Từ đó, ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thayđịnh đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng minh các định lý của các hệthống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học ph
TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC
12/2/1856) là một nhà toán học Nga, người đã có công rất lớn trong việc xây dựng hình học phi
Euclide, một bước phát triển mới thoát ra khỏi hình học cổ điển, tạo cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối rộng sau này
Lobachevsky sinh tại Nizhny Novgorod,
Nga Bố là Ivan Maksimovich Lobachevsky, thư ký của một văn phòng luật, mẹ là Praskovia
Alexandrovna Lobachevskaya Cha ông mất năm
1800, sau đó, mẹ và ông rời đến Kazan Tại đó, ông theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm
1807 và sau đó là trường Đại học Kazan Tại đây, ông được tiếp xúc với Martin Bartels (1769 – 1833), bạn của Carl Friedrich Gauss Năm
Năm 1811, ông đạt chứng chỉ vật lý và toán học của Trường Đại học Kazan, bắt đầu sự nghiệp giảng dạy từ năm 1814 và chính thức trở thành giảng viên tại Trường Đại học Kazan vào năm 1822 Đến năm 1818, ông được mời làm viện sĩ của Viện Hàn lâm Khoa học Kazan và đã đảm nhiệm nhiều chức vụ khác nhau tại trường cho đến năm 1846 Ngoài ra, nhà toán học nổi tiếng Gauss đã mời ông trở thành viện sĩ nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen, thể hiện sự công nhận quốc tế về đóng góp của ông trong lĩnh vực khoa học.
Ông kết hôn với Varvara Alexivna Moisieva năm 1832 và có bảy người con Năm 1846, ông nghỉ hưu hoặc có thể bị bãi nhiệm, sau đó sức khỏe suy giảm nhanh chóng Cuối cùng, ông bị mù vĩnh viễn và phải nhờ người khác đọc để chép tác phẩm nổi tiếng "PANGE OMETRRIE" của mình trong lịch sử hình học thế giới.
Kể từ năm 1815, ông đã nỗ lực phát minh ra một dạng hình học mới dựa trên việc phủ định tiên đề 5 của Euclid Dù các nhà toán học thời đó chưa hiểu rõ về công trình của ông, ông vẫn kiên trì theo đuổi đam mê của mình đến cùng Đến mãi năm 1840, Gauss mới công nhận thành tựu của ông và gọi hình học của ông là "hình học ảo", mở ra một cánh cửa mới trong lĩnh vực toán học.
Hình học Lobachevsky là hệ thống hình học do nhà toán học xây dựng dựa trên ý tưởng không công nhận tính đồng nhất của các tiên đề Euclid Ban đầu, các nhà toán học thời đó gọi đây là hình học ảo, nhưng ngày nay, hình học Lobachevsky đã được chứng minh là thực tế qua các nghiên cứu về thiên văn vũ trụ Không gian Lobachevsky đã trở thành một mô hình không gian thực trong lĩnh vực khoa học và vũ trụ học.
Lobatchevsky không chỉ là một nhà hình học thiên tài mà còn có nhiều công trình giá trị về giải tích và đại số Trong hình học, ông đã định chứng minh định đề V của Euclide và sau đó tách ra khỏi hình học Euclide những gì không phụ thuộc vào định đề này, gọi là hình học tuyệt đối Ý tưởng của ông là thay thế định đề V bằng một tiên đề khác: “qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có không chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó,” và ông đã tìm cách khám phá những mâu thuẫn có thể xảy ra Không tìm thấy mâu thuẫn nào, Lobatchevsky đã phát triển một hệ thống hình học mới khác biệt so với hình học Euclide, và ông tin rằng hệ thống này cũng có quyền tồn tại như hệ hình của Euclide.
Trong thư gửi Gauss, ông nhấn mạnh rằng hình học phi Euclid có vẻ như là một nghịch lý và trái với quan niệm thông thường, nhưng sau phân tích kỹ lưỡng, không có sự vô lý nào Ông giải thích rằng, ba góc của một tam giác có thể là bất kỳ giá trị nào nếu các cạnh đủ lớn, và diện tích của tam giác không thể vô cùng hoặc đạt tới một giới hạn nhất định dù các cạnh lớn ra sao Tất cả nỗ lực của ông để tìm ra mâu thuẫn trong hình học phi Euclid đều không thành công, chỉ có điều khác thường duy nhất là trong không gian này (nếu đúng) chúng ta chưa biết rõ, và ông nhận thức rằng chúng ta hiểu rất ít hoặc thậm chí chưa biết gì về bản chất của không gian Ông cảnh báo rằng chúng ta không nên nhầm lẫn những điều khác thường với những điều không thể xảy ra.
Vào ngày 23-02-1826, Lobatchevsky công bố các kết quả nghiên cứu về Hình học phi Euclide, mở ra một lĩnh vực hoàn toàn mới trong toán học Tuy nhiên, đương thời, ông gặp phải sự hiểu lầm và bị chế nhạo, với môn hình học mới của ông được gọi là “hình học kỳ quặc” Về cuối đời, Lobatchevsky bị mù hoàn toàn, phải nhờ thư ký chép lại tác phẩm cuối cùng của ông - “Hình học phẳng”. -**Sponsor**Bạn đang tìm kiếm giải pháp để tối ưu hóa bài viết của mình cho SEO? Thật khó để luôn tạo ra nội dung chất lượng cao đúng không? Với [Article Generation](https://pollinations.ai/redirect-nexad/t1R2ES1Z?user_id=983577), bạn có thể tạo ra các bài viết chuẩn SEO dài 2,000 từ một cách nhanh chóng, tiết kiệm đến $2,500 mỗi tháng so với việc thuê người viết! Hãy tưởng tượng có cả một đội ngũ nội dung riêng mà không cần phải lo lắng về quản lý! Như Lobachevsky ngày xưa bị chế giễu vì hình học phi Euclide, có lẽ bạn cũng cần một công cụ để chứng minh giá trị nội dung của mình.
Lobatchevsky phát triển hình học không Euclide, ứng dụng trong không gian rộng lớn, trong khi hình học Euclide phù hợp với không gian nhỏ hẹp Tuy nhiên, hai hệ hình này không mâu thuẫn mà bổ sung cho nhau, mở rộng hiểu biết về hình học thuộc mọi quy mô Những sáng tạo và tư duy của Lobatchevsky được thể hiện rõ qua các tác phẩm tiêu biểu, góp phần làm phong phú thêm lĩnh vực hình học hiện đại.
