BÀI 9 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC Câu 1 Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D 1 1 Biết 0ACB 50 , tính HDK A 0130 B 050 C 0136 D 090 Lời giải Xét tam giác CHK có 0HCK C[.]
Trang 1BÀI 9 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC Câu 1: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D
1.1: Biết ACB 500, tính HDK
A 130 0
B 50 0
C 136 0
D 90 0
Lời giải:
Xét tam giác CHK có HCK CHK CKH 1800 (1) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác DHK có HGD DHK DKH 1800 (2) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra :
0
0
Mà DHC 90 ;DKCo 90 ;HCKo 440
Suy ra HDK 3600 90o 90o 440 1360
Đáp án cần chọn là C
A Cân tại A
B Cân tại B
C Cân tại C
D Đều
Lời giải:
Trang 2Nếu DA DB thì tam giác DAB cân tại D suy ra DBA DAB (1) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác AHB có ABH 900 BAH (2)
Xét tam giác ABK có: BAK 900 ABK (3)
Từ (1)(2)(3) ta suy ra ABH BAK hay ABC BAC suy ra tam giác ABC cân tại C Lại có BAC 600(gt) nên ABC là tam giác đều
Đáp án cần chọn là D
Câu 2: Trực tâm là giao của:
A ba đường trung tuyến
B ba đường phân giác
C ba đường cao
D ba đường trung trực
Lời giải:
Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3: Cho ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H Em chọn phát biểu đúng:
A H là trọng tâm của ABC
B H là tâm đường tròn nội tiếp ABC
C CH là đường cao của ABC
D CH là đường trung trực của ABC
Lời giải:
Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ABC và H là trực tâm của tam giác ABC nên A,B,C sai, C đúng
Đáp án cần chọn là C
Trang 3Câu 4: Cho tam giác ABC có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao, khi
đó tam giác ABC là tam giác gì?
A Tam giác vuông
B Tam giác cân
C Tam giác đều
D Tam giác vuông cân
Lời giải:
Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao nên
là tam giác cân
Đáp án cần chọn là B
Câu 5: Cho ABC cân tại A, trung tuyến AM Biết BC 24cm,AM 5cm Tính độ dài các cạnh AB và AC
A AB AC 13cm
B AB AC 14cm
C AB AC 15cm
D AB AC 16cm
Lời giải:
Vì ABC cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác
đó
Vì AM là trung tuyến của ABC nên M là trung điểm của BC
BC
2
Xét AMB vuông tại M có: AB2 AM2 BM2 ( Định lí Pytago)
AB 12 5 169 AB 169 13cm
Vậy AB AC 13cm
Đáp án cần chọn là A
Trang 4Câu 6: Cho ABC cân tại A, trung tuyến AM Biết BC 6cm,AM 4cm Tính độ dài
các cạnh AB và AC
A AB AC 5cm
B AB AC 7cm
C AB AC 6cm
D AB AC 4cm
Lời giải:
Vì ABC cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác
đó
Vì AM là trung tuyến của ABC nên M là trung điểm của BC
BC
2
Xét AMB vuông tại M có: AB2 AM2 BM2 ( Định lí Pytago)
AB 4 3 25 AB 25 5cm
Vậy AB AC 5cm
Đáp án cần chọn là A
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó:
A AM BC
B AM là đường trung trực của BC
C AM là đường phân giác của góc BAC
D Cả A,B,C đều đúng
Lời giải:
Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC
Đáp án cần chọn là: D
Trang 5Câu 8: Cho ABC nhọn, hai đường cao BD và CE Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI AC Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK AB
8.1: Chọn câu đúng
A AI AK
B AI AK
C AI 2AK
D AI AK
Lời giải:
Xét ABDcó: A1 B1 90o (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau )
Xét AEC có: A1 C1 90o (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )
B C (1)
Lại có:
o
o
(2) (hai góc kề bù)
Từ (1) và (2) B2 C2
Xét ABI và KCA có:
AB CK(gt)
B C (cmt)
BI AC(gt)
ABI KCA(c.g.c)
Đáp án cần chọn là D
8.2: AIK là tam giác gì?
