Skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong chương trình toán 11

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1 Tên sáng kiến Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong chương trình toán 11 2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Á[.]

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất trong

chương trình toán 11

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng trong chương trình toán học phổ

thông nói chung, chương trình toán 11 nói riêng

3 Tác giả:

Họ và tên: Phạm Phương Anh

Năm sinh: 1976

Nơi thường trú: 10/28 Đường Thái Bình, TPNĐ, Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định

Điện thoại: 0915 029 248

4 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: THPT Trần Hưng Đạo - Nam Định

Địa chỉ: 75/203 - Trần Thái Tông – TP Nam Định

Điện thoại: 03503 847 042

1

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

LỜI NÓI ĐẦU

Phần kiến thức về Tổ hợp và Xác suất học sinh được học trong chương trình

toán lớp 11 Đây là một trong các mảng kiến thức Toán học hiếm hoi mà khihọc, học sinh có thể liên hệ ngay với thực tiễn, ứng dụng trong cuộc sống để tìmtòi lời giải hoặc giải quyết được các vấn đề mình gặp phải

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Do đặcthù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt sovới các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, khi đứng trước một bàitoán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,thậm chí có nhiều em làm xong cũng không dám chắc kết quả mình đã tìm ra cóđúng không

Theo lộ trình đổi mới trong phương thức thi THPTQG, Bộ GD-ĐT đã quyếtđịnh môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm, từ năm học 2016-2017 Đến nămhọc 2017-2018 trở đi, phần kiến thức lớp 11 sẽ có trong các câu hỏi của đề thi.Xác suất – tổ hợp là một trong các phần kiến thức quan trọng trong chương trìnhToán 11, rất có nhiều khả năng trong đề thi THPTQG sẽ được hỏi đến.Với mongmuốn giúp các em học sinh tự tin khi giải các bài toán xác suất, tránh để bị mất

điểm khi làm bài thi, tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán

xác suất trong chương trình toán 11 ”

3

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Biến cố và phép thử

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả

của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C và cho dưới dạng

mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

+ Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).

+ Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

- Phép toán trên các biến cố

Cần chú ý rằng các biến cố đang xét cùng liên quan đến một phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng

 Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A xảy

ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

 Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B.

 Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B.

 Nếu AB   thì ta nói A và B là xung khắc.

 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cốkia

A.Và

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

2 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Việc biến cố ngẫu nhiên có xảy ra hay không trong một phép thử là điều

ta không thể biết trước Tuy nhên bằng những cách khác nhau ta có thể xác địnhkhả năng xuất hiện của biến cố; đó chính là xác suất của biến cố

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử T chỉ có một số hữu hạn

kết quả đồng khả năng xuất hiện

Ta gọi tỉ số n  A  là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P A :

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi PAB  PA PB

5

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

B THỰC TRẠNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH KHI HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Khi bắt đầu dạy học sinh lớp 11A7, 11B3 học chương II, toán Đại số - Giảitích 11, phần Tổ hợp - Xác suất, trong năm học 2016-2017, tôi nhận thấy các emthường lúng túng trong việc phân tích đề bài, xác định các biến cố không rõràng; vận dụng các tính chất về biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao, quy tắccộng và quy tắc nhân…không linh hoạt và còn nhầm lẫn

Nếu để các em tự tìm hướng giải, với các học sinh khá, giỏi có thể tìm ra đáp

số nhưng không yên tâm, không chắc chắn với kết quả của mình; với các họcsinh yếu, trung bình thường tìm kết quả không chính xác, hoặc thừa hoặc thiếu,đặc biệt với các bài toán dùng quy tắc đếm

Thực trạng trên khiến tôi hướng tới suy nghĩ cần phải phân loại các dạng câuhỏi, đưa ra một số “dấu hiệu thuật ngữ” đặc biệt để học sinh nhận diện yêu cầubài toán rõ ràng hơn, sử dụng phương pháp làm bài thích hợp, cho kết quả chínhxác, nhanh gọn hơn

C PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI

TOÁN XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 11

Dạng I: Dùng định nghĩa cổ điển của xác suất, quy về bài toán đếm

- Chú ý sử dụng các công thức tổ hợp kết hợp với hai quy tắc đếm cơ bản.

- Những bài có thể dùng phương pháp liệt kê, cần phân tích yêu cầu đề

để tránh thừa, thiếu trường hợp

- Chú ý những “dấu hiệu” đặc biệt để có thể hướng đến dùng biến cố đối.