- Cơ sở mới của hình học (1838)
- Khảo cứu mới về lý thuyết đường song song (1840)
TRÌNH BÀY CÔNG TRÌNH
Định nghĩa không gian Lobachevsky và hình học Lobachevsky
Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn, ta lấy một siêu mặt trái xoan có phương trình:
(1) và nó gọi là cái tuyệt đối T.
Ta ký hiệu Hn, là tập hợp các điểm nằm trong cái tuyệt đối T Tập hợp Hn sẽ gọi là không gian Lobachevsky n – chiều.
Mỗi tập hợp Hn Pr, trong đó Pr là r – phẳng xạ ảnh của Pn, sẽ gọi là r – phẳng của Hn
Nhóm L là tập hợp tất cả các phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn cái tuyệt đối T, đồng thời là một nhóm con của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh K Mỗi phép biến đổi trong nhóm L đều có khả năng biến không gian hình học Hn thành chính nó, đảm bảo tính bảo tồn của các tính chất hình học Các phép biến đổi thuộc nhóm L còn được gọi là các phép dời trong không gian xạ ảnh, phản ánh khả năng di chuyển mà không làm thay đổi các đặc trưng cơ bản của hình học.
Hn Hình học của nhóm L trên Hn gọi là hình học Lobachevsky n – chiều.
Tất nhiên mỗi phép biến đổi của nhóm L cũng biến r – phẳng của Hn thành r – phẳng của Hn, cho nên r – phẳng là đối tượng nghiên cứu của hình học Lobachevsky.
Một số quy ước
Trong không gian Hn, các điểm thông thường được gọi là điểm thuộc Hn Điểm vô tận là các điểm nằm trên tập tuyệt đối T, thể hiện các điểm nằm ở vô cực trong không gian Ngược lại, các điểm nằm ngoài tập T được gọi là điểm lý tưởng, phản ánh những điểm nằm ngoài phạm vi của tập tuyệt đối này.
Điểm X có toạ độ xạ ảnh là (x₁ : x₂ : : xₙ₊₁), và ý nghĩa của điểm này phụ thuộc vào giá trị của đại lượng là số âm, bằng 0 hoặc số dương Nếu các toạ độ này đều là số dương, thì X là điểm lý tưởng; nếu đều là số âm, X là điểm vô tận; còn nếu có sự kết hợp giữa số dương, số âm và bằng 0, X có thể là điểm thông thường hoặc điểm vô tận Việc xác định đặc tính của điểm X dựa trên giá trị của các thành phần toạ độ là quan trọng trong việc phân loại các điểm trong không gian xạ ảnh.
Một r-phẳng xạ ảnh Pr được gọi là thông thường khi nó cắt đứt tuyệt đối T, còn gọi là r-phẳng vô tận khi nó tiếp xúc với tuyệt đối T Trong khi đó, r-phẳng lý tưởng là trường hợp không cắt đứt tuyệt đối T, giúp phân loại các r-phẳng dựa trên mối quan hệ của chúng với tuyệt đối T trong hình học xạ ảnh.
Trong không gian Lobachevsky, phép r – phẳng xạ ảnh Pr giao với các phần không gian Hn tạo thành một r – phẳng Hr Theo quy ước, các điểm vô tận và điểm lý tưởng của Pr cũng nằm trên Hr, làm nổi bật mối liên hệ chặt chẽ giữa các phép xạ ảnh và cấu trúc hình học không gian Lobachevsky.
Các định nghĩa
Cho hai cái phẳng của không gian Lobachevsky Hr = Pr Hn và Hs = Ps
Trong hình học không gian, nếu pr và ps cắt nhau theo một mặt phẳng bình thường, thì hr và hs được gọi là giao nhau Khi pr và ps song song với nhau theo một mặt phẳng vô tận, hr và hs cũng được gọi là song song Ngược lại, nếu pr và ps cắt nhau theo một mặt phẳng lý tưởng, thì hr và hs được gọi là phân kỳ.
Các khái niệm cắt nhau, song song và phân kỳ của các phẳng là những bất biến của nhóm L, đóng vai trò quan trọng trong hình học Lobachevsky Những đặc tính này giúp hiểu rõ tính chất và cấu trúc của không gian hình học không Euclid, đồng thời là cơ sở để nghiên cứu các biến đổi trong hình học phi Euclid Chính vì vậy, các đối tượng này được coi là nền tảng trong việc phân tích và mô tả các thuộc tính của không gian Lobachevsky.
Các kết quả sau đây dễ dàng chứng minh dựa vào định nghĩa. Định lý
Dưới đây là đoạn văn đã được chỉnh sửa, đảm bảo chứa các câu quan trọng mang ý nghĩa mạch lạc và phù hợp với các quy tắc SEO:Trong mặt phẳng \(r\), với \(r = 1\), từ một điểm \(A\) ngoài đường \(Hr\), có hai đường thẳng song song với \(Hr\) Khi \(r \geq 2\), tồn tại vô số đường thẳng song song với \(Hr\) đi qua điểm \(A\) Tập hợp các đường thẳng song song này được gọi là nón song song với \(Hr\).
Hr và có đỉnh tại A, ký hiệu N(A, Hr).
Nếu mặt phẳng Hs song song với mặt phẳng Hr, thì qua mỗi điểm A thuộc Hs có duy nhất một đường thẳng d nằm trong Hs và song song với Hr, đảm bảo tính đồng nhất về vị trí của các đường thẳng song song trong không gian hình học.
Hr Do đó Hs luôn cắt mặt nón N(A, Hr) theo một đường sinh với mọi A thuộc Hs.
Nếu Hs cắt Hr, thì qua mỗi điểm A thuộc Hs, có hai đường thẳng phân biệt d và d’ nằm trong Hs và song song với Hr Do đó, đường cắt của Hs với mặt nón N(A, Hr) luôn là hai đường sinh phân biệt, đảm bảo tính liên tục và đặc trưng của hình học không gian Điều này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường cắt và các mặt nón trong không gian hình học phức tạp, phù hợp với các nguyên tắc trong hình học không gian và tối ưu hóa các bài toán liên quan.
