BÀI 11 HÌNH THOI Bài 1 Hình thoi không có tính chất nào dưới đây? A Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường B Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi C Hai đường c[.]
Trang 1BÀI 11 HÌNH THOI Bài 1: Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
A Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
B Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
C Hai đường chéo bằng nhau
D Hai đường chéo vuông góc với nhau
Lời giải
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Ngoài ra còn có
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
Đáp án cần chọn là: C
Bài 2: Hãy chọn câu sai
A Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
B Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi
C Hình bình hành có đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi
D Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
Lời giải
+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi Nên A, C, D đúng, B sai
Đáp án cần chọn là: D
Trang 2Bài 3: Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Hình thoi có hai đường chéo …”
A cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
B là các đường phân giác của các góc của hình thoi
C vuông góc với nhau
D Cả A, B, C đều đúng
Lời giải
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành:
+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Ngoài ra còn có:
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
Đáp án cần chọn là: D
Bài 4: Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Tứ giác có hai đường chéo … là hình thoi”
A bằng nhau
B giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau
C giao nhau tại trung điểm mỗi đường
D bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Lời giải
+ Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
Nên tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi
Đáp án cần chọn là:B
Trang 3Bài 5: Tứ giác dưới đây là hình thoi theo dấu hiệu nào?
A Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
B Tứ giác có hai đường chéo vuông góc
C Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
D Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Lời giải
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi nên A đúng
Đáp án cần chọn là: A
Bài 6: Hình thoi có chu vi bằng 20cm thì độ dài cạnh của nó bằng
Lời giải
Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)
Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 20 a = 5cm Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm
Đáp án cần chọn là: B
Bài 7: Cho các hình sau, chọn khẳng định đúng
Trang 4A Cả ba hình đều là hình thoi B Hình 1 và hình 2 là hình thoi
C Chỉ hình 1 là hình thoi D Cả ba hình đều không phải hình thoi
Lời giải
Hình 1 là hình thoi vì có hai đường cheo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau
Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau
Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau
Đáp án cần chọn là: C
Bài 8: Hình thoi có chu vi bằng 36cm thì độ dài cạnh của nó bằng
Lời giải
Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0)
Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 36 a = 9cm
Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm
Đáp án cần chọn là: C
Trang 5Bài 9: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm Tính độ dài cạnh hình
thoi
Lời giải
Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =10cm, BD = 24cm
Do ABCD là hình thoi nên:
AC ⊥ BD; AH = 1
2AC =
1
2.10 = 5 (cm); HB =
1
2BD =
1
2.24 = 12 (cm)
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:
AB2 = AH2 + HB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
Suy ra AB = 13cm
Đáp án cần chọn là: B
Bài 10: Cho hình thoi ABCD Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao
cho BE = DF Gọi G, H thứu tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD
1 Tứ giác AGCH là hình gì?
A Hình thoi B Hình chữ nhật C Hình bình hành D Hình thang
Lời giải
Trang 6Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:
AB = AD, B̂ = D̂; BE = DF
Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)
Suy ra  = A1 ̂ (hai góc tương ứng) 4
Mà AC là phân giác của  =>  = A2 ̂ (1) 3
Do đó AO là phân giác của HAĜ
Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A
Suy ra HO = OG (2)
Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi
Đáp án cần chọn là: A
2 Cho OC = 4; OH = 3 Tính chu vi tứ giác AHCG
Lời giải
Trang 7Vì OC = 4; OH = 3 nên CH = OH2 OC2 32 42 5 (định lý Pytago)
Vì AHCG là hình thoi (theo câu trước) nên chu vi tứ giác AHCG bằng 4.CH = 4.5 = 20cm
Đáp án cần chọn là: A
Bài 11: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm Tính các
góc của hình thoi Hãy chọn câu đúng
A Â = Ĉ = 1500; B̂ = D̂ = 300 B Â = Ĉ = 300; B̂ = D̂ = 600
C Â = Ĉ = 1200; B̂ = D̂ = 600 D Â = Ĉ = 300; B̂ = D̂ = 1500
Lời giải
Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 16 : 4 = 4cm
Suy ra AD = 4cm
Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = 1
2AD => ADĤ = 300 (tính chất) Suy ra DAB̂ = 1800 - ADĈ = 1800 – 300 = 1500 (vì ABCD là hình thoi)
Trang 8Nên hình thoi ABCD có D̂ = B̂ = 300; Â = Ĉ = 1500 (vìhai góc đối bằng nhau)
Đáp án cần chọn là: A
Bài 12: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12cm và 16cm Tính độ dài cạnh hình
thoi
Lời giải
Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =12cm, BD = 16cm
Do ABCD là hình thoi nên:
AC ⊥ BD; AH = 1
2AC =
1
2.12 = 6 (cm); HB =
1
2BD =
1
2.16 = 8 (cm)
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:
AB2 = AH2 + HB2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
Suy ra AB = 10cm
Đáp án cần chọn là: D
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM Gọi D là trung điểm của AB, M’
