Các dạng bài tập toán lớp 7 bài (39)

DẠNG 3 TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU I LÝ THUYẾT 1 Tam giác cân a Định nghĩa Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh[.]

DẠNG 3: TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU

I LÝ THUYẾT:

1 Tam giác cân:

a Định nghĩa:

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau

Trên hình, tam giác ABC cân ở A (AB = AC), AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, B, C là các góc ở đáy, A là góc ở đỉnh

b Tính chất:

- Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau Ngược lại, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau

Tam giác ABC vuông cân tại A thì o

B= =C 45

2 Tam giác đều

Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

Tam giác ABC đều thì AB = AC = BC và o

A= = =B C 60

Hệ quả:

- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°

- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều

- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì tam giác đó là tam giác đều

II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 3.1: Cách vẽ tam giác cân, vuông cân, tam giác đều

1 Phương pháp giải:

Dựa vào các cách vẽ tam giác đã học và định nghĩa các tam giác cân, vuông cân,

đều

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại C có AB = 6 cm, AC = BC = 5cm

Giải: (Vẽ tương tự như cách vẽ tam giác thường biết độ dài ba cạnh)

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm

- Vẽ cung tròn tâm A bán kính 5cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm

- Hai cung tròn này cắt nhau tại C

- Nối CA, CB ta được tam giác ABC cần vẽ

Ví dụ 2: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC

- Nối B với C

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A

Ví dụ 3: Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 4 cm

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ

Dạng 3.2: Nhận biết một tam giác là tam giác cân, vuông cân, đều

1 Phương pháp giải:

Những dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, vuông cân, đều:

*Tam giác cân:

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (theo định nghĩa)

- Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân

*Tam giác vuông cân:

- Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (theo định nghĩa)

- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân

*Tam giác đều:

- Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau (theo định nghĩa)

- Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều

- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Tìm các tam giác cân, vuông cân, đều trên hình vẽ sau:

Giải:

(a) Áp dụng định lý góc ngoài trong tam giác ABC có:

o

A+ + =B C 180 o

C 180 A B

 = − −

C 180 50 65 65

ABC

B= =C 65

Do đó ABC cân tại A

(b) Ta có, HKF vuông tại H có K=45o

Nên HKFlà tam giác vuông cân tại H (1)

DEF=HKF=45

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HK // DE

Vì HK⊥HF, HK // DE

 ⊥ (Tính chất từ vuông góc đến song song)

Ta có, DEF vuông tại D có E=45o

Nên DEF là tam giác vuông cân tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra HKF, DEF là tam giác vuông cân

(c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác MNP có:

o

M+ + =N P 180 o

M 180 N P

 = − −

M 180 60 60 60

Ta có, MNP có o

M= =N P ( 60 )=

Do đó MNP là tam giác đều

Dạng 3.3: Sử dụng định nghĩa, tính chất tam giác cân, vuông cân, đều để suy

ra các đoạn thẳng, các góc bằng nhau

1 Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa và tính chất của tam giác cân, vuông cân, đều

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A (BC < AB) Trên cạnh AB lấy D sao cho CD

= CB

a) Chứng minh: ACB CDB

b) Trên tia đối của tia CA lấy E sao cho CE = AD Chứng minh BE = BA

Giải:

GT Cho ABC , AB = AC (BC < AB)

CD = CB (DAB)

CE là tia đối của tia CA: CE = AD

KL a) ACB CDB

b) BE = BA

a)  ABC cân tại A nên ABC ACB (1)

Vì BCDcân tại C (do CD = CB) nên CDB DBC ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ACB CDB

b) Ta có: o

o

Mà ACB CDB (câu a)

Do đó: ADC BCE

Xét  ADC và  ECB có:

CE = AD (gt)

ADC BCE (cmt)

CD = CB (gt)

Do đó:ADC= ECB (c.g.c)

BE AC

 = (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB (do tam giác ABC cân tại A)

Vậy BE = AB (đpcm)

Dạng 3.4: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc

1 Phương pháp giải:

Dựa vào định lý tổng ba góc của một tam giác và mối quan hệ giữa các cạnh, các góc trong tam giác đó

2 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A và tam giác đều BCD (D và A nằm khác

phía đối với BC) Tính số đo góc BDA

Giải:

GT ABC, AB=AC

BCD, BC BD CD

(D và A nằm khác phía đối với BC)

KL BDA=?

Xét ABD và ACD có:

AB = AC (ABCcân)

BD = CD (BCDđều)

Cạnh AD chung

Do đó: ABD= ACD (c.c.c)

1 2

 = (hai góc tương ứng)

Mặt khác,  BCDđều nên o

1 2

o

1 2

Vậy BDA=30o

III BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Câu nào đúng, câu nào sai? ( Đánh dấu x vào câu lựa chọn)

Đúng Sai a) Tam giác cân có một góc 45o là tam giác vuông cân

b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không

kề nó của tam giác đó

c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam

giác đó không phải là tam giác cân

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, có o

A 50 Tính các góc còn lại của tam giác

đó

Bài 3: Số tam giác cân ở hình sau là:

A 0

B 1

C 2

D 3

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A Lấy điểm E và F lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho BE = CF Chứng minh AEF là tam giác cân

Bài 5: Vẽ tam giác đều ABC có AB = AC = BC = 6cm

Bài 6: Tìm các tam giác cân trên hình vẽ sau:

Bài 7: Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại O Biết OC = AB

a) Chứng minh AEB OEC

b) Tính góc ACB

Bài 8: Tìm số đo x trên mỗi hình sau:

Bài 9: Cho ABC cân tại A Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao cho AH = AK Gọi O là giao điểm của BH và CK Chứng minh OBC và

OHK là các tam giác cân

Bài 10: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB,

vẽ các tam giác đều AMC và BMD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD,

CB Chứng minh: MEF là tam giác đều

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

Đúng Sai a) Tam giác cân có một góc 45o là tam giác vuông cân x b) Mỗi góc ngoài của 1 tam giác thì bằng tổng 2 góc không

kề nó của tam giác đó

x

c) Nếu tam giác có 1 cặp cạnh không bằng nhau thì tam

giác đó không phải là tam giác cân

x

Bài 3: Đáp án: C

Tam giác ABC cân tại A do AB = AC

Tam giác DEF cân tại D do o

E F 64 (tính toán được) Tam giác GIH không cân do o o o

G 58 , I 60 , H 72 Bài 4: Dễ dàng chứng minh được AE = AF

AEF cân tại A

Bài 5:

Cách vẽ:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm

- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 6 cm

- Hai cung tròn này cắt nhau tại A

- Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần vẽ

Bài 6:

a) ABD cân

b) ABE, ACD cân

c) ABC, ABD, BCD cân

Bài 7:

a) Xét AEB và OEC :

o

AEB BEC 90

ABE ECO (vì cùng phụ với góc A)

Do đó: AEB OEC (g.c.g)

b) Tam giác EBC vuông cân tại E: o

ACB 45 Bài 8:

a) x = 22,5o

b) x = 25o

Bài 9:

*Tam giác ABC cân tại A AB =AC

Mà AH = AK BK = HC

Ta chứng minh được BKC= CHB (c.g.c)

B KCB H C

OBC cân tại O

* Ta có: BH = CK, OB = OC

OH = OK

OHKcân tại O

Bài 10:

AMD =CMB (c.g.c)

DAM BAM, AD = CB, AE = CF

Có: MAE =MCF (c.g.c)

ME = MF, AME CMF

EMF 60

Mà MEF cân (do ME = MF)

MEF đều