Bài 12 Ước chung và ước chung lớn nhất Bài 109 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1) a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau 1; 5; 13; 15; 35; 53? b) Tìm ƯCLN(27, 156) c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó[.]
Trang 1Bài 12 Ước chung và ước chung lớn nhất Bài 109 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1):
a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau: 1; 5; 13; 15; 35; 53? b) Tìm ƯCLN(27, 156)
c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó tìm các ước chung của 424, 636
Lời giải
a) Ta có 15 = 3.5, 105 = 3.5.7
Khi đó Ư CLN(15, 105) = 3.5 = 15
Suy ra ƯC(15, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Vậy trong các số đã cho các số là ước chung của 15 và 105 là: 1; 5; 15
b) Ta có: 27 = 33, 156 = 22.3.13
Khi đó ƯCLN(27, 156) = 3
Vậy ƯCLN(27, 156) = 3
c) Ta có: 106 = 2.53, 318 = 2.3.53
Khi đó ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106
Ta có: 424 = 106.4, 636 =2.318
Mà ƯCLN(106, 318) = 2.53 = 106 nên ƯCLN(424, 636) = 2.106 = 212
Suy ra ƯC(424, 636) = Ư(212) = {1; 2; 4; 53; 106; 212}
Vậy ƯC(424, 636) = {1; 2; 4; 53; 106; 212}
Bài 110 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1):
a) Tìm tất cả các ước chung 18, 27, 30, từ đó tìm ước chung lớn nhất của chúng b) Tìm ước chung lớn nhất của 51, 102, 144, từ đó tìm ra ước chung của chúng
Lời giải
a) Ta có: Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18};
Ư(27) = {1; 3; 9; 27};
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
ƯC(18, 27, 30) = {1; 3}
Vậy ƯCLN(18, 27, 30) = 3
Trang 2b) Ta có: 51 = 3.17, 102 = 2.3.17, 144 = 24.34
ƯCLN(51, 102, 144) = 3
Suy ra ƯC(51, 102, 144) = Ư(3) = {1; 3}
Vậy ƯC(51, 102, 144) = {1; 3}
Bài 111 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1):
Một lớp học có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành các tổ sao cho số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất?
Lời giải
Vì số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau nên số tổ sẽ là ước chung của
27 và 18
Ta có: 27 = 33, 18 = 2.32
Suy ra ƯCLN(27, 18) = 32 = 9
ƯC(27, 18) = {1; 3; 9}
Do đó ta có ba cách chia lớp thành 1 tổ, 3 tổ và 9 tổ, ta có bảng sau:
Số tổ Số học sinh nam mỗi
tổ
Số học sinh nữ mỗi
tổ
Để số học sinh trong mỗi tổ là ít nhất thì ta chia lớp đó thành 9 tổ
Bài 112 (Trang 34 SBT Toán 6 tập 1):
Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?
Lời giải
Do số hàng dọc của mỗi khối là như nhau nên số hàng dọc sẽ là ước chung của 300, 276,
252
Hơn nữa cần xếp nhiều nhất thành các hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng nên
số hàng là ƯCLN(300, 276, 252)
Ta có 300 = 22.3.52, 276 = 22.3.23, 252 = 22.32.7
Trang 3ƯCLN(300, 276, 252) = 22.3 = 12
Vậy có thể xếp nhiều nhất học sinh của ba khối 6, 7 và 8 thành 12 hàng
Khi đó ở mỗi hàng:
+) Khối 6 có 300:12 = 25 học sinh
+) Khối 7 có 276:12 = 23 học sinh
+) Khối 8 có 252:12 = 21 học sinh
Bài 113 (Trang 34 SBT Toán 6 tập 1):
Tìm số tự nhiên a, biết:
a) 388 chia cho a thì dư 38, còn 508 chia cho a thì dư 18;
