x2+13.125x3+9.375x12-4.375x13-1.875x23-1.875x1x2x3

3/ Phương sai của kết quả trung bình ỳ của chỉ tiêu được tối ưu hóa :

2/ Phương sai tái hiện từng thí nghiệm của cuộc thí nghiệm:

Theo phương trình thu được theo tiêu chuẩn student ta có:

6/ Kiểm tra tiêu chuẩn Fisher:

N: hệ số của phương trình ban đầu

* Phương sai phù hợp:

8

∑ (ỹu-yu)2 /(N-N' ) =

u= 1

N': hệ số có nghĩa sau khi kiêm tra bằng tiêu chuẩn student

Đối chiếu với các hệ số trong phương trình trên thì ta thấy rằng hệ số bi= -0,63 là không

Vậy với xác xuất tin cậy p=95% có thể kết luận rằng phương trình đã lập phù hợp với số liệu thực nghiệm

1

Các yếu tố ảnh hưởng đến thông số tối ưu

x1 - lượng molip đen đưa vào nhôm, tính bằng %

x2 - nhiệt độ nung nóng ,0

C

x3 - thời gian nung nóng, phút

x4 là yếu tố định tính, có hai giá trị :làm lạnh nhanh ( làm lạnh bằng đá graphit),

làm lạnh chậm(gạch chịu lửa)

-Ma trận quy hoạch thực nghiệm

Các mức của các yếu tố cho ở bảng sau:

Đá graphitGạch chịu lửu

Bài tập 9 : Nghiên cứu sự biến đổi tính của nhôm nguyên chất bằng molip đen Thông số tối ưu hóa y được chọn là số hạt nhôm trên bề mặt 1cm2

* Mô hình được chọn là mô hình tuyến tính Khi đó ta có :

y = b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4

Với biêu thức sinh : x4=x1x2x3 Các thí nghiệm không lặp lại

Thực nghiệm được thực hiện là TYP : 24-1

suy ra N=8(TN)

Các mức

Các yếu tố

x4-

x4 - tốc độ làm lạnh (ủ)

x1,x2,x3 là những yếu tố định lượng

u /3 = u= 1

80

3 ∑ (y0

u -y0)2 = u= 1

8

S2th=

3 ∑ (y0

u -y0)2/(n0-1) = u= 1

4

Hệ số trong mô hình tính toán :

b0=

8 ∑ y/N = u= 1

83.125

b1=

8 ∑ yx1 /N = u= 1

20.625

b2=

8 ∑ yx2/N = u= 1

11.875

b3=

8 ∑yx3/N = u= 1

-5.125

b4=

8 ∑yx3/N = u= 1

-9.375

Kết quả ta thu được phương trình có dạng sau : y=83.125+20.625x1+11.875x2-5.125x3-9.375x4

Phương sai tái hiện:

* Kiểm tra tiêu chuẩn student:

* Kiểm tra tiêu chuẩn Fisher:

5.46

F= S2t t/S2t h = 1.365Tra bảng F1-p(f1,f2); p=0.05, f1=3,f2=2 ta được F1- p(3,2) =19.2

Ta có bảng số liệu sau:

Vì F1-p(f1,f2)>F do đó phương trình tương thích với thực nghiệm

Theo phương trình đã thu được ở trên ta có:

Rõ ràng ta thấy | tj | >tp(f) do đó các hệ số hồi quy đều có nghĩa và phương trình hồi quy

tj = |bj| / Sbj,

** Tối ưu hóa thưc nghiệm bằng phương pháp đường dốc đứng

Dựa vào bảng tối ưu này thì ta thấy nhận được kết quả tốt nhất ở thí nghiệm 11

giá trị của thông số tối ưu thỏa mãn người nghiên cứu

Mức cơ sở x1=0.4, x2=840, x3 =60,x4 làm lạnh chậm(làm lạnh bằng gạch chịu lửa)Bước chuyển động của yếu tố x1, x3 với bước chuyển động của x2 là δ2

Điểm bắt đâu là điểm không

x4 là yếu tố định tính, có hai giá trị :làm lạnh nhanh ( làm lạnh bằng đá graphit),