A AIK là tam giác cân tại B
B AIK là tam giác vuông cân tại A
C AIK là tam giác vuông
D AIK là tam giác đều
Trang 6Lời giải:
Ta có: AI AK(cmt) AIK cân tại A (*)
ABI KCA(cmt) AIB CAK (3) (hai góc tương ứng)
Xét vAID có: AID IAD 90o (4) (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau )
Từ (3),(4) IAD CAK 90o AIK vuông tại A (**)
Từ (*)(**) AIK vuông cân tại A
Đáp án cần chọn là B
Câu 9: Cho ABC vuông cân tại B Trên cạnh AB lấy điểm H Trên tia đối của tia BC lấyđiểm D sao cho BH BD
9.1:Chọn câu đúng
A DH AC
B CDI 60o
C DH AB
D HBDđều
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của DH và AC
ABC vuông cân tại B(gt) nên C 450
Trang 7HBD có : HBD 90 ;BH0 BD(gt)nên HBD vuông cân tại B suy ra BDH 450 hay CDI 450
Xét DCI có: C CDI 450 (cmt) suy ra
DIC 180 (C CDI) 180 (45 45 ) 90
Vậy DH AC
Đáp án cần chọn là A
9.2: Gọi CH cắt AD tại K Tính số đo góc CKA
A CKA 850
B CKA 800
C CKA 600
D CKA 900
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của DH và AC
Sử dụng kết quả câu trước ta có: DI AC
Xét ADC có: AB DC;DI AC nên H là trực tâm của ADC
Suy ra CK là đường cao thứ ba của ADC hay CK AD
CKA 90
Đáp án cần chọn là D
Câu 10: Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
A
2
3a
4
B
2
a
4
Trang 8C
2
3a
2
D 3a
2
Lời giải:
Xét tam giác ABC đều cạnh AB AC BC a có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM BC tại M
Ta có: MB MC BC a
Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là
2 3a 4 Đáp án cần chọn là A
Câu 11: Đường cao của tam giác đều cạnh 4 có bình phương độ dài đường cao là
A 16
B 12
C 14
D 10
Lời giải:
Trang 9Xét tam giác ABC đều cạnh AB AC BC 4 có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM BC tại M
Ta có: MB MC BC 4 2
Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh 4 là 12
Đáp án cần chọn là B
Câu 12: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B(MA MB) Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA MC,MD MB Tia AC cắt BD
ở E Tính AEB
A 30 0
B 45 0
C 60 0
D 90 0
Lời giải:
Vì Mx AB AMx 90o
Xét AMC có:
o
0 AMC 90
DCE MCA 45 (đối đỉnh)
Xét BMD có:
o
0 BMD 90
Xét CDE có: CDE DCE 450
CDE DCE 90 DEC 90
Lại có: DEC AEB 1800 (kề bù)
AEB 180 DEC 180 90 90
Trang 10Đáp án cần chọn là D
Câu 13: Cho ABC có vuông tại A, đường cao AH, phân giác AD Gọi I, J lần lượt là giao điểm các phân giác của ABH, ACH , E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ Chọn câu đúng
A ABE là tam giác vuông tại E
B ABE là tam giác vuông tại A
C ABE là tam giác vuông tại B
D ABE là tam giác đều
Lời giải:
+) Ta có:
0
0
(gt) HAC HBA
(1)
Mặt khác, BI là tia phân giác của ABC và E thuộc BI suy ra
ABC
ABE
2 (2) (tính chất tia phân giác)
+) AJ là tia phân giác của HAC(gt) JAC HAC
2 (3) (tính chất tia phân giác)
Từ (1)(2)(3) ABE JAC
Xét