là điểm đối xứng với M qua D
1 Tứ giác AMBM’ là hình gì?
A Hình thoi B Hình chữ nhật C Hình bình hành D Hình thang
Lời giải
Trang 9Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’ (1)
M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC
Suy ra MD // AC (2)
Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra DM ⊥ AB => MM’ ⊥ AB
Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành Mặt khác MM’ ⊥ AB nên AMBM’ là hình thoi
Đáp án cần chọn là: A
2 Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AMBM’
Lời giải
Vì BC = 4cm nên BM = BC
2 = 2cm
Chu vi tứ giác AMBM’ bằng 4.BM = 4.2 = 8cm
Đáp án cần chọn là: D
Bài 14: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24 cm,đường cao AH bằng 3cm Tính DCÂ
A DCÂ = 1500 B DCÂ = 700 C DCÂ = 600 D DCÂ = 750
Lời giải
Trang 10Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 24 : 4 = 6cm
Suy ra AD = 6cm
Xét tam giác AHD vuông tại H có AH = 1
2AD => ADĤ = 300 (tính chất) Suy ra DAB̂ = 1800 - ADĈ = 1800 – 300 = 1500 (vì ABCD là hình thoi)
Nên hình thoi ABCD có D̂ = B̂ = 300; Â = Ĉ = 1500 (vìhai góc đối bằng nhau)
Lại có: CA là tia phân giác DCB̂ (tính chất hình thoi)
Nên DCÂ = 1
2DCB̂ = 1
2.150
0 = 750
Đáp án cần chọn là: D
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC Các
đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng:
Lời giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Trang 11Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD
Xét tứ giác EDFB có
ED / /FB
1
2
nên EDFB là hình bình hành suy ra BE DF
BE / /DF
Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD =>
EP = 1
3BE
Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD =>
QF = 1
3DF
Mà BE = DF (cmt) => EP = QF
Xét tứ giác EPFQ có EP QF
EP / /QF => EPQF là hình bình hành
Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ
Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)
Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD => ACD̂ = 900
Đáp án cần chọn là: B
Bài 16: Cho hình thang ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi Hãy chọn câu đúng
A MP = QN B AC ⊥ BD C AB = AD D AC = BD
Lời giải
Trang 12+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC; MN = 1
2AC (1)
Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên PQ // AC; PQ = 1
2AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ => MNPQ là hình bình hành
Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ
Mà MN = 1
2AC (cmt); MQ =
1
2BD (do MQ là đường trung bình tam giác ABD) Suy ra AC = BD
Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD
Đáp án cần chọn là: D
Bài 17: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là hình thoi?
