Skkn hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt kết quả từ một bài toán trong sách giáo khoa chương trình đại số cấp thcs

S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM I/ §ÆT VÊN §Ò 1 Lí do chọn đề tài Sự phát triển của một đất nước liên quan mật thiết đến trình độ dân trí của đất nước đó Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát[.]

I/ §ÆT VÊN §Ò:

1 Lí do chọn đề tài:

Sự phát triển của một đất nước liên quan mật thiết đến trình độ dân trí của đất nước đó Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám.Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kỹ năng tính toán cần thiết, mà rèn luyện cho con người khả năng tư duy lôgích, một phương pháp luận khoa học

Trong việc giảng dạy bộ môn toán học, người thầy giáo đóng góp vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy lôgích và phương pháp luận khoa học cho học sinh

Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì tìm ra kết quả một bài toán chưa có thể coi là kết thúc được mà phải tiến hành khai thác, mổ xẻ và phân tích bài toán đó

Việc dạy học, giải toán người dạy cũng như người học cần tạo cho mình 1 thói quen suy nghĩ, khai thác bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có, đã tìm được kết quả Chính vì lý do đó tôi chọn đề tài:

"Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt kết quả từ một bài toán trong sách giáo khoa chương trình đại số cấp THCS".

Nhằm phát triển tư duy lôgích và phương pháp luận khoa học Thông qua

đề tài hình thành cho học sinh khả năng thích ứng với những thay đổi thực tiễn

để tự chủ, tự lập trong lao động, học tập Hình thành cho học sinh năng lực ứng

xử, kĩ năng diễn đạt ( bằng lời, bằng viết) kích thích trí tưởng tượng, gây hứng thú học tập toán góp phần rèn luyện phương pháp học tập, chủ động linh hoạt sáng tạo

2 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy chương trỡnh đại số 8

Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 9 trường THCS Nguyễn Thiếp

3 Mục tiờu, nhiệm vụ nghiờn cứu:

Chỉ ra những phương pháp giúp học sinh biết vận dụng giải các bài tập từ kết quả bài toán cơ bản

Nhằm đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học, cụ thể là chất

lượng mụn toỏn.

II/ NỘI DUNG:

1 Cơ sở lí luận:

Giải bài tập toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái

đó cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) Nhưng các quy tắc suy luận,cũng như các phương pháp chứng minh chưa được dạy tường minh Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập Thực tiễn dạy học cũng cho thấy rằng học sinh khá giỏi thường nhiều kinh nghiệm, còn học sinh trung bình, yếu kém gặp nhiều lúng túng Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng, không phải cứ giải nhiều bài tập là có nhiều kĩ năng Việc luyên tập sẽ có nhiều hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó

Quan sát đặc điểm bài toán là vô cùng quan trọng, song quan trọng hơn là sự khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giảI đề bài trong một loạt vấn đề nào

đó Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra Nhà toán học Đềcác nói rất đúng rằng: “Mỗi vấn đề

mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác” Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải

2 Cơ sở thực tiễn.

Với quan điểm hiện nay là dạy học phát huy tính tích cực độc lập sáng tạo trong nhận thức của học sinh Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh ngại giải các bài toán lạ, ít khi tỡm tũi thêm xung quanh bài toán đó và không biết cách liên kết các bài toán có nội dung gần giống nhau Vỡ vậy trong quỏ trỡnh dạy học từ một bài toỏn cơ bản tôi đó hướng dẫn học sinh khai thác bài toán khác từ kết quả của bài toán cơ bản đó

Khi chưa thực hiện được đề tài này: Học sinh thường giải bài tập xong là xong, khi đưa ra bài toán khai thác thì ít học sinh làm được

Kết quả khi thực hiện đề tài này: Trong quỏ trỡnh giải bài toỏn đưa ra cỏc bài tập tương tự bài đó làm, nhưng thay đổi cấu trỳc bài toỏn thỡ học sinh làm tốt hơn

3 Những biện phỏp thực hiện:

* Học sinh cú kiến thức cơ bản tổng hợp

* Hướng dẫn học sinh nhỡn thấy cấu trỳc lụgớch của bài toỏn đặc biệt nhỡn thấy sự liờn hệ giữa cỏc bài toỏn