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Bài toán 1 Một hộp đựng 20 viên bi gồm: 12 viên bi đỏ và 8 viên bi xanh Lấy

ngẫu nhiên ra 7 viên bi Tính xác suất để lấy được 7 viên bi có không quá 2 viên

- Gọi A là biến cố “lấy được 7 viên bi có không quá 2 viên bi đỏ”

+ Số bi đỏ lấy được phải bằng bao nhiêu? Số bi đỏ có thể là 0, 1, 2 viên; hãy

liệt kê các trường hợp

Bài toán 2 Cho một lục giác đều ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F

vào 6 thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầumút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

(Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích 11)

B là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai

thẻ là đường chéo của lục giác”

7

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Clà biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ

là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”

Bài toán 3 Một lớp học có 30 học sinh gồm 12 nam và 18 nữ, trong đó có một

nam sinh tên Minh Thầy chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh đi giao lưu Tính xácsuất để 4 học sinh được chọn có đủ nam và nữ và Minh không được chọn

n    9135

Bài toán 4 Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ.

Tính sác suất để chọn được 5 tấm thẻ lẻ, 5 tấm thẻ chẵn và trong đó chỉ có đúngmột tấm thẻ ghi số chia hết cho 10

Hướng dẫn giải:

- KGM: Dễ dàng tìm được có C 0

8

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

- Gọi A là biến cố “chọn được 5 tấm thẻ lẻ, 5 tấm thẻ chẵn và trong đó chỉ có

đúng một tấm thẻ ghi số chia hết cho 10”

+ Trong 30 tấm thẻ đã cho có bao nhiêu tấm thẻ lẻ, bao nhiêu tấm thẻ chẵn,

bao nhiêu tấm thẻ chia hết cho 10?

Bài toán 5 Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả cũ.

Ngày hôm qua nhóm tập lấy ra 3 quả để chơi, sau đó lại bỏ vào hộp Hôm nay

nhóm tập lại lấy ra 3 quả để chơi Tính xác suất để 3 quả lấy ra hôm nay đều

mới ( Một quả là mới nếu nó chưa được chơi lần nào)

Hướng dẫn giải:

- KGM: Cần xác định KGM theo hai hành động lấy bóng liên tiếp của ngày hôm

qua và hôm nay, mỗi ngày đều lấy 3 quả trong 10 quả

 n     C 1 C 1  1 4 4 0 0

- Gọi A là biến cố “3 quả lấy ra hôm nay đều mới”

Ta có thể thấy, việc chọn được bóng mới của ngày hôm nay phụ thuộc vào

việc chọn bóng của ngày hôm qua

+ Ngày hôm qua, khi lấy 3 quả để chơi có bao nhiêu quả bóng mới? ( Giả sử

có x quả bóng mới, x có thể là 0,1,2,3 quả)

+ Khi đó, để lấy bóng cho ngày hôm nay, trong hộp còn bao nhiêu quả mới?

Ngày hôm qua lấy được x quả mới và 3-x quả cũ, có C 6x .C4  x cách lấy Ngày hôm

nay còn 6-x quả mới, có C 6 x cách lấy 3 quả mới

9

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

- Dạng bài toán với đồng xu, xúc sắc có đặc trưng riêng, cần ghi nhớ

điểm đặc biệt khi xác định KGM sẽ đơn giản và dễ dàng + Mỗi đồng xu khi gieo có 2 khả năng xuất hiện (mặt sấp / mặt ngửa), gieo n đồng xu có 2n khả năng xuất hiện

+ Mỗi con xúc sắc khi gieo có 6 khả năng xuất hiện( số chấm có thể là một số tự nhiên từ 1 đến 6), gieo n con xúc sắc có 6n khả năng xuất hiện

Bài toán 1 Gieo 2 đồng xu cân đối một cách độc lập Tính xác suất

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Chọn đồng xu ngửa: có C 1  2 cách chọn, đồng xu còn lại phải là sấp: có 1

2

cách n A  2  PA 

n  A 

 1

n    2

- Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu sấp”

Nếu xét trực tiếp, ta hiểu thế nào là có ít nhất một đồng xu sấp? Có thể có 1

đồng sấp, 2 đồng sấp, 1 đồng sấp có thể là đồng thứ nhất hoặc đồng thứ hai…có nhiều trường hợp phải xét

Ta hướng đến biến cố đối B : Không có đồng xu nào sấp Khi đó cả hai đồng

a, Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa

b, Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa

Phân tích: Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần

xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa,hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa

Do vậy học sinh sẽ giải bài toán bằng cách liệt kê như sau:

Lời giải gợi ý:

Không gian mẫu: n    23  8

a) Xét biến cố đối của biến cố A:

A : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”

1 1

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Bài toán 3: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất 5 lần liên tiếp Tính xác suất

để có ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt sấp

Hướng dẫn giải:

Với bài toán này, ta nên dùng quy tắc đếm, hướng đến biến cố đối

- KGM: Mỗi lần gieo có hai khả năng xuất hiện Gieo 5 đồng xu có 2 5  3 2

khả năng  n    3 2

- Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt sấp”

Xét biến cố đối: A : Không có lần nào xuất hiện mặt sấp

Khi đó cả 5 lần xuất hiện mặt ngửa, chỉ có 1 cách

 n  A   1  P  A   1

Bài toán 4: Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu

tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại

a) Mô tả không gian mẫu

b) Tính xác suất:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Số lần gieo là năm”

C: “Số lần gieo là sáu”

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách

xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lầngieo Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo Giáo viên có thể gợi

ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:

o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phảigieo đồng tiền bao nhiêu lần?