A AC = BD B AC ⊥ BD C AB = DC D AB // DC
Lời giải
Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của ΔABC Suy ra
EF // AC và EF = 1
2AC (1)
Tương tự ta có: HG // AC và HG = 1
2AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành
Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau
Trang 13Nên EH = EF AC = BD
Đáp án cần chọn là: A
Bài 18: Tứ giác ABCD có AB = CD Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD
Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD Chọn câu đúng nhất
A IK vuông góc với MN B MN là phân giác IMK̂
C Cả A, B đều đúng D Cả A, B đều sai
Lời giải
Từ giả thiết ta có: KM, IM, IN, KN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA (định nghĩa đường trung bình)
Đặt BA = CD = 2a
Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
MK = 1
2CD = a; IM =
1
2AB = a; NI =
1
2CD = a; KN =
1
2BA = a
Suy ra MK = KN = NI = IM
Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi KMIN ta được: MN ⊥ KI; MN là đường phân giác KMÎ
Đáp án cần chọn là: C
Bài 19: Cho tứ giác ABCD có Ĉ = 500, D̂ = 800, AD = BC Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Tính số đo góc EFC
Trang 14A 750 B 950 C 1050 D 1200
Lời giải
Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD
Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC Suy ra EG = 1
2BC, EG // BC
Chứng minh tương tự ta cũng có:
GF = 1
2AD, FH =
1
2BC, HE =
1
2AD; GF // AD; FH // BC; HE // AD
Mà AD = BC (gt), nên EG = GF = FH = HE
Suy ra: tứ giác EGFH là hình thoi
Suy ra EF là tia phân giác của góc HFĜ => EFĜ = 1
2HFĜ
GFĈ = ADĈ = 800 (do GF // AD); HFD̂ = BCD̂ = 500 (do FH // BC)
Do đó HFĜ = 1800 – (GFĈ + HFD̂) = 500 => EFĜ = 1
2.50
0 = 250
Vậy EFĈ = EFĜ + GFĈ = 250 + 800 = 1050
Đáp án cần chọn là: C
Bài 20: Cho tam giác ABCD Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao
cho BD = CE Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC Chọn câu đúng nhất
Trang 15A PQ vuông góc với MN B Tứ giác PMQN là hình thoi
C Cả A, B đều đúng D Cả A, B đều sai
Lời giải
Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình)
Đặt BD = CE = 2a
Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
MP = 1
2BD = a; NQ =
1
2BD = a; NP =
1
2CE = a; MQ =
1
2CE = a
Suy ra MN = NP = PQ = QM
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN ⊥ PQ
Đáp án cần chọn là: C
Bài 21: Cho hình thoi ABCD có góc A tù Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia
đôi cạnh đó Tính các góc của hình thoi
A B̂ = D̂ = 800; Â = Ĉ = 1000 B B̂ = D̂ = 1200; Â = Ĉ = 600
C B̂ = Ĉ = 600; Â = D̂ = 1200 D B̂ = D̂ = 600; Â = Ĉ = 1200
Lời giải
Trang 16Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến canh CD Từ giả thiết ta có: AH ⊥ DC, CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = CD (1)
Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD =CD = AC nên tam giác ACD là tam giác đều, do đó D̂ = 600
Vì góc A và góc D là hai góc trong cùng phía của AB // CD nên chúng bù nhau hay  =
1800 – 600 = 1200
Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được: B̂ = D̂ = 600, Â = Ĉ = 1200
Đáp án cần chọn là: D
Bài 22: Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD M là điểm bất kì trên cạnh
BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM ID cắt EF tại K
Chọn câu sai
A M, H, K thẳng hang B ΔIED đều
C Tứ giác EIFD là hình thoi D ID > IF
Lời giải
Trang 17Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = 1
2AM
Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: EIM̂ = 2EAÎ (góc ngoài của tam giác)
Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: MID̂ = 2IAD̂ , DI = 1
2AM
Do đó: EI = DI ( = 1
2AM); EID̂ = EIM̂ + MID̂ = 2(EAÎ + IAD̂ ) = 2EAD̂ = 600 Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: EID̂ = 600 nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF
Do đó EI = ED = DF = IF Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi
Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID
Gọi N là trung điểm của AH
Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác
Do đó AN = NH = HD
Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN)
Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit) nên M, H, K thẳng hang
Vậy D sai vì ID = IF
Đáp án cần chọn là: D