* Rốn luyện cho học sinh khả năng suy luận, tư duy lụgớch, khả năng phỏn đoỏn khi giải bài toỏn

4 Giải phỏp:

* Xuất phỏt từ một bài toỏn cơ bản trong sỏch giỏo khoa chương trỡnh đại

số lớp 8

* Sau đõy là một số vớ dụ minh hoạ:

Bài toỏn 1 : Phõn tớch đa thức: a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhõn tử

Để phõn tớch đa thức : a3 + b3 +c3 -3abc thành nhõn tử sử dụng phương phỏp dựng hằng đẳng thức

A3 + B3 =( A+ B) ( A2 -AB + B2 ) Và phương phỏp đặt nhõn tử chung

Lời giải:

a3 + b3 +c3 -3abc = ( a+b)3 -3a2b - 3ab2 +c3 - 3 abc

=( a+b)3 +c3 -3ab( a+b+c) =

=( a+b+c) [(a+b)2 - c(a+b) + c2] - 3ab( a+b+c) = =( a+b+c)( a2 + b2 + c2 -ab-bc-ac)

Bài toỏn 2 : Chứng minh đẳng thức: (x-y)3 +( y-z)3 +(z-x)3 = 3( x-y)(y-z) (z-x)

Từ bài toỏn 1 học sinh dễ dàng chứng minh được bài toỏn 2 Nếu ta gợi ý học sinh đặt: x- y = a

y- z = b

z- x = c

Lời giải vắn tắt :

đặt: x- y = a

z- x = c

Do đó theo bài toán 1 ta có : a3 + b3 + c3- 3abc = 0

a3 + b3 + c3 = 3abc

hay ( x-y)3 +(y-z)3 +(z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) ( đpcm)

Bài toán 3:

Cho Tính giá trị của biểu thức : M =

Theo bài toán 1 nếu có: a+ b+ c = 0 thì có : a3 + b3+ c3 = 3abc

áp dụng vào bài toán đã cho ta có: bằng bao nhiêu?

ở đây học sinh dễ dàng tính đợc = (suy ra

từ bài toán 1)

Lời giải vắn tắt: Thật vậy nếu ta có a+b+c = 0 thì

có a3 +b3+c3 = 3abc

( suy ra từ bài toán 1)

áp dụng vào bài toán đã cho ta có: =

3

Vậy M = 3

Bài toán 4:

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Biết a3 +b3+c3

= 3abc (1)

Chứng minh tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c thoả mãn

điều kiện (1) là tam giác đều

Lời giải: Dễ dàng chứng minh đợc bài toán 4 suy ra từ bài

toán 1

Thật vậy : a3+b3+c3 = 3abc

a3+b3+c3-3abc = 0

(a+b+c)(a2+b2+c2- ab-bc-ac) = 0

Mà a+b+c>0 ( tổng độ dài 3 cạnh trong tam giác)

a2+b2+c2- ab- bc- ac = 0

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 0

a = b = c

Vậy tam giác có độ dài 3 cạnh a,b,c thoả mãn điều kiện (1) là tam giác đều

Bài toán 5: Cho : a3 +b3+c3 = 3abc

Tính giá trị của biểu thức : A=(1+ )(1+ )(1+ ) Nếu không có bài toán một thì trong quá trình tính giá trị của biểu thức A thì học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn.Dựa vào bài toán 1 học sinh dễ dàng tìm đợc các giá trị của A ứng với các trờng hợp

Lời giải vắn tắt:

Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc =0

(a+b+c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0

a + b + c = 0

a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac = 0

* Nếu: a + b + c = 0 A = (1+ )(1+ )(1+ ) =

= = = -1

A = -1

* Nếu: a2 + b2 + c2 -ab - bc - ac = 0

2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0

(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = 0

a = b = c

Khi đó: A= (1+ )(1+ )(1+ ) = (1+1)(1+1)(1+1) = 8

Bài toán 6:

Cho: a + b + c = 1

a2+ b2+c2 = 1

a3+ b3+c3 = 1

Tính giá trị của biểu thức: P = a2004 + b2005 + c2006

Rõ ràng bài toán ở đây phức tạp hơn những vận dụng kết quả bài toán 1 để tìm ra giá trị của a, b,c Từ đó tính đợc giá trị của biểu thức P đối với các trờng hợp

Lời giải:

Ta có: a3 + b3 +c3- 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2- ab- bc- ac) (bài toán 1)

1-3abc = 1.(1- ab- bc- ac) (vì a+b+c =1;

a2+b2+c2 =1; a3+b3+c3 = 1)

3abc = ab +bc +ac

Ta lại có: a2 + b2 +c2 = 1(gt) ab +bc +ac = 0 3abc

= 0

a = 0

b = 0

c = 0

* Nếu a = 0:

b+c =1

b2+c2=1

b3+c3=1

Từ b+c = 1 b2+c2+2ac = 1 2ac = 0 (vì b2+c2=1)

b = 0 c =1

c = 0 b=1

a = 0 a = 0

b = 0 hoặc b = 1

c = 1 c = 0

P = 1

 Nếu b = 0 làm tơng tự, ta có:

a = 0

a = 1

b= 0 hoặc

b = 0

c = 1

c = 0

P = 1

 Nếu c = 0 làm tơng tự ta có:

a=0 a=1

b=1 hoặc b=0

c=0 c=0

P = 1

Nh vậy trong mọi trờng hợp ta đều có P = 1

Bài toán 7:

Cho: x+y+z=a

x2+y2+z2=b2

Tính x3+y3+z3 theo a,b,c

Tơng tự bài toán 6 vận dụng kết quả bài toán 1 học sinh

dễ dàng tính đợc giá trị của tổng x3+y3+z3 theo a,b,c

Lời giải:

Ta cã: x3+y3+z3 -3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) (bµi to¸n 1)

x3+y3+z3 = 3xyz+a[b2- (xy+yz+zx)] (1)

(v× x+y+z=a; x2+y2+z2 = b2)

MÆt kh¸c tõ: x+y+z = a x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) = a2

xy+yz+xz = (2)

(V× x2+y2+z2 = b2)

xyz = c(xy+yz+xz)

xyz = c (3)

KÕt hîp (1),(2),(3) ta cã:

x3+y3+z3 = 3c + a(b2- )

Hay: x3+y3+z3 =

Bài tập bổ sung:

Bµi tËp 1:

Rót gän biÓu thøc:

Bµi tËp 2:

Cho x, y lµ 2 sè tho¶ m·n:

ax+by=c

bx+cy= a

cx+ay= b

Chøng minh r»ng: a3+b3+c3 = 3abc

Bµi tËp 3:

Cho a, b, c lµ 3 sè kh¸c kh«ng tho¶ m·n:

a3b3+b3c3+c3a3=3 a2b2c2

Tính giá trị của biểu thức: P=

III/ KếT LUậN Và KIếN NGHị:

Bằng phơng pháp xây dựng các bài toán có cùng phơng pháp giải nh trên Tôi thấy học sinh pháp huy đợc tính tích cực, sáng tạo trong học tập, đến thời điểm này so sánh đối chứng với khảo sát ban đầu có kết quả nh sau:

Làm đợc Gợi ý làm đợc Không làm đợc

Khi cha thực

hiện đề tài

Khi thực

hiện đề tài

Khi thực hiện đề tài này thì số học sinh làm đợc bài toán khai thác tăng 10 em, số học sinh không làm đợc giảm 13

em

Trên đây là một số bài toán cho phơng pháp vận dụng

linh hoạt kết quả bài toán quen thuộc trong sỏch giỏo khoa chơng trình đại số 8 để rèn luyện cho học sinh cách học toán nhằm làm cho quá trình dạy

và học toán càng sáng tạo hơn và sinh động hơn, phát huy đợc tính tích cực sáng tạo của học sinh

Bài viết trên đây chắc chắn còn thiếu sót, rất mong

đợc sự góp ý trao đổi của các bậc thầy cô giáo và các bạn

đồng nghiệp để vấn đề trên hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!