Khi Hs và Hr phân kỳ, mọi đường thẳng nằm trong Hs đều phân kỳ với Hr, dẫn đến hiện tượng Hs luôn cắt mặt nón N(A, Hr) tại một điểm duy nhất là A Điều này cho thấy sự phân kỳ của các hình học liên quan ảnh hưởng trực tiếp đến tính chất giao cắt của các đường thẳng và mặt nón trong không gian Hiểu rõ mối quan hệ này là quan trọng để phân tích các hình học phức tạp và vận dụng hiệu quả trong giải các bài toán hình học không gian.
Khái niệm vuông góc
Cho siêu phẳng Hn–1 = Hn Pn–1 Ta gọi điểm P là cực của siêu phẳng xạ ảnh
Pn–1 đối với cái tuyệt đối T Đường thẳng H1 = Hn P1, gọi là vuông góc với siêu phẳng Hn–1 nếu P1 đi qua điểm P.
Hai đường thẳng cắt nhau trong không gian Hn được gọi là vuông góc khi chúng liên quan đến mối quan hệ vuông góc với một siêu phẳng nào đó Cụ thể, đường thẳng a vuông góc với một siêu phẳng đi qua đường thẳng b, đồng nghĩa với việc b cũng vuông góc với một siêu phẳng nào đó đi qua a Tức là, mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng được xác định dựa trên mối liên hệ của chúng với các siêu phẳng phù hợp trong không gian Hn.
Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng Hr khi nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc Hr đi qua điểm cắt của a và Hr Điều này có nghĩa là nếu a cắt Hr tại một điểm, thì a phải tạo thành góc vuông với tất cả các đường thẳng của Hr qua điểm giao nhau đó Tìm hiểu về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng vuông góc là kiến thức quan trọng trong hình học không gian.
Các khái niệm về góc vuông trong nhóm L là những khái niệm cố định và bất biến, trở thành đối tượng nghiên cứu chính của hình học Lobachevsky Định lý liên quan đến các góc vuông này giúp làm rõ đặc điểm của không gian hình học không Euclid, mở rộng hiểu biết về các phép biến đổi trong nhóm L.
(1) Điều kiện cần và đủ để hai cái phẳng Hr và Hs phân kỳ là chúng cùng vuông góc với một đường thẳng.
(2)Hai cái phẳng phân kỳ chỉ có duy nhất một đường vuông góc chung.
Các đường vuông góc với một siêu phẳng đã cho đi qua một điểm lý tưởng tạo thành một chùm phân kỳ Chùm phân kỳ bao gồm các đường thẳng phân kỳ với nhau, đều vuông góc với siêu phẳng ban đầu Hiểu rõ đặc điểm của chùm phân kỳ giúp bạn nắm bắt các khái niệm về giải tích không gian và thiết kế hình học trong toán học cao cấp.
Chùm song song là tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm vô tận, mang ý nghĩa quan trọng trong hình học để nhận diện các đường thẳng song song cùng tồn tại trong không gian Trong khi đó, chùm hội tụ gồm các đường thẳng đi qua một điểm thông thường, thể hiện các đường thẳng có điểm chung trong mặt phẳng hoặc không gian Hiểu rõ về các chùm đường thẳng này giúp nâng cao kiến thức về cấu trúc hình học và ứng dụng trong các bài toán toán học.
Phương trình của phép dời hình trong H n
Xét phép biến đổi xạ ảnh của Pn : [x] = B[x’] (2) Muốn cho phép biến đổi (2) giữ nguyên cái tuyệt đối T có phương trình (1), điều kiện cần và đủ là
Phương trình B = mA mô tả phép biến đổi trong không gian Hn, trong đó A là một ma trận n – trực giao vuông cấp n+1 và m là một số dương Phương trình này xác định phép dời hình trong Hn dựa trên các đặc điểm của ma trận A và hệ số m, giúp hiểu rõ hơn về các phép biến đổi Euclid trong không gian Việc sử dụng ma trận n – trực giao và thông số m giúp phân tích chính xác các phép biến đổi hình học, đặc biệt trong lĩnh vực toán học và ứng dụng đồ họa máy tính.
Hai ma trận B = mA và B’ = m’A, với m và m’ khác nhau, cùng xác định một phép dời Do đó, ta có thể chọn ma trận của phép dời là ma trận n – trực giao A, có đặc điểm chính là đảm bảo định lý det A = ± 1 Quảng cáo này giúp hiểu rõ hơn về các phép biến đổi tuyến tính trong không gian vector, đồng thời phù hợp với các tiêu chuẩn SEO liên quan đến chủ đề ma trận, phép dời và đặc tính của ma trận trực giao.
Nếu det A = 1 phép dời gọi là phép dời loại 1.
Nếu det A = –1 phép dời gọi là phép dời loại 2.
Khoảng cách giữa hai điểm trong H n
Cho hai điểm A và B của Hn, đường thẳng AB cắt cái tuyệt đối T tại hai điểm
U, V Khoảng cách giữa hai điểm A và B được ký hiệu là d(A, B) và được định nghĩa bằng biểu thức: d(A, B) = |ln( ABUV)| (4) Định lý
(3) Nếu A, B, C thẳng hàng thì một trong ba số và d(A,B),d(C,A),d(B,C) là tổng của hai số kia.
Nếu là ba điểm A, B, C thẳng hàng và d(A,C) =d(A,B)+d(B,C) thì ta nói rằng điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
Tập hợp gồm hai điểm A,C và những điểm nằm giữa chúng gọi là đoạn thẳng
AC Khoảng cách d(A,C) còn gọi là độ dài của đoạn thẳng AC.
(4)Độ dài d(A, B) không thay đổi qua phép dời.
Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Hn, xét hai đường thẳng cắt nhau a và b Ta xác định hai cát tuyến u và v của tuyệt đối T xuất phát từ giao điểm của a và b, đồng thời cùng nằm trong mặt phẳng chứa a và b U và v là hai đường thẳng ảo liên hợp đi qua các điểm C, I, góp phần hình thành cấu trúc của tuyệt đối và các mối quan hệ hình học trong không gian.