b) 1 012 và 1 178 khi chia cho a đều có số dư là 16
Lời giải
a) Ta có 388 chia cho a nên dư 38 nên 388 – 38 = 350 chia hết cho a (a > 38);
và 508 chia cho a thì dư 18 nên 508 – 18 = 490 chia hết cho a (a > 18)
Suy ra a là ước chung của 350 và 490
Ta có 350 = 2.52.7, 490 = 2.5.72
ƯCLN(350; 490) = 2.5.7 = 70
ƯC(350, 490) = Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}
Mà a > 38 nên a = 70
Vậy a = 70
b) Ta có 1 012 và 1 178 khi chia cho a đều có số dư là 16 nên 1 012 – 16 = 996, 1 178 –
16 = 1 162 chia hết cho a (a > 16)
Suy ra a là ước chung của 996 và 1 162
Ta có: 996 = 22.3.83, 1 162 = 2.7.83
ƯCLN(996, 1 162) = 2.83 = 166
ƯC(996, 1 162) = Ư(166) = {1; 2; 83; 166}
Vì a > 16 nên a ∈ {83; 166}
Vậy a ∈ {83; 166}
Bài 114 (Trang 34 SBT Toán 6 tập 1):
Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:
Trang 4a) n + 2 và n + 3;
b) 2n + 1 và 9n + 4
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(n + 2, n + 3)
Suy ra n + 2 chia hết cho d, n + 3 chia hết cho d
Ta có n + 3 = n + 2 + 1
Mà n + 2 chia hết cho d nên 1 chia hết cho d Do đó d = 1
Vậy n + 2 và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n
b) Đặt d = ƯCLN(2n + 1, 9n + 4)
Suy ra 2n + 1, 9n + 4 chia hết cho d Do đó 9(2n + 1) cũng chia hết cho d
Ta có 9(2n + 1) = 18n + 9 = 2(9n + 4) + 1
Mà 9n + 4 chia hết cho d nên 1 cũng chia hết cho d Do đó d = 1
Vậy 2n + 1, 9n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n
Bài 115 (Trang 34 SBT Toán 6 tập 1):
Tìm các số tự nhiên a, b, biết:
a) a + b = 192 và ƯCLN(a, b) = 24;
b) ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6
Lời giải
a) Vì ƯCLN(a, b) = 24 nên a = 24p, b = 24q với p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau
Thay a = 24p và b = 24q vào biểu thức a + b = 192 ta được:
24p + 24q = 192
24(p + q) = 192
P + q = 8
Do p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên ta có các cặp (p; q) tương ứng là: (1; 7), (7; 1), (3; 5), (5; 3)
+) Với p = 1, q = 7 thì a = 24, b = 168;
+) Với p = 7, q = 1 thì a = 168, b = 24;
+) Với p = 3, q = 5 thì a = 72, b =120;
Trang 5+) Với p = 5, q = 3 thì a = 120, b = 72
Vậy ta có các cặp (a, b) là: (168; 24), (24; 168), (72; 120), (120; 72)
b) Vì ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6p, b = 6q với p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau
Thay a = 6p và b = 6q vào biểu thức ab = 216 ta được:
6p.6q = 216
36pq = 216
pq = 6
Do p, q là các số tự nhiên và nguyên tố cùng nhau nên ta có các cặp (p; q) tương ứng là: (1; 6), (6; 1), (3; 2), (2; 3)
+) Với p = 1, q = 6 thì a = 6.1 = 6, b = 6.6 = 36;
+) Với p = 6, q = 1 thì a = 6.6 = 36, b = 6.1 = 6;
+) Với p = 3, q = 2 thì a = 6.3 = 18, b = 6.2 = 12;
+) Với p = 2, q = 3 thì a = 6.2 = 12, b = 6.3 = 18
Vậy ta có các cặp (a, b) là: (6; 36), (36; 6), (18; 12), (18; 12)
Bài 116 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1):
Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Gọi d = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b)
Suy ra 5a + 2b, 7a + 3b chia hết cho d
Do đó 7(5a + 2b), 5(7a + 3b) cũng chia hết cho d
