BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC TÀI LIỆU HỌC TẬP THEO HỌC CHẾ TÍN CHỈ DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA CNTT

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC TÀI LIỆU HỌC TẬP THEO HỌC CHẾ TÍN CHỈ DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA CNTT

M C L C

CH NG 1: C S LOGIC 2

CH NG 2: PH NG PHÁP Đ M 5

CH NG 3: QUAN H 6

CH NG 4: Đ I S BOOLE 7

N I DUNG B SUNG: PH NG PHÁP HÀM SINH 8

Đ THI TR C NGHI M GI A Kǵ (THAM KH O) 24

Đ THI K T THÚC MỌN H C (THAM KH O) 25

M T S Đ THI THAM KH O TR NG KHÁC 26

- Ngư i thứ 1 dự đoán: B h ng nhì, C h ng ba

- Ngư i thứ 2 dự đoán: A h ng nhì, C h ng tư

- Ngư i thứ 3 dự đoán: B h ng nhất, D h ng nhì

- Được biết là mỗi ngư i có phần đúng phần sai

5 Trong một chatroom, có tổng công 5 ngư i An, Bình, Chinh, Dung, Yến đang thảo luận về đề tài logic toán v i nhau trên m ng

Biết rằng:

- Hoặc An, hoặc Bình hoặc là cả 2 đang thảo luận

- Hoặc Chinh, hoặc Dung, nhưng không phải cả 2 cùng thảo luận

- Nếu Yến đang thảo luận thì Chinh cũng vậy

- Dung và An, hoặc cả 2 cùng thảo luận, hoặc không ai thảo luận

- Nếu Bình đang thảo luận thì Yến và An cũng vậy

Hãy giải thích xem nếu tất cả khẳng định trên đều đúng thì hiện t i ai đang thảo luận?

6 Sau khi thu gọn, hãy tìm các bộ nghiệm (x, y, z, t ) để các công thức hàm sau đ t giá

11 Xác định các suy luận đúng và cho biết qui tắc suy diễn đã được áp dụng:

a Nếu Bình đi chơi thì Bình không học logic toán Nếu Bình không học bài thì sẽ thi trượt môn logic toán Mà Bình l i đi chơi nên Bình thi trượt môn logic toán

b Nếu là sinh viên CNTT của trư ng Đ i học Sư Ph m thì phải học toán r i r c Hùng không học Toán r i r c nên Hùng không phải là sinh viên ngành công CNTT của trư ng Đ i học Sư Ph m

c Mọi sinh viên nghiêm túc đều không nộp bài chưa làm xong Minh không nộp bài chưa làm xong Vậy Minh là sinh viên nghiêm túc

d Mọi sinh viên lư i học đều không chịu đến l p học thư ng xuyên

Tân đã đến l p học thư ng xuyên

Vì thế Vân là sinh viên không lư i học

12 Dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh các kết luận sau:

a Tìm công thức logic tương ứng v i máy chấm điểm này

b Hãy vẽ m ch điện tử tương ứng v i công thức này (không rút gọn công thức)

CH NG 2: PH NG PHÁP Đ M

1 Cho t p X={5, 6, , 200}

a Có bao nhiêu s chẵn, lẻ

b Có bao nhiêu s chia h t cho 5

c Có bao nhiêu s g m nh ng ch s phơn bi t

d Có bao nhiêu s không chứa s 0

e Có bao nhiêu s l n h n 101 vƠ không chứa s 6

f Có bao nhiêu s có các ch s đ c s p tăng thực sự

g Có bao nhiêu s có d ng xyz trong đó 0   x y y ,  z

2 Có 10 cu n sách khác nhau, trong đó có 5 cu n sách thu c lĩnh vực tin h c, 3

cu n sách thu c lĩnh vực toán h c, 2 cu n sách thu c lĩnh vực văn h c

a Có bao nhiêu cách lấy ra 4 cu n sách bất kǶ?

b Có bao nhiêu cách lấy ra 4 cu n sách trong đó có ít nhất 2 cu n sách tin h c?

c Có bao nhiêu cách lấy ra 4 cu n sách v i đủ c 3 lo i sách?

d Có bao nhiêu cách x p các cu n sách nƠy trên 1 giá sách?

e Có bao nhiêu cách x p các cu n sách nƠy trên 1 giá sách sao cho đúng theo thứ

từ 26 ch cái H i trong tr ng h p xấu nhất ph i th bao nhiêu lần để có đ c

m t khẩu ban đầu?