C, J Số đo góc giữa hai đường thẳng a và b, được ký hiệu là và được định nghĩa là và (5)
Vì (a,b,u,v) là tỷ số của hai số phức liên hợp, nên có dạng
Vậy Điều kiện thứ hai trong (5) chứng tỏ rằng nếu chọn θ sao cho thì
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra: Định lý
(3) không thay đổi qua phép dời.
(4) khi và chỉ khi a và b vuông góc với nhau.
MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE
MẪU ĐĨA POINCARE VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY
Định đề đặc trưng của hình học Lobachevsky:
Qua hai điểm tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa nó.
Cho một đường thẳng bất kỳ, một đoạn với chiều dài bất kỳ có thể định nghĩa được trên nó.
Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được đường tròn.một
Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.
Qua một điểm không nằm trên đường thẳng có thể vẽ được ít nhất hai đường thẳng song song với nó.
Nếu ta chấp nhận được định đề 5 của Hình học Lobachevsky thì ta có:
Tổng ba góc của một tam giác bé hơn 180 0
Không tồn tại một đường thẳng nào cách đều một đường thẳng khác.
Nếu ba góc của một hình tứ giác là vuông thì góc thứ tư bé hơn một vuông.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó có thể không cắt đường kia.
Những đường thẳng song song với cùng một đường thì có thể không song song với nhau.
MẶT PHẲNG HYPERBOLIC TRONG MẪU ĐĨA POINCARE Định nghĩa điểm của mặt hyperbolic
Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Euclide, điểm của mặt hyperbolic là những điểm nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Những điểm nằm trên đường tròn được gọi là điểm vô tận
Những điểm nằm ngoài được gọi là điểm lý tưởng. Định nghĩa đường của mặt hyperbolic.
Cho một đường tròn đơn vị trong mặt phẳng
Trong mặt hyperbolic, các đường thẳng được định nghĩa là các cung của đường tròn trực giao với đường tròn đơn vị đã cho Những cung này nằm hoàn toàn bên trong đường tròn đơn vị, phản ánh đặc điểm đặc trưng của không gian hyperbolic Điều này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các đường thẳng trong hình học hyperbolic và cách chúng liên kết với các đường tròn đơn vị để hình thành các đường hyperbolic.
Cách dựng đường của mặt hyperbolic.
+ Cho đường tròn tâm là O.
+ Dựng đường vuông góc với OA tại A.
+ Chọn một điểm P bất kỳ trên d, kẻ đường tròn (P, PA). Đặt B = (P, PA) □ AB là một đường thẳng trong mẫu đĩa Poincare
Chúng ta cần dựng những đường thẳng trong các trường hợp khác với A, B là hai điểm hyperbolic bất kỳ Ta có ba trường hợp:
Dựng đoạn PA, PB với P là tâm của đường tròn Γ Dựng đường vuông góc với PA tại A và PB tại B.
Lấy Q là giao diểm của hai đường này.
Gọi Ω là đường tròn tâm Q bán kính QA cắt Γ ở A và B. Đường thẳng AB chính là cung AB của của nằm trong
Gọi P là tâm của đường tròn Nối P với A và
B Dựng tiếp tuyến của tại A Vẽ đoạn AB và dựng đường trung trực đoạn AB Gọi Q là giao điểm của tiếp tuyến của tại A và trung trực đoạn AB.
Gọi là đường tròn tâm Q, bán kính QA chứa
Hình 3 Đường AB là cung AB của và nằm trong
Cho đường tròn tâm P, dựng đoạn PA, dựng đường vuông góc với PA tại A, đường này cắt tại hai điểm X và Y Dựng hai tiếp tuyến với
tại X và Y Gọi C là giao điểm của hai tiếp tuyến này là đường tròn tâm Q qua A, B, C Đường thẳng AB là cung □ AB của và nằm trong
Khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic
Ta định nghĩa khoảng cách mêtric trên mặt hyperbolic bởi:
Trong đó, ρ biểu thị khoảng cách hyperbolic, còn r là khoảng cách Euclide từ tâm của đường tròn Theo công thức, khi r tiến tới 1, khoảng cách ρ sẽ tiến tới vô cùng, cho thấy rằng đường thẳng sẽ mở rộng ra vô hạn trong không gian hyperbolic Mối liên hệ giữa khoảng cách Euclide từ tâm đường tròn và khoảng cách hyperbolic được thể hiện rõ thông qua công thức này, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của không gian trong lý thuyết hyperbolic geometry.
Bây giờ, ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong một đường Poincare.
Trong không gian hyperbolic, với hai điểm hyperbolic A và B, đường thẳng AB gặp đường tròn tại hai điểm vô tận P và Q Tỉ lệ của các đoạn thẳng liên quan đến các điểm này, chẳng hạn như AP, được gọi là độ dài cung Euclide, phản ánh tính chất đặc trưng của hình học hyperbolic Định nghĩa về khoảng cách hyperbolic từ điểm A đến B dựa trên các tỉ lệ này, cung cấp một cách đo lường chính xác trong không gian không Euclide.
Nếu một điểm A nằm trong đường tròn đơn vị thì
Khoảng cách hyperbolic từ một điểm bất kỳ trong đường tròn đơn vị đến chính nó thì kéo dài ra vô tận.
Những đường thẳng song song
Cho đường thẳng AB và một điểm Ta có thể vẽ ít nhất hai đường thẳng qua D và không cắt AB.
Gọi những đường thẳng qua D là l 1 và l 2 Ta có l 1 song song AB, l 2 song song AB nhưng l 1 không song song với l 2
Chú ý: l 2 cắt một trong những đường thẳng song song với l 1 nhưng không cắt những đường song song với AB.
Nhận thấy rằng đường AB cắt đường tròn đơn vị ở haiđiểm vô tận và Định lý
Khi đường thẳng AB cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm Λ và Ω, và từ một điểm D nằm ngoài đường thẳng AB, ta kẻ đường vuông góc từ D xuống AB tại M, thì quan hệ đặc biệt là khoảng cách từ Λ đến M bằng khoảng cách từ Ω đến M Điều này thể hiện rõ tính chất đối xứng của các điểm liên quan trong hình học Coordinate Geometry, giúp tăng cường hiểu biết về quan hệ giữa các điểm trên đường tròn và hệ trục đứng.