Khi đó, ta có: 5(7a + 3b) - 7(5a + 2b) = 35a + 15b – (35a + 14b) = b chia hết cho d
Ta lại có 3(5a + 2b), 2(7a + 3b) cũng chia hết cho d
Khi đó, ta có: 3(5a + 2b) - 2(7a + 3b) = 15a + 6b – (14a + 6b) = a cũng chia hết cho d
Mà a và b nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Vậy 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 117 (Trang 33 SBT Toán 6 tập 1):
Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:
Trang 6a) 12 13 35; ; ;
120 134 213
234 1 221 2 133
1 170 3 663 31 995
Lời giải
a) Vì 24 chia hết cho 12 nên ƯCLN(12, 24) = 12
Khi đó 12 12 :12 1;
24 24 :12 2
Vì 39 chia hết cho 13 nên ƯCLN(13, 39) = 13
Khi đó 13 13:13 1;
39 39 :13 3
Vì 105 chia hết cho 35 nên ƯCLN(35, 105) = 35
Khi đó 35 35 : 35 1
105 105 : 35 3
b) Ta có 120 = 23.3.5, 245 = 5.72 nên ƯCLN(120, 245) = 5
Khi đó 120 120 : 5 24;
245 245 : 5 49
Ta có: 134 = 2.67, 402 = 2.3.67 nên ƯCLN(134, 402) = 2.67 = 134
Khi đó 134 134 :134 1;
402 402 :134 3
Ta có 852 chia hết cho 213 nên ƯCLN(213, 852) = 213
Khi đó 213 213: 213 1
852 852 : 213 4
c) Vì 1 170 = 234.5 nên chia hết cho 234 Do đó ƯCLN(234, 1 170) = 234
Khi đó 234 234 : 234 1;
1 170 1 170 : 234 5
Vì 3 663 = 1 221.3 nên chia hết cho 1 221 Do đó ƯCLN(1 221, 3 663) = 1 221
Khi đó 1 221 1 221:1 221 1;
3 663 3 663:1 221 3
Vì 31 995 = 2 133.15 nên chia hết cho 2 133 Do đó ƯCLN(31 995, 2 133) = 2 133
2 133 2 133: 2 133 1
31 995 31 995 : 2 133 15
Trang 7Bài 118 (Trang 34 SBT Toán 6 tập 1):
Một số học sinh nắm tay nhau xếp thành vòng tròn lớn tham gia hoạt động tập thể Thầy
An đi quanh vòng tròn và gắn cho học sinh một số thứ tự 1; 2; 3; 4; 5; … (Hình 4) và nhận thấy học sinh được gắn số 12 đối diện với học sinh được gắn số 30 Thầy tách các học sinh được gắn số từ 1 đến 12 vào nhóm 1 và từ 30 đến số cuối cùng vào nhóm 2 Thầy muốn chia các học sinh của mỗi nhóm vào các câu lạc bộ (số câu lạc bộ nhiều hơn 1) sao cho số học sinh ở từng nhóm của mỗi câu lạc bộ là như nhau
a) Thầy An có bao nhiêu cách để chia học sinh vào các câu lạc bộ
b) Số câu lạc bộ nhiều nhất mà thầy An có thể chia là bao nhiêu
Lời giải
a) Ta có học sinh được gắn số 12 đứng đối diện với học sinh được gắn số 30 nên đường thẳng nối hai số này sẽ chia số bạn trên vòng tròn thành hai phần bằng nhau Do đó số học sinh tham gia hoạt động tập thể là: (30 – 12).2 = 36 (học sinh)
Vì thầy An tách các học sinh được gắn số từ 1 đến 12 vào nhóm 1 và từ 30 đến số cuối cùng vào nhóm 2 nên nhóm 1 có 12 học sinh, nhóm 2 có 24 học sinh
Để chia 12 học sinh nhóm 1 và 24 học sinh nhóm 2 vào các câu lạc bộ ( số câu lạc bộ nhiều hơn 1) Số học sinh của từng nhóm của câu lạc bộ là như nhau nên số câu lạc bộ là ước chung của 12 và 24
Ta có: 12 = 22.3, 24 = 23.3
ƯCLN(12, 24) = 22.3 = 12
ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 12}
Vì số câu lạc bộ phải lớn hơn 1 nên có thể chia học sinh vào 2 câu lạc bộ, 3 câu lạc bộ, 4 câu lạc bộ và 12 câu lạc bộ
Vậy có 5 cách chia học sinh vào các câu lạc bộ
Trang 8b) Để số câu lạc bộ nhiều nhất thì số câu lạc bộ phải là ước chung lớn nhất của 12 và 24 Khi đó có thể chia thành nhiều nhất 12 câu lạc bộ