Luyện tập trang 83 Bài 58 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2 Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác Lời giải + Xét ΔABC[.]
Trang 1Luyện tập trang 83
Bài 58 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác
vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác
Lời giải:
+ Xét ΔABC vuông tại A
Vì AB ⏊ AC nên suy ra AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC
Mà AB cắt AC tại A nên suy ra A là trực tâm của tam giác vuông ABC
Vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC có góc A tù, các đường cao CF, BE (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H
H
C B
A
Trang 2+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó:
CAE;CAB là các góc tù
Trong tam giác ACE có:
CAE+ACE+CEA +90 ACE 90+
CAE+ACE+CEA 180 +ACE
Vậy giả sử đã cho là sai Do đó E nằm ngoài hai điểm A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB
⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC Vậy trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác
Bài 59 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Cho hình 57
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ
D
E
C
B A
Trang 3Lời giải:
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S nên suy ra S là trực tâm của ΔMNL
Vì ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm nên suy ra NS là đường cao của tam giác MNL Suy ra SN ⊥ ML
b)
Xét ΔNMQ vuông tại Q ta có:
LNP+QMN= 90 QMN= −90 LNP= − =90 50 40
Xét ΔMSP vuông tại P ta có:
MSP+PMS 90= MSP= −90 PMS 90= − = 40 50
Vì MSP và PSQ là hai góc kề bù nên ta có:
MSP+PSQ 180= PSQ 180= −MSP 180= − =50 130
Bài 60 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J,
K (J ở giữa I và K)
Trang 4Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J Trên l lấy điểm M khác với điểm J Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N
Chứng minh KN ⊥ IM
Lời giải:
Xét tam giác MIK ta có:
MJ ⊥ IK (do l ⊥ d tại J)
IN ⊥ MK
Mà IN và MJ cắt nhau tại N
Suy ra N là trực tâm của ΔMKI
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⊥ MI
Vậy KN ⊥ IM
Bài 61 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC không vuông Gọi H là trực
tâm của nó
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC
l
N M
K
d
Trang 5Lời giải:
Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB
H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF
a) Xét ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB
b) Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao: CF, AC, BC)
+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao: BE, AB, CB)
Bài 62 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng một tam giác có hai đường
cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
Lời giải:
D
F
E
H
C B
A
Trang 6+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA
BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC Theo đề bài suy ra AB = AC
ΔABC có AB = AC nên là tam giác cân tại A (đpcm)
+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE
Xét ΔEBC và ΔDCB có :
BC là cạnh chung
CE = BD (giả thiết)
BEC=CDB 90=
Do đó ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
D C
B A
C B
A
Trang 7Suy ra EBC=DCB (hai góc tương ứng) hay ABC=ACB
Tam giác ABC có ABC=ACB nên là tam giác cân
+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF
Vì CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như chứng minh trên) ⇒ AB = AC (1)
Vì CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như chứng minh trên) ⇒ AB = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC
ΔABC có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều
F
C B
A