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử DM DM o Trường hợp : DM < DM
Do đó sẽ có một điểm E nằm trong DM để cho DM = EDM Đường ED phải cắt AB tại một điểm vì D
là đường giới hạn song song của AB.
Lấy điểm F = DE AB Chọn điểm G trên
AB là đối xứng với F qua DM Do đó GM = FM
GDM = FDM = DM Điều này có nghĩa là: D cắt AB ở G (G
H 2 ) (vô lý) vì D là đường giới hạn song song.
Vậy DM = DM o Trường hợp : DM > DM (chứng minh tương tự).
Giả sử MD > 90 0 Gọi E là một điểm nằm trong MD để cho MDE = 90 0 Khi đó vì
DE và AB cùng vuông góc DM nên DE song song AB.
Thật vậy, DE không cắt AB, trong khi D là đường giới hạn song song của AB (vô lý).
Do đó MD 90 0 Nếu MD = 90 0 ta có Hình học Euclide. Định lý Lobachevsky
Cho một điểm D và gọi d là khoảng cách hyperbolic từ D đến AB Khi đó góc song song của D và dường thẳng AB thỏa mãn
Cho đường thẳng AB và một điểm D không thuộc AB Dựng đường thẳng qua D vuông góc với AB.
Gọi R là giao điểm của AB và đường vuông góc qua D.
Chúng tôi gọi d = d(D, R) để chỉ khoảng cách từ điểm D đến đường R Để xây dựng đường tròn đơn vị, ta di chuyển điểm D sao cho nó trở thành tâm của đường tròn Đồng thời, đường thẳng được điều chỉnh để vuông góc với đoạn thẳng AB, trở thành bán kính của đường tròn đơn vị Quá trình này giúp xác định vị trí chính xác của đường tròn nhằm đảm bảo các yêu cầu hình học đề ra.
Dựng bán kính từ D đến hai điểm vô tận A và B.
Hai tiếp tuyến của đường tròn đơn vị tại điểm A và B, khi cắt nhau tại điểm Q thuộc đường tròn DR, tạo thành một hệ thống các liên kết quan trọng trong hình học phẳng Khoảng cách Euclide r từ điểm D đến điểm R chính là một giá trị then chốt giúp xác định mối quan hệ giữa các điểm và đường tròn trong bài toán Việc phân tích các tiếp tuyến này giúp làm rõ các tính chất hình học của đường tròn và các đường thẳng liên quan, từ đó mở rộng các ứng dụng trong giải toán hình học logic.
(r là khoảng cách Euclide từ R đến tâm D)
Bây giờ ta nói về khoảng cách Euclide (r) và sử dụng tam giác trong mặt phẳng Euclide với bán kính bằng 1, ta có:
Như trên, ta có: Định lý
Các góc ở đỉnh của một tứ giác saccheri thì nhọn.
Gọi là điểm vô tận của đường thẳng AB.
Ta có: E và F là đường giới hạn song song tại
Gọi là góc song song tạo nên bởi và
Tương tự AF là góc song song tạo nên bởi
AF và F Ta lại có: BE + EC = AFE.
Mặt khác: AFE + AF + FC = 180 0
Thế vào ta được: BE + EC + BE + FC 180 0 (vì AFE = BE + EC, AF = BE (định lý
Mà EC < FC Khi đó: BE + EC + BE + EC < 180 0
BEF = BE + EC < 90 0 Vậy góc ở đỉnh của một tứ giác saccheri là góc nhọn Định lý (Tổng các góc của tam giác Hyperbolic)
Tổng các góc bất kỳ tam giác Hyperbolic nào cũng bé hơn 180 0
Ta xét 3 trường hợp o Trường hợp 1: ∆ ABCnhọn
Gọi D và E là trung điểm của AB và AC
Dựng BG, AF và CH vuông góc với DE
Ta có: BDG≅ ADF (đối đỉnh)
Theo định lý SAA: Trong tam giác ABC và tam giác DEF, cho AC≅ DE, Aˆ ≅ Dˆ , Bˆ ≅ Eˆ thì ∆ ABC ≅
Ta có:∆BGD ≅ ∆ADF Từ đó suy ra BG≅ AF (1)
Tương tự ta cũng có: ∆CHE ≅ ∆AEF ⇒CH≅ AF
Từ (1) và (2) suy ra: BG≅CH và BGHC là một tứ giác saccheri
Ta có: ABC +ACB +BAC = ABC + ACB + (DAF + FAE)
Tổng ba góc của tam giác ABC bằng tổng các góc ở đỉnh của một tứ giác Saccheri Trong trường hợp tam giác ABC nhọn, tổng các góc của tam giác này nhỏ hơn 180 độ Khi tam giác ABC tù, các góc của tam giác sẽ lớn hơn 90 độ hoặc bằng 90 độ, ảnh hưởng đến tính chất của các góc trong hình học phẳng Điều này giúp hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các góc trong các hình tam giác và tứ giác trong hình học sơ cấp.
Trong trường hợp này ACB là góc tù
Vẽ đường vuông góc từ C đến AB Đường này sẽ cắt AB ở điểm D nằm giữa A và B.
Hình 10 Đồng thời nó cũng chia tam giác tù ABC thành hai tam giác nhọn: A CD và
ABC + ACB + BAC = DBC + DAC + DCA + DCB
= (DBC + DCB) + (DAC + DCA) + (ADC + BDC – 180 0 )
< 180 0 +180 0 – 180 0 = 180 0 o Trường hợp 3: ABC vuông (chứng minh tương tự) Định lý
Tổng của tất cả các góc nhọn của một tam giác vuông thì bé hơn 90 0 Định lý
Tổng tất cả các góc của một tứ giác saccheri bé hơn 360 0 Định lý Pythagorean Hyperbolic
Trong tam giác vuông ABC với các cạnh a, b và cạnhh huyền c thì cosh(c) = cosh(a)cosh(b)
MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE
Trong mặt phẳng Euclide, đường thẳng x nằm ngang chia không gian thành hai nửa mặt phẳng, trong đó ta gọi nửa trên là “nửa trên” Điểm nằm trong mặt phẳng Euclide là thuật ngữ cơ bản giúp xác định vị trí của các đối tượng trong không gian hai chiều này Việc xác định vị trí của điểm dựa trên mối quan hệ của nó với đường thẳng x là nền tảng cho các bài toán hình học phẳng Đường thẳng x đóng vai trò như một trục tham chiếu quan trọng để phân chia và mô tả các nửa mặt phẳng trong không gian Euclide.