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta

phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì

nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa

thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên Với câu

hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6 Từ đó học sinh có

thể xác định được không gian mẫu theo hướng liệt kê

Lời giải gợi ý:

a, Không gian mẫu:

Bài toán 5: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để

a, Số chấm xuất hiện là số nguyên tố

b, Số chấm xuất hiện không chia hết cho 3

c, Số chấm xuất hiện lớn hơn 4

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Bài toán 6: Gieo 3 con xúc sắc cân đối và đồng chất Tính xác suất để

a, Chỉ có một con xuất hiện mặt 6 chấm

b, Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc nhỏ hơn 16

Hướng dẫn giải:

- KGM: Gieo một con xúc sắc có 6 khả năng Gieo 3 con xúc sắc có 6 3 khả

năng  n    63 2 1 6

Đối với bài toán này, tùy theo mỗi câu hỏi ta sẽ sử dụng quy tắc đếm hoặc

liệt kê cho phù hợp

- Gọi A là biến cố: “Chỉ có một con xuất hiện mặt 6 chấm”

Học sinh có thể trả lời các câu hỏi gợi ý

+ Có biết con xúc sắc nào xuất hiện mặt 6 chấm?

+ Hai con còn lại có bao nhiêu khả năng xuất hiện?

 n  A   C 3  C 5 2 75 P A 

2 5

7 2

- Gọi B là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc nhỏ hơn16”

Kết quả thuận lợi cho B là một bộ thứ tự x; y;z trong đó x, y, z lần lượt là số

chấm xuất hiện trên mỗi con xúc sắc sao cho: x y z 1 6

Với câu này ta hướng dẫn học sinh dùng cách liệt kê Tuy nhiên liệt kê các

trường hợp thỏa mãn cho biến cố thì quá nhiều, ta có thể hướng dến biến cố đối

Khi đó biến cố đối B : tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc lớn hơn

hoặc bằng 16 Ta xét các bộ x ;y ;z : x y z  1 6

1 4

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Tính xác suất sao cho phương trình có nghiệm

( Bài 4 trang 74 sách Đại số và giải tích 11)

Hướng dẫn giải:

Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:

Không gian mẫu:    1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6  n     6

Gọi A l à biến cố: “Phương trình có nghiệm”

Ta đã biết phương trình x2 b x 2  0 có nghiệm khi   b2  8  0

Bài toán 8 Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ

1 đến 36 Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau Tính

xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả

1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2

Hướng dẫn giải:

Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số

phần tử của biến cố là tương đối lớn Ở đây ta sẽ biểu diễn tập hợp dưới dạng

tính chất đặc trưng để tính toán

1 5

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

- Một số các yêu cầu đặc biệt trong sắp xếp người và đồ vật

+ Xếp phần tử X luôn có mặt: phải ưu tiên chọn vị trí để xếp X trước + Xếp phần tử X xuất hiện k lần: cần chọn ra k vi trí để xếp X trước

tử là một nhóm, ưu tiên chọn vị trí và xếp nhóm này trước…

Bài toán 1 Trong đợt tập quân sự, tiểu đội 1 thuộc trung đội 11A7 có 11 chiến

sĩ gồm 7 nam và 4 nữ Theo lệnh của trung đội trưởng, tiểu đội chạy từ chỗ nghỉ

ra bãi tập và xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc Tính xác suất để

a, Tiểu đội trưởng đứng đầu hàng

b, Người đứng đầu và cuối hàng đều là nữ

Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán xác suất

- Gọi biến cố A: “Tiểu đội trưởng đứng đầu hàng”

Khi tiểu đội trưởng đứng đầu hàng, còn 10 người có bao nhiêu cách xếp?

 n  A   1 0 ! 



- Gọi biến cố B: “Người đứng đầu và cuối hàng đều là nữ”

Hai người nữ đứng đầu và cuối hàng là ai? Có bao nhiêu cách chọn? mấy cáchxếp tương ứng?

Còn lại 9 người xếp vào 9 vị trí ở giữa, có bao nhiêu cách?

Bài toán 2 Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo

hàng ngang Tìm xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích 11)

Hướng dẫn giải:

- KGM: Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàngngang?

 n     6 !

- Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xen kẽ nhau”

Để xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, taxét số học sinh nam và nữ bằng nhau, vậy có thể nam ngồi đầu hoặc nữ ngồi đầuđều được, đánh dấu vị trí cho nam và nữ rồi xếp

 n  A   3 ! 3 !  3 ! 3 !  7 2  P  A   1

- Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàngngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

1 7