4 Có 6 ng i cùng m t lúc đăng ký th tƠi tin h c lƠ A, B, C, D, E, F:

a Có bao nhiêu cách x p thứ tự thi đấu để DEF đứng c nh nhau?

b Có bao nhiêu cách x p thứ tự thi đấu để luôn b t đầu b i A vƠ k t thúc b i F

5 Có bao nhiêu chu i 8 bit b t đầu bằng 1100?

6 Có bao nhiêu chu i 8 bit trong đó bit thứ 2 vƠ bit thứ 4 lƠ 1?

7 Có bao nhiêu chu i 8 bit đ c xuôi hay ng c đ u gi ng nhau?

8 Có bao nhiêu xơu nh phơn có đ dƠi 8 b t đầu b i 110 vƠ 101?

9 Có bao nhiêu chu i 8 bit hoặc b t đầu bằng 100 hoặc có bit thứ 4 bằng 1?

10 Có bao nhiêu chu i 8 bit hoặc b t đầu bằng 10 hoặc k t thúc b i 01?

11 Có bao nhiêu xơu nh phơn đ dƠi 16 mƠ trong đó có đúng 4 s 1?

12 Các ký thự ABCDEF dùng để t o thƠnh các chu i có đ dƠi lƠ 3?

a Có bao nhiêu chu i nh v y n u cho phép lặp

b Có bao nhiêu chu i nh v y n u không cho phép lặp

c Có bao nhiêu chu i b t đầu bằng A n u cho phép lặp

d Có bao nhiêu chu i b t đầu bằng A n u không cho phép lặp

e Có bao nhiêu chu i không chứa A n u cho phép lặp

f Có bao nhiêu chu i không chứa A n u không cho phép lặp

13 Có bao nhiêu xơu ký tự có thể đ c t o từ các ch cái Telecommunication?

CH NG 3: QUAN H

1 Cho 2 tập hợp X={a, b, c} và Y = {b, c, d, e}

a Tính X x Y

b Tìm số quan hệ 2 ngôi trên Y

c Tìm số quan hệ giữa X và Y chứa (b, c), (b, d)

d Hãy tìm 1 quan hệ trên X có tính phản x và bắc cầu nhưng không đối xứng

e Hãy tìm 1 quan hệ trên Y có tính phản x và đối xứng nhưng không bắc cầu

2 R là một quan hệ trên A = {1, 2, 3, 4, 5} v i:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3) , (4, 1), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 5)}

R có phải là 1 quan hệ tương đương hay không?

3 Cho R là 1 quan hệ trên tập hợp các số tự nhiên v i R = {(x, y): x+y chẵn}

Chứng minh R là 1 quan hệ tương đương

4 Cho R là 1 quan hệ trên A x A v i A= {1, 3, 5, 7, 8, 9} sao cho :

(a, b) R (c, d)  b = d

a Chứng minh R là 1 quan hệ tương đương

b Tìm l p tương đương chứa (1, 3)

c Phân ho ch A x A thành các l p tương đương tách biệt phân ho ch trên R

5 R là một quan hệ trên A x A v i A = {1, 2, 3, 4, 5}:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 5) , (4, 4), (4, 5), (5, 5)}

R có phải là 1 quan hệ thứ tự hay không?

6 Cho là 1 quan hệ trên X={ 2, 3, 4, 5, 12, 15, 60} xác định bởi:

x y X x y y kx k Z

a Chứng minh là 1 quan hệ thứ tự

b Tìm các phần tử tối đ i, tối tiểu, l n nhất, nhỏ nhất xác định bởi quan hệ trên

c Vẽ biểu đồ Hasse tương ứng

7 Cho là 1 quan hệ trên A x A v i A ={2, 4, 6, 12, 24} xác định bởi:

( , ),( , ) x y z t A x y ,( , ) ( , ) z t x y z t

có phải là 1 quan hệ thứ tự hay không? Nếu là 1 quan hệ thứ tự thì xác định các phần tử tối đ i, tối tiểu, l n nhất, nhỏ nhất xác định bởi quan hệ trên

PH NG PHÁP HÀM SINH

Hàm sinh là một trong những sáng t o thần tình, bất ng , nhiều ứng dụng của toán r i

r c Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về dãy số thành những bài toán

về hàm số Điều này là rất tuyệt v i vì chúng ta đã có trong tay cả một cỗ máy l n để làm

việc v i các hàm số Nh vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số Bằng cách này, chúng ta có thể sử dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các d ng toán

về phép đếm Có cả một ngành toán học l n nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, trong bài này, chúng ta chỉ tìm hiểu những vấn đề căn bản nhất về chủ đề này

Trong bài viết này, các dãy số sẽ được để trong ngoặc < > để phân biệt v i các đối tượng toán học khác

Trong bài này, ta sẽ ký hiệu sự tương ứng giữa một dãy số và hàm sinh bằng dấu mũi tên hai chiều như sau

Nhắc l i công thức tính tổng của các số nhân lùi vô h n là

.1

1

z z

z z

Đẳng thức này không đúng v i |z|  1, nhưng một lần nữa ta không quan tâm đến vấn đề hội

tụ Công thức này cho chúng ta công thức tư ng minh cho hàm sinh của hàng lo t các dãy số

<1, 1, 1, 1, …>  1 + x + x2

+ x3+ … = 1/(1-x)

<1, -1, 1, -1, …>  1 - x + x2 - x3+ … = 1/(1+x)

<1, a, a2, a3, …>  1 + ax + a2x2 + a3x3+ … = 1/(1-ax)

<1, 0, 1, 0, 1, 0, >  1 + x2 + x4 + … = 1/(1-x2)

Các phép toán trên hàm sinh

Phép màu của hàm sinh nằm ở chỗ ta có thể chuyển các phép toán thực hiện trên dãy số thành các phép toán thực hiện trên các hàm sinh tương ứng của chúng Chúng ta cùng xem xét các phép toán và các tác động của chúng trong thuật ngữ dãy số

Cộng hai hàm sinh tương ứng v i việc cộng các số h ng của dãy số theo đúng chỉ số Ví dụ,

ta cộng hai dãy số trư c đó

Như vậy, thêm k số 0 vào đầu dãy số tương ứng v i việc nhân hàm sinh v i xk Điều này cũng đúng trong trư ng hợp tổng quát

Quy t c 3 (Quy tắc dịch chuyển phải)

2

4 3 2

)1(

1,

4,3,2,1

)1(

1

4321

)1

1( )1

(

x

x x

x x

x dx

d x

x x x dx d

Ta tìm được hàm sinh cho dãy số <1, 2, 3, 4, …> !

Tổng quát, việc lấy đ o hàm của hàm sinh có hai tác động lên dãy số tương ứng: các số h ng được nhân v i chỉ số và toàn bộ dãy số được dịch chuyển trái sang 1 vị trí

Quy t c 4 (Quy tắc đ o hàm)

Nếu <f0, f1, f2, …>  F(x)

thì <f1, 2f2, 3f3, >  dF(x)/dx

Chứng minh

<f1, 2f2, 3f3, >  f1 + 2f2x + 3f3x2+ …

= (d/dx)(f0 + f1x + f2x2 + f3x3+ …)

= dF(x)/dx Quy tắc đ o hàm là một quy tắc rất hữu hiệu Trong thực tế, ta thư ng xuyên cần đến một trong hai tác động của phép đ o hàm, nhân số h ng v i chỉ số và dịch chuyển sang trái Một cách điển hình, ta chỉ muốn có một tác động và tìm cách “vô hiệu hoá” tác động còn l i Ví

dụ, ta thử tìm hàm sinh cho dãy số <0, 1, 4, 9, 16, …> Nếu ta có thể bắt đầu từ dãy <1, 1, 1,

1, …> thì bằng cách nhân v i chỉ số 2 lần, ta sẽ được kết quả mong muốn

<0.0, 1.1, 2.2, 3.3, …> = <0, 1, 4, 9, …>

Vấn đề là ở chỗ phép đ o hàm không chỉ nhân số h ng dãy số v i chỉ số mà còn dịch chuyển sang trái 1 vị trí Thế nhưng, quy tắc 3 dịch chuyển phải cho chúng ta cách để vô hiệu hoá tác động này: nhân hàm sinh thu được cho x

Như vậy cách làm của chúng ta là bắt đầu từ dãy số <1, 1, 1, 1, …>, lấy đ o hàm, nhân v i

x, lấy đ o hàm rồi l i nhân v i x

Đôi khi chúng ta có thể tìm được hàm sinh cho các dãy số phức t p hơn Chẳng h n dư i đây

là hàm sinh cho dãy số Fibonacci:

3.1 Tìm hàm sinh

Ta bắt đầu bằng cách nhắc l i định nghĩa của dãy Fibonacci:

f0 = 0

Một trong những cách tiếp cận là tách các dãy số của chúng ta thành cách dãy mà chúng ta

đã biết hàm sinh, sau đó áp dụng Quy tắc cộng

<0, 1, 0, 0, 0, …>  x

<0, f0, f1, f2, f3, …>  xF(x)

+ <0, 0, f0, f1, f2, >  x2

F(x) <0, 1+f0, f1+f0, f2+f1, f3+f2, …> x + xF(x) + x2

F(x)

Dãy số này gần như là dãy số nằm ở vế phải của dãy Fibonacci, chỉ có 1 khác biệt duy nhất

là 1+f0ở vị trí thứ hai Nhưng do f0 = 0 nên điều này không có ý nghĩa gì

Như vậy, ta có F(x) = x + xF(x) + x2F(x) và từ đó F(x) = x/(1-x-x2), đó chính là công thức

mà chúng ta đã nói đến ở phần đầu

3.2 Tìm công thức t ng minh

T i sao chúng ta l i phải tìm hàm sinh của một dãy số? Có một vài câu trả l i cho câu hỏi này, nhưng dư i đây là một trong những câu trả l i đó: nếu ta tìm được hàm sinh cho một dãy số, trong nhiều trư ng hợp, ta có thể tìm được công thức tư ng minh cho các số h ng của dãy số đó, và đây là điều rất cần thiết Ví dụ công thức tư ng minh cho hệ số của xn

trong khai triển của x/(1-x-x2) chính là công thức tư ng minh cho số h ng thứ n của dãy số Fibonacci

Như vậy công việc tiếp theo của chúng ta là tìm các hệ số từ hàm sinh Có một vài cách tiếp cận cho bài toán này Đối v i các hàm phân thức, là tỷ số của các đa thức, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành các phân thức sơ cấp mà chúng ta đã biết ở phần tích

phân các hàm hữu tỷ Ta có thể tìm được dễ dàng các hệ số cho các phân thức sơ cấp, từ đó tìm được các hệ số cần tìm

Ta sẽ thử làm cho hàm sinh của dãy số Fibonacci Đầu tiên, ta phân tích mẫu số ra thừa số

x/(1-x-x2) = x/(1-1x)(1-2x)

trong đó

2

51,

2

51

2 1

A x

x

x

2 2 1

1 2

11

1     

Ta có thể làm điều này bằng phương pháp hệ số bất định hoặc thay x các giá trị khác nhau để thu được các phương trình tuyến tính đối v i A1, A2 Ta có thể tìm được A1, A2 từ các phương trình này Thực hiện điều này, ta được

5

1 1

, 5

1 1

2 1 1 2

1 1

2

1

11

15

1

11

1

2 2 2 2 2

2 2 1 1 1

x x x

( )1

15

1)

(

2 2 2 2 2

2 1 1

2 1

x

x x

512

515

15

2 1

n n n

Hàm sinh có thể được áp dụng trong các bài toán đếm Nói riêng, các bài toán chọn các phần

tử từ một tập hợp thông thư ng sẽ dẫn đến các hàm sinh Khi hàm sinh được áp dụng theo cách này, hệ số của xnchính là số cách chọn n phần tử

4.1 Ch n các phần t khác nhau

Hàm sinh cho dãy các hệ số nhị thức được suy ra trực tiếp từ định lý nhị thức

k k

k k k

k k

k k

0

4.2 Xơy dựng các hƠm sinh để đ m

Thông thư ng ta có thể dịch mô tả của bài toán đếm thẳng sang ngôn ngữ hàm sinh để giải

Ví dụ, ta có thể chứng tỏ rằng (1+x)k sẽ sinh ra số các cách chọn n phần tử phân biệt từ tập hợp k phần tử mà không cần dùng đến định lý nhị thức hay các hệ số nhị thức!

Ta làm như sau Đầu tiên, ta hãy xét tập hợp có một phần tử {a1} Hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập hợp này đơn giản là 1 + x Ta có 1 cách chọn không phần tử nào, 1 cách chọn 1 phần tử và 0 cách chọn hai phần tử trở lên Tương tự, số cách chọn n phần tử từ tập hợp {a2} cũng cho bởi hàm sinh 1 + x Sự khác biệt của các phần tử trong hai trư ng hợp trên là không quan trọng

Và bây gi là ý tưởng chính: hàm sinh cho số cách chọn các phần tử từ hợp của hai tập hợp bằng tích các hàm sinh cho số cách chọn các phần tử từ mỗi tập hợp Chúng ta sẽ giải thích

chặt chẽ điều này, nhưng trư c hết, hãy xem xét một ví dụ Theo nguyên lý này, hàm sinh cho số cách chọn các phần tử từ tập hợp {a1, a2} là

(1+x) (1+x) = (1+x)2 = 1 + 2x + x2

Có thể kiểm chứng rằng đối v i tập hợp {a1, a2} ta có 1 cách chọn 0 phần tử, 2 cách chọn 1 phần tử, 1 cách chọn 2 phần tử và 0 cách chọn 3 phần tử trở lên

Tiếp tục áp dụng quy tắc này, ta sẽ được hàm sinh cho số cách chọn n phần tử từ tập hợp k phần tử

(1+x).(1+x)…(1+x) = (1+x)k

Đây chính là công thức hàm sinh mà ta đã nhận được bằng cách sử dụng định lý nhị thức Nhưng lần này, chúng ta đã đi thẳng từ bài toán đếm đến hàm sinh

Chúng ta có thể mở rộng điều này thành một nguyên lý tổng quát

Quy t c 5 (Quy tắc xoắn) Gọi A(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp A và

B(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp B Nếu A và B là r i nhau thì hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ A  B là A(x).B(x)

Quy tắc này là khá đa nghĩa, vì cần hiểu chính xác cách chọn các phần tử từ một tập hợp có nghĩa là thế nào? Rất đáng chú ý là Quy tắc xoắn vẫn đúng cho nhiều cách hiểu khác nhau

của từ cách chọn Ví dụ, ta có thể đòi hỏi chọn các phần tử phân biệt, cũng có thể cho phép

được chọn một số lần có gi i h n nào đó, hoặc cho chọn lặp l i tuỳ ý Một cách nôm na, gi i

h n duy nhất là (1) thứ tự chọn các phần tử không quan trọng (2) những gi i h n áp dụng cho việc chọn các phần tử của A và B cũng áp dụng cho việc chọn các phần tử của A  B (Chặt chẽ hơn, cần có một song ánh giữa các cách chọn n phần tử từ A  B v i bộ sắp thứ tự các cách chọn từ A và B chứa tổng thể n phần tử)

)

( ).

( ) ( , )

( , )

(

n

n n n

n n n

n

n x B x b x C x A x B x c x a

Chú ý rằng các số h ng có cùng luỹ thừa của x xếp trên các đư ng chéo / Nhóm tất cả các số

h ng này l i, ta thấy rằng hệ số của xntrong tích bằng

cách chọn n phần tử từ A  B Đó chính xác là giá trị cnđã được tính ở trên

Biểu thức cn = a0bn + a1bn-1+ … + anb0đã được biết đến trong môn xử lý tín hiệu số; dãy <c0,

c1, c2, c3, …> là xoắn (convolution) của hai dãy <a0, a1, a2, a3, …> và <b0, b1, b2, b3, …>

4.3 Ch n các phần t có lặp

Xét bài toán: Có bao nhiêu cách chọn 12 cây kẹo từ 5 lo i kẹo? Bài toán này có thể tổng quát hoá như sau: Có bao nhiêu cách chọn ra k phần tử từ tập hợp có n phần tử, trong đó ta cho phép một phần tử có thể được chọn nhiều lần? Trong thuật ngữ này, bài toán chọn kẹo có thể phát biểu có bao nhiêu cách chọn 12 cây kẹo từ tập hợp

{kẹo sữa, kẹo sô-cô-la, kẹo chanh, kẹo dâu, kẹo cà-phê}

nếu ta cho phép lấy nhiều viên kẹo cùng lo i Ta sẽ tiếp cận l i giải bài toán này từ góc nhìn của hàm sinh

Giả sử ta chọn n phần tử (có lặp) từ tập hợp chỉ có duy nhất một phần tử Khi đó có 1 cách chọn 0 phần tử, 1 cách chọn 1 phần tử, 1 cách chọn 2 phần tử … Như thế, hàm sinh của cách chọn có lặp từ tập hợp có 1 phần tử bằng

<1, 1, 1, 1, …>  1 + x + x2 + x3+ … = 1/(1-x)

Quy tắc xoắn nói rằng hàm sinh của cách chọn các phần tử từ hợp của các tập hợp r i nhau bằng tích của các hàm sinh của cách chọn các phần tử từ mỗi tập hợp:

n x x

x

x ( 1 )

1 1

1

1

1

Đ nh lý 1 (Đ nh lý Taylor)

!

)0(

!3

)0('''

!2

)0(''

!1

)0(')0()

(

) ( 3

f x

f x

f x

f f

k

C n

k

k n k

k n n

n k

g

1

) (

)!

1(

)!

1(

!

)1) (

1(

!

)0(

5 M t bƠi toán đ m ắbất kh thi”

Từ đầu bài đến gi ta đã thấy những ứng dụng của hàm sinh Tuy nhiên, những điều này ta cũng có thể làm được bằng những cách khác Bây gi ta xét một bài toán đếm rất khó chịu

Có bao nhiêu nhiêu cách sắp một giỏ n trái cây thoả mãn các điều kiện ràng buộc sau:

 Số táo phải chẵn

 Số chuối phải chia hết cho 5

 Chỉ có thể có nhiều nhất 4 quả cam

 Chỉ có thể có nhiều nhất 1 quả đào

Ví dụ, ta có 7 cách sắp giỏ trái cây có 6 trái:

Trư c hết, ta đi tìm hàm sinh cho số cách chọn táo Có 1 cách chọn 0 quả táo, có 0 cách chọn

1 quả táo (vì số táo phải chẵn), có 1 cách chọn 2 quả táo, có 0 cách chọn 3 quả táo …Như thế

ta có

A(x) = 1 + x2 + x4+ … = 1/(1-x2

) Tương tự, hàm sinh cho số cách chọn chuối là

11

1.1

1.1

1.1

1)()

x x

x x

x x

D x

1

0,

!/)1) (

1(

k

k k k u u

u k

1

(

k

k u

x k

u x

Định lý này có thể được chứng minh khá dễ dàng bằng cách sử dụng định lý Taylor

Ví dụ Tìm khai triển luỹ thừa của các hàm sinh (1+x)-n

và (1-x)-n Giải: Theo định lý nhị thức mở rộng, có thể suy ra

1

(

k

k n

x k

n x

Theo định nghĩa

k k n k k

C k

k n n

n k

k n n

n k

n

1

)1(

!

)1) (

1()1(

!

)1) (

1)(

1

(

k

k k k n k n

x C x

1

(

k

k k k n n

x C x

Ví dụ Tìm khai triển luỹ thừa của (1-x)-1/2

.2/1)

1

(

k

k x k x

Theo định nghĩa

k

k k k

k

C k

k k

k

2

1 2

2

3 2

1 ) 1 (

!

1 2

1

1 2

1 2

1 2

/ 1

.4)1()

1

(

k

k k

k k k x

C x

/ 1

.4)

1

(

k

k k

k k x

C x

)2)(

1(2

)1(

1nx n n x2  n n n x3

k k n

C  1

1/(1-x)2 1 + 2x + 3x2 + 4x3+ … k+1

1/(1-ax)2 1 + 2ax + 3a2x2 + 4a3x3+ … (k+1)ak

1/(1-xr) 1 + xr + x2r + x3r+ … 1 nếu r | k và 0 trong