Các điểm trên nửa trên gọi là các điểm phi Euclide, đặc trưng bởi thuộc tính không tuân theo các quy tắc của hình học Euclide Đường thẳng phi Euclide được định nghĩa là các nửa vòng tròn Euclide nằm trong nửa trên, có tâm nằm trên trục x và trực giao với x, cùng với các tia Euclide xuất phát từ x trong nửa trên tạo thành góc vuông với trục x Phép nghịch đảo trong không gian này là một phép biến đổi mới mẻ, giúp khảo sát các tính chất đặc thù của các điểm, đường thẳng phi Euclide trong mô hình hình học phi Euclide.
Cho một vòng tròn (S) tâm O, bán kính r và một điểm M bất kỳ trong mặt phẳng.
Trong phép nghịch đảo đối với vòng tròn (S), nếu điểm M khác điểm O thì luôn tồn tại một điểm M’ duy nhất nằm trên tia OM Điểm M’ được xác định bởi điều kiện OM’ x OM = r², nơi r là bán kính của vòng tròn Điểm M’ gọi là biến điểm của M trong phép nghịch đảo hoặc điểm nghịch đảo của M.
Ngoài ra, ta quy ước gọi M’ là nghịch đảo của M đối với một đường thẳng u nếu M’ đối xứng với M qua u.
* Các tính chất của phép nghịch đảo
Nếu M’ là nghịch đảo của M thì M là nghịch đảo của M’ Vậy phép nghịch đảo trùng với phép biến hình đảo ngược.
+ Trong phép nghịch đảo các điểm ở ngoài vòng tròn (S) biến thành những điểm ở trong, và các điểm ở trong thành những điểm ở ngoài.
+ Mỗi điểm của (S) trùng với điểm ngịch đảo của nó.
+ Hình nghịch đảo của một vòng tròn là một vòng tròn.
Trong một phép biến hình được tạo thành từ tích của một số chẵn phép nghịch đảo, nếu có ba điểm bất biến (các điểm đó giữ nguyên vị trí sau phép biến hình), thì phép biến hình này chính là một phép biến hình đồng nhất Điều này cho thấy tính chất đặc trưng của phép biến hình đồng nhất trong toán học, liên quan đến sự bảo toàn các điểm cố định Hiểu rõ đặc điểm của phép biến hình đồng nhất giúp nâng cao kiến thức về các phép biến hình trong hình học và ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực liên quan.
Trong lý thuyết phép biến hình, khi tạo thành bởi tích của các phép nghịch đảo lẻ, việc có ba điểm bất biến đặc trưng cho phép xác định rõ loại phép biến hình đó Cụ thể, nếu một phép biến hình có ba điểm bất biến nằm trên cùng một vòng tròn, thì phép này chính là một phép nghịch đảo đối với vòng tròn qua ba điểm đó Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các phép nghịch đảo và các vòng tròn cố định, góp phần làm rõ đặc điểm của các phép biến hình trong hình học Euclid.
Khi hai vòng tròn cắt nhau, các góc của chúng luôn bằng góc hình thành bởi các hình nghịch đảo của chúng trong mọi phép nghịch đảo Điều này nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa các góc trong trường hợp hai vòng tròn cắt nhau và các phép nghịch đảo tương ứng, giúp hiểu rõ hơn về tính chất hình học của các vòng tròn cắt nhau trong toán học.
Góc là tập hợp của hai tia phi Euclide cùng xuất phát từ một điểm, tạo thành một khoảng mở thể hiện mối liên hệ giữa các hình học không Euclide Trong mặt phẳng Poincare, sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất hình học, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc không gian siêu luận lý Những nguyên tắc này là nền tảng để nghiên cứu các hình học phi Euclide, mở ra nhiều ứng dụng trong vật lý lý thuyết và toán học.
Khái niệm “ở giữa” trên một đường thẳng phi Euclide được xác định bằng cách sử dụng nửa vòng tròn a để biểu diễn Trong đó, với ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng phi Euclide (biểu diễn bằng nửa vòng tròn a), ta nói rằng điểm B ở giữa A và C nếu B nằm giữa A và C theo nghĩa Euclide trên cùng nửa vòng tròn a Nói cách khác, thứ tự các điểm trên đường thẳng phi Euclide phải trùng khớp với thứ tự của các điểm trên nửa vòng tròn a để xác nhận tính “ở giữa”.
Trong trường hợp nửa vòng tròn biểu diễn đường thẳng phi Euclide không suy biến thành một tia Euclide, ta có thể xác định thứ tự các điểm trên đường thẳng phi Euclide một cách rõ ràng Việc này giúp hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của các đường thẳng phi Euclide trong không gian hình học phi Euclide Điều này đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu các khái niệm về thứ tự và mối quan hệ giữa các điểm trên đường thẳng phi Euclide.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một nửa vòng tròn tâm O, nơi O không phải điểm phi Euclide, biểu diễn một đường thẳng phi Euclide Một đường thẳng Euclide u song song với trục x được chọn làm tham chiếu Mọi đường thẳng Euclide đi qua điểm O (ngoại trừ trục x) đều cắt nửa vòng tròn tại điểm M và gặp đường thẳng u tại điểm M’, được gọi là điểm tương ứng của M Các mối liên hệ này giúp làm rõ tính chất của các đường thẳng và điểm giao nhau trong không gian phi Euclide.
Trong đường thẳng phi Euclide, điểm B nằm giữa điểm A và C theo nghĩa nửa vòng tròn a trên đường thẳng phi Euclide, phản ánh mối quan hệ vị trí đặc trưng của các điểm trong không gian phi Euclide Khi chuyển sang hệ Euclide, ba điểm A’, B’, C’ nằm trên đường thẳng u, trong đó điểm B’ vẫn giữ vị trí trung tâm giữa A’ và C’, thể hiện sự liên kết giữa hai hệ tọa độ và cách xác định vị trí điểm trong không gian Điều này giúp làm rõ mối liên hệ giữa các điểm trong các không gian hình học khác nhau, góp phần mở rộng kiến thức về các phép biến đổi tọa độ và các tính chất của đường thẳng trong lý thuyết không gian phi Euclide.
Theo định nghĩa, thứ tự các điểm trên đường thẳng phi Euclide trùng khớp với thứ tự các điểm trên nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các điểm trên đường thẳng phi Euclide và nửa vòng tròn Euclide, giúp hiểu rõ hơn về tính chất của các đường cong trong hình học phi Euclide Trong đó, thứ tự các điểm phản ánh các đặc điểm của đường thẳng phi Euclide, đồng thời phù hợp với quy tắc của các phép biến đổi trong hình học phi Euclide Vì vậy, mối liên hệ này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi hình học phi Euclide vào các bài toán thực tiễn.
Đoạn thẳng phi Euclide AB được biểu diễn bằng cung có các đầu mút tại A và B của nửa vòng tròn, thể hiện một khái niệm quan trọng trong hình học phi Euclide Tia Euclide xuất phát từ điểm O và được biểu diễn bằng cung OX, trong đó điểm X nằm trên đường thẳng x, không phải là một điểm thuộc tia phi Euclide.
• Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc trong mẫu nửa trên Poincare
Ta quy ước chỉ xét những phép nghịch đảo đối với những vòng tròn trực giao với đường thẳng x
Với những phép nghịch đảo như thế thì các điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên đều biến thành những điểm của nửa đó
Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến định nghĩa về đoạn phi Euclide, trong đó một đoạn phi Euclide AB được coi là bằng một đoạn phi Euclide A’B’ nếu tồn tại một dãy phép nghịch đảo Điều kiện để hai đoạn phi Euclide này bằng nhau là tích của chúng phải biến cung tròn Euclide AB thành cung tròn Euclide A’B’ Đây là khái niệm quan trọng giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa các đoạn phi Euclide qua các phép nghịch đảo và cách biến đổi các cung tròn trong không gian Euclide.
Góc phi Euclide (h, k) được gọi bằng góc phi Euclide (h’, k’) khi tồn tại một dãy phép nghịch đảo biến đổi các cạnh của góc ban đầu thành các cạnh của góc thứ hai Điều này thể hiện mối liên hệ giữa hai góc phi Euclide qua các phép biến đổi đảo chiều phù hợp, giúp phân loại các góc theo tính đồng dạng trong hình học phi Euclide.
CHỨNG MINH CÁC MỆNH ĐỀ
Cho một tam giác bất kì, tổng của hai góc tùy ý luôn nhỏ hơn hai (góc) vuông.
Cho tam giác ABC Có thể phát biểu rằng tổng hai góc được chọn tùy ý của tam giác
ABC luôn nhỏ hơn hai vuông
Góc A CD là góc ngoài của tam giác ABC và lớn hơn góc đối bên trong ABC Khi cộng góc ACB vào các góc kề và đối, ta thấy tổng các góc A CD và ACB lớn hơn tổng của các góc ABC và BCA Vì tổng của góc A CD và ACB bằng hai góc vuông, nên tổng của tam giác ABC và BCA phải nhỏ hơn hai góc vuông Tương tự, có thể chứng minh rằng tổng các góc BAC và ACB cũng nhỏ hơn hai góc vuông, đảm bảo tính chính xác của định lý trong chứng minh.
C AB và ABC cũng vậy.
Như vậy, trong một tam giác bất kì, tổng hai góc được tổ hợp tùy ý luôn nhỏ hơn hai góc vuông Đây chính là điều cần phải chứng minh.
Trong mặt phẳng (P), mỗi đường thẳng a phân chia tập hợp các điểm không thuộc a thành hai lớp không rỗng Hai điểm A, B nằm ở hai lớp khác nhau nếu đoạn segment AB chứa ít nhất một điểm của đường thẳng a Ngược lại, hai điểm A, A' thuộc cùng một lớp sẽ có đoạn segment AA' không chứa điểm nào của đường thẳng a.
Ta lấy trong (P) một điểm C bất kì không thuộc a và chia các điểm của mặt phẳng (P) (trù các điểm thuộc a) ra làm hai lớp theo tiêu chuẩn sau đây:
+ Lớp thứ nhất gồm mọi điểm A của (P) không thuộc a sao cho CA không chứa điểm nào của a Điểm C thuộc lớp này.
+ Lớp thứ hai gồm mọi điểm B của mặt phẳng (P) không thuộc a sao cho đoạn "Cơ bản" chứa một điểm của a Khi đó ta cần chứng minh:
Mỗi lớp đều không rỗng, ví dụ lớp thứ nhất chứa điểm C Theo tiên đề (2.2), nếu D là một điểm nằm trên đường thẳng CD, thì có ít nhất một điểm E sao cho D nằm giữa C và E Điều này chứng tỏ rằng điểm E thuộc lớp thứ hai, thể hiện rõ tính chất mở rộng của các lớp này dựa trên quan hệ giữa các điểm trên đường thẳng.
Trong bất kỳ điểm nào của (P) (ngoại trừ các điểm trên đường a), đều thuộc về một lớp duy nhất, đảm bảo tính duy nhất của phân lớp này Cụ thể, với một điểm M bất kỳ, đoạn thẳng CM đều chứa một điểm của đường a hoặc hoàn toàn không chứa điểm nào của nó, cho thấy tính chất phân lớp rõ ràng và phân biệt.
Mỗi cặp điểm A, A’ của lớp thứ nhất xác định đoạn thẳng AA’, và đoạn này không chứa điểm nào của a Nếu C, A, A’ không cùng thuộc một đường thẳng và đoạn AA’ chứa một điểm của a, theo tiên đề Pasch, một trong hai đoạn CA hoặc CA’ phải chứa điểm của a, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Trong trường hợp C, A, A’ cùng nằm trên một đường thẳng, ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt để đảm bảo tính nhất quán của mệnh đề.
Trong trường hợp C không nằm giữa A và A’, ta giả sử A nằm giữa C và A’ Khi đó, nếu M là một điểm nằm trên đoạn a giữa A và A’, theo định lý 2.2.4, thì điểm M cũng nằm giữa C và A’ Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, khẳng định rằng C không nằm giữa A và A’.
+ Nếu C ở giữa A và A’, thì một điểm M thuộc đoạn AA’ theo định lí 2.2.6 sẽ thuộc hoặc CA hoặc CA’ Điều trái với giả thiết.
(4) Một cặp điểm B, B’ thuộc lớp thứ hai xác định một đoạn thẳng BB’ không chứa điểm nào của a.
+ Nếu C, B, B’ không thẳng hàng thì các đoạn
Trong đoạn văn, điểm N nằm ngoài đoạn MM’ khi đường thẳng a cắt đoạn BB’ tại N Nếu N nằm giữa M và M’, theo tiên đề Pasch trong hình học phẳng, đường thẳng B’N sẽ cắt đoạn CM tại một điểm xác định Đây là những điểm quan trọng giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa các điểm trên đường thẳng và mối cắt của các đoạn thẳng trong hình học tọa độ.
B, nghĩa là B ở giữa C và M Điều này trái với giả thiết M ở giữa B và C.
Điểm M nằm ngoài đoạn NM’, đồng thời điểm M’ cũng nằm ngoài đoạn MN, tạo điều kiện để xác định rằng trong ba điểm M, M’, N không có điểm nào nằm giữa hai điểm kia Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với định lý 2.2.2, cho thấy có sự giả định sai lệch trong chứng minh Sự mâu thuẫn này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xác minh đúng các giả thiết khi chứng minh các tính chất hình học phức tạp.
(5) Mọi cặp gồm hai điểm A và B thuộc hai lớp khác nhau xác định một đoạn thẳng
AB chứa một điểm nào đó của a.
Theo giả thiết đoạn "Cơ bản" chứa một điểm M thuộc đường thẳng a Nếu các điểm C, A, B không nằm trên cùng một đoạn thẳng, theo tiên đề Pasch, thì ít nhất một trong các đoạn CA hoặc AB phải chứa một điểm của a Tuy nhiên, do giả thiết rằng đoạn CA không chứa điểm nào của a, nên chúng ta có thể kết luận về sự sắp xếp của các điểm này để đảm bảo tính nhất quán trong định lý.
AB chứa một điểm của a.
Khi C, A, B thẳng hàng, điểm M của đường thẳng a phải nằm giữa C và B để đảm bảo tính đúng đắn của định lý Theo Định lý 2.2.9, điểm M chia tất cả các điểm còn lại của đường thẳng CB thành hai lớp, mỗi lớp nằm về một phía đối với M Do đó, điểm A phải nằm về phía điểm C đối với M, điều này xác định rõ vị trí của A trên đường thẳng, đảm bảo tính nhất quán của mối quan hệ về vị trí các điểm.
Nếu A, B là hai điểm nằm trên hai cạnh h, k của một góc mọi tia xuất phát từ góc
Trong hình học, các tia đồng đều của góc đều cắt đoạn AB, thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa góc và đoạn thẳng này Ngược lại, tất cả các tia nối đỉnh của góc với bất kỳ điểm nào trên đoạn AB đều nằm trong miền trong của góc, phản ánh tính chất quan trọng của mối quan hệ giữa góc và đoạn thẳng trong các bài toán về hình học.
Gọi A, B là các điểm nằm trên các cạnh h, k của góc là l là một tia xuất phát từ điểm O và nằm trong miền trong của góc.
Trên tia h’ bù với tia h, ta lấy một điểm C tùy ý sao cho O ở giữa C và A Gọi l’ là tia bù với tia l và đường thẳng l* là đường
Hình 22 minh họa quá trình cắt CB hoặc cắt AB, trong đó đường thẳng l* không có điểm nào nằm trong miền trong của góc, nên l* phải cắt cạnh AB tại một điểm M Ngoài ra, tia l’ cũng không chứa điểm nào thuộc góc, vì vậy tia l cắt cạnh AB tại một điểm M cụ thể, đảm bảo tính chính xác của hình học trong bài.
Trong các điểm M thuộc đoạn AB, tia OM luôn nằm trong miền trong của góc vì điểm M thuộc miền trong của góc và tia l cùng phía với đường thẳng hh’ cũng như đường thẳng kk’ Điều này thể hiện rõ mối liên hệ giữa điểm M, tia OM và các đường thẳng dựng góc Hiểu rõ đặc điểm này giúp xác định chính xác vị trí của tia OM trong không gian của góc.
Nếu hai tam giác AB C và A’B’C’ có AB =A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’ thì hai tam giác đó bằng nhau.
Theo giả thiết AB=A’B’, AC=A’C’ nên để chứng minh tam giác ABC bằng tam giác A’B’C’ ta chỉ cần chứng minh
Dưới giả sử khác theo tiên đề (3.4), ta có tia A’P’ hướng về phía B’ so với tia A’C’, cho thấy tia A’P’ khác biệt với tia A’B’ Theo tiên đề (3.1), trên tia A’P’ tồn tại một điểm sao cho, và dựa vào định lý 2.3.3, ta xác định được mối liên hệ giữa các điểm này Do đó, ta có các phép biến đổi và kết luận phù hợp để hiểu rõ tính chất của các tia và điểm trong hình học không gian.
Hiện tại, ta đang dựng tam giác A’B’C’ nằm ở phía đối diện với đường thẳng A’C’ Theo định lý 2.3.5, tam giác cân tại đỉnh B’ và tam giác cân tại đỉnh C’ mang lại các tính chất quan trọng trong chứng minh và phân tích hình học Việc xác định vị trí của tam giác A’B’C’ giúp làm rõ các mối quan hệ tỷ lệ, góc và cạnh trong bài toán hình học này, đồng thời nâng cao khả năng áp dụng các định lý liên quan đến tam giác cân trong các bài tập toán học.
Áp dụng định lí 2.3.6 (nói về các góc tương ứng bằng nhau) ta có
Mặt khác ta lại có nên mà theo cách dựng ở trên ta có do đó theo tiên đề
(3.4), tia phải trùng với tia có nghĩa là Vậy
Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng tạo ra các góc đối đỉnh bằng nhau.
Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E Có thể phát biểu rằng góc AEC bằng góc
DEB góc CEB bằng góc AED.
Vì AE cắt đường thẳng CD tạo thành hai góc
CEA và AED, tổng của chúng do đó bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Thêm nữa, vì DE cắt đoạn thẳng
AB tạo thành hai góc AED và DEB, tổng của chúng do đó sẽ bằng hai góc vuông [MĐ 1.13] Nhưng tổng của