Skkn một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Lý do chọn đề tài Một trong các ứng dụng cơ bản của đạo hàm là khảo sát tính đơn điệu của hàm số.Bằng việc khảo sát được tính đơn điệu của hàm số ta giải quyết được nhiều dạngtoán liên q

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tác giả: Lê Anh Tuấn

Điện thoại: 0913389665

Email: leanhtuan@gmail.com

Mã sáng kiến: 05.52

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Mô tả sáng kiến 4

6 Bố cục 4

PHẦN B: NỘI DUNG 6 I Một số vấn đề lý thuyết liên quan 6 II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số 6 1 Chứng minh bất đẳng thức 6

2 Giải các phương trình, bất phương trình……… 18

3 Giải các hệ phương trình 23

III Một số bài tập vận dụng 35 PHẦN C: KẾT LUẬN 38 1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài……… 38

2 Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến ……… 38

3 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến ………… 38

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Một trong các ứng dụng cơ bản của đạo hàm là khảo sát tính đơn điệu của hàm số.Bằng việc khảo sát được tính đơn điệu của hàm số ta giải quyết được nhiều dạngtoán liên quan như chứng minh bất đẳng thức, giải các phương trình, hệ phươngtrình Vì vậy có thể nói tính đơn điệu của hàm số có rất nhiều ứng dụng và rất quantrọng trong chương trình giải tích ở trường THPT

Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tôi sẽ trình bày một số ứng dụng của tính đơn điệuhàm số để giải một số dạng toán thường gặp trong các kì thi THPTquốc gia vàtrong các kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổ thông

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài "Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số" được tác giả chọn viết nhằm

giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phương phápcủa chúng tôi khi giảng dạy về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toánTHPT, qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của nó qua các ứng dụng, đặc cácbài toán được lấy từ các đề thi THPT quốc gia và kì thi học sinh giỏi về toán trongnhững năm gần đây

Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT

và bồi dưỡng cho học sinh giỏi về Toán Tác giải rất mong nhận được góp ý trao

đổi của các thầy chuyên gia, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có thể sâu sắc vàhoàn thiện hơn nữa Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ để việc giảng dạy phầngiải tích đạt hiệu quả nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong bản sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếusau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về ứng dụng tính đơnđiệu hàm số, đặc biệt từ các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh khá giỏi toán)

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

4 Giải thuyết khoa học

Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề như trên sẽ phát triển năng lực

tư duy Toán học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết các bài toán về giải tích

5 Mô tả sáng kiến

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

5.2 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

5.4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho các lớp ôn thi THPTquốc gia

và bồi dưỡng các đội tuyển HSG Toán tham dự kì thi HSG Tỉnh

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 08/12/2019

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

6 Bố cục

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

B- NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

PHẦN B NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

1.1 Cho hàm số đồng biến trên Với mọi ta luôn có

.1.2 Cho hàm số nghịch biến trên Với mọi ta luôn có

.1.3 Cho hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng , tức là luôn đồngbiến hoặc luôn nghịch biến trên khoảng Với mọi ta luôn có

.1.4 Cho hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng Khi đó phươngtrình có không quá một nghiệm thuộc khoảng

1.5 Nếu phương trình chỉ có một nghiệm trên khoảng thì phươngtrình có không quá hai nghiệm trên khoảng

II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

1 Chứng minh bất đẳng thức

Ta thường sử dụng trực tiếp khái niệm về hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến

để suy ra các bất đẳng thức mà hai vế đối xứng (có một đặc trưng hàm số nào đó).Việc xét tính đồng biến nghịch biến của một hàm số được thực hiện đơn giản bằngviệc xét dấu đạo hàm Cụ thể ta sử dụng kết quả sau:

+ Nếu đồng biến trên [a; b] thì với mọi x > a.

+ Nếu nghịch biến trên [a; b] thì với mọi x < b.

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng , với mọi

Lời giải Xét hàm số với Ta có

, suy ra hàm số đồng biến trên

Nhận xét Từ cách giải bài toán ta suy ra một kết quả có nhiều ứng dụng trong việc

chứng minh bất đẳng thức sau đây: Với mọi ta có

Tiếp theo là một ví dụ áp dụng kết quả cơ bản trên

Bài toán 1.3 Cho Chứng minh rằng:

Đến đây kịch bản không đơn giản như phần (a) nữa vì có nghiệm duy nhất

Tuy nhiên bằng việc lập bảng biến thiên của hàm số trong

Như vậy ta có một bất đẳng thức kẹp cho sinx:

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải Xét hàm với Ta có với mọi

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên Vậy

Đẳng thức xảy ra khi x=0

Nhận xét Bằng việc xét đạo hàm nhiều lần và sử dụng kết quả bài toán 1.4 ta có

kết quả tổng quát hơn như sau:

Kết quả 2: Với n là số nguyên dương bất kì ta có:

nên là hàm nghịch biến trên Do đó (đpcm)

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng với mọi phân biệt thuộc khoảng ta có

Suy ra f(t) đồng biến trên (0;1) Từ đó ta suy ra ngay điều phải chứng minh.

Bài toán 1.7 Cho các số dương và Chứng minh rằng

Lời giải Xét hàm số Khi đó

.Vậy , nên f(x) đồng biến trên Suy ra f(x) > f(0) (đpcm).

Bài toán 1.8 ( Đề thi HSG Quốc gia năm 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự

Vậy f(x) nghịch biến (0;1) nên f(x) < f(0) = 2, (đpcm)

Bài toán 1.9 Cho n là số nguyên lẻ lớn hơn 3 Chứng minh rằng với mọi tacó

.

Lời giải Đặt

Ta có

Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với (-2x) Do đó ta có bảng biến thiên

x 0 y’ + 0 -

Bảng biến thiên

x

0 1

f’(x) + 0 f(x)

Thật vậy,

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [2n;2n+1] suy ra tồn tại

Từ (1), (2) ta suy ra điều phải chứng minh.

Nhận xét Việc kết hợp thêm định lý Lagrange giúp cho các bước đánh giá trung

gian nhanh hơn Ta xét thêm một ví dụ có sử dụng định lý này trong việc đánh giá

Bài toán 1.11 Chứng minh rằng

đồng biến trên Bài toán được chứng minh hoàn toàn

Nhận xét Trong bài toán trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số

đồng biến trên và để làm được điều đó ta đi chứng minhhàm số đồng biến trên Tương tự ta cũng chứng minh được

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng cách khác như sau:

Xét hàm số Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn

, theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho:

Mà

Vậy với mọi cặp số thực dương x,y bất kì thỏa mãn , luôn có

Thay x bởi và y bởi ta được

(đpcm)

Bài toán 1.12 Chứng minh rằng với mọi

Lời giải Áp dụng BĐT Côsi ta có

Do đó f(x) đồng biến trên Suy ra , hay

với mọi Bài toán được chứng minh

Lời giải Ta biến đổi

Nhận xét Bằng việc xét hàm ta đã chứng minh được

Bằng việc áp dụng vào tam giác ABC với tổng ba

góc ta thu được kết quả khá hấp dẫn sau:

Với là ba góc của một tam giác nhọn bất kì ta có:

Bài toán 1.14 (Đề thi HSG Hà Nội năm 2017) Cho hàm số f xác định trên tập số

thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện

và .

chẳng hạn khi

2 Giải các phương trình, bất phương trình

Để giải một phương trình hay bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơnđiệu ta thường có hai hướng tiếp cận như sau:

Hướng 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m, nhẩm được một nghiệm rồi

chứng minh hàm f(x) đồng biến (nghịch biến) Từ đó suy ra phương trình có

nghiệm duy nhất

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), trong đó hàm f(x) đồng biến

(nghịch biến) Khi đó ta được u = v.

Bài toán 2.1 Giải phương trình

Lời giải Điều kiện

Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số nghịch biến Khi

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 2.2 Giải bất phương trình

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số Dễ thấy hàm số là hàm số nghịch biến

Vậy tập nghiệp của bất phương trình đã cho là

Nhận xét Trong các bài toán trên, việc phát hiện ra được hàm số đơn điệu khá dễ

dàng, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải biến đổi khéo léo để có thể tìm rahàm số đơn điệu phù hợp Ta xét tiếp một số bài toán sau

Bài toán 2.3 Giải phương trình

Lời giải Điều kiện Phương trình đã cho tương đương

(1)Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số đồng biến Khi

đó (1) trở thành

Tiếp theo ta xét hàm số với , ta thấy

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình có không quáhai nghiệm Dễ kiểm tra thấy Suy ra phương trình (2) có đúng hai

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và

Bài toán 2.4 Giải bất phương trình (1)

Lời giải Điều kiện (*)

Với điều kiện (*) ta biến đổi

Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số đồng biến

Khi đó

Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Bài toán 2.5 Giải pt:

Lời giải: Ta thấy phương trình đã cho chỉ có nghiệm trong Phương trình tương đương với

Ta có

Do đó (1) Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài toán 2.6 (Đề HSG Tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải phương trình

Do đó có nghiệm duy nhất , suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là

Bài toán 2.7 (Đề ĐH năm 2010) Tìm nghiệm dương của phương trình sau

Lời giải Xét hàm số với Ta có

,

Và là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 2.8 Giải phương trình

Hướng dẫn Khó khăn nhất là biến đổi để phát hiện ra hàm số đặc trưng ở hai vế

Như vậy hàm đắc trưng ở đây là (hàm này đồng biến trên ) nên suy

ra được , từ đó ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Bài toán 2.9 Giải phương trình

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng:

Lại xuất hiện hàm đặc trưng nên suy ra được , từ đó

ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Bài tương tự: Giải phương trình

Ta có thể đưa ra ý tưởng giải cho lớp phương trình sau:

Ta sẽ biến đổi phương trình về dạng

,trong đó u là một tham số nào đó (ta tìm được u nhờ cân bằng hệ số Tuy nhiên ta

thấy vế trái không xuất hiện nên có ngay u=0 Do đó

.Xét hàm đơn điệu trên R Từ đó suy ra

Ta tiếp tục với một phương trình khó hơn như sau:

Bài toán 2.10 Giải phương trình

Hướng dẫn Chia cả hai vế cho và đưa về dạng

Để giải phương trình này ta đặt

Ta được phương trình

Từ đó suy ra

Bài toán 2.11 (Tạp chí THTT năm 2016) Giải PT:

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng

Sau đó đưa về giải PT bằng phép thế lượng giác

3 Giải các hệ phương trình

Để giải một hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu củahàm số ta thường biến đổi một phương trình của hệ thành dạng

, trong đó hàm là hàm đồng biến (nghịch biến) Từ đó

cho ta một quan hệ mới giữa x và y Ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản sau

Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình

Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Xét hàm số với thì dễ thấy hàm nghịch biến nên

Bài toán 3.2 Giải hệ phương trình

Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được

Bài toán 3.3 Giải hệ phương trình

Lời giải Điều kiện xác định:

Phương trình đầu của hệ tương đương với

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Vậy hệ có nghiệm

Bài toán 3.4.Giải hệ phương trình

Lời giải Điều kiện

Phương trình đầu của hệ tương đương

Thay vào hai của hệ ta được

Do đó (*) có nghiệm duy nhất Vậy hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất là

Bài toán 3.5.Giải hệ phương trình

Lời giải Điều kiện xác định:

Phương trình đầu của hệ được viết lại thành

Thay kết quả trên vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được

Suy ra

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 3.6.Giải hệ phương trình:

Lời giải Điều kiện

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

Hàm số f(t) = đồng biến nên ta được Kết hợp

ta được Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất

Bài toán 3.7.Giải hệ phương trình

Lời giải Điều kiện xác định: Ta thấy ngay không thỏa mãn Vậy Từ đó, theo phương trình thứ hai ta suy ra

Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho ta được

(*)

Dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng

Do đó từ phương trình (*) ta suy ra Thế vào phương trình thứ nhất của hệ

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình

Bài toán 3.8.Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn Biến đổi phương trình đầu của hệ

Hàm số đồng biến trên , từ đó suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0 Do đó

 

Thay vào (2) ta được x x2 (   1) 3x2  2x  1 3 x2  6x 1

Thay vào phương trình đầu ta được

Đây là một phương trình khó, để giải nó ta biến đổi để xuất hiện dấu hiệu ẩn phụnhư sau:

phương trình

Lấy hai vế phương trình trừ nhau ta được

hệ hoán vị vòng quanh

* Hệ hoán vị vòng quanh là hệ có dạng: , trong đó là các

hàm số nào đó

* Tính chất cơ bản: Nếu hai hàm cùng tính đơn điệu thì

Thật vậy, giả sử cùng tính đơn điệu tăng Không mất tính tổng quát, giả

Suy ra

Nhận xét: Nếu hai hàm ngược tính đơn điệu thì bằng cách chứng minhtương tự ở trên ta vẫn suy ra Như vậy chỉ cần các hàm đơnđiệu thì ta luôn thu được Và đây cũng là phương pháp giải các hệ hoán

vị vòng quanh Ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau:

Bài toán 3.11. Giải hệ phương trình

Lời giải Xét hàm số , dễ thấy ngay cả hai hàmđều đồng biến trên  Do đó Thay vào hệ đã cho ta được

Vậy hệ có ba nghiệm là

Bài toán 3.12. Giải hệ

Lời giải Ta giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ Xét hàm số

Do đó Thay vào hệ đã cho ta được

Dễ thấy phương trình này có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duynhất

Với hai bài toán trên ở cả hai vế ta gặp ngay hàm đơn điệu Trong một sốtrường hợp ta không có ngay hàm số hoặc hàm số ta gặp chưa đơn điệu ngay trêntập xác định của nó Khi đó ta phải biến đổi khéo léo để xuất hiện hàm đơn điệuhoặc kết hợp thêm đánh giá các ẩn để hàm số tìm được đơn điệu trên miền đó Tatiếp tục xét các bài toán khó hơn sau đây

Bài toán 3.13. Giải hệ

Lời giải Điều kiện xác định

Biến đổi hệ đã cho tương đương với

Ta thấy ngay là hàm nghịch biến, và

nên là hàm đồng biến trên Do đó Thay vào hệ đã cho tađược

Phương trình này có nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bài tương tự: Giải hệ phương trình

Bài toán 3.14. Giải hệ

Hướng dẫn Biến đổi hệ tương đương với

thể khảng định tính đơn điệu của hàm

Để khắc phục được điều này ta để ý đến các phương trình của hệ, dễ nhận thấyngay không âm Khi đó hàm đồng biến trên Do đó

Thay vào hệ đã cho ta được Giải phương trình ta được

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bài tương tự:

Bài toán 3.14.1.Giải hệ phương trình

Bài toán 3.14.2.Giải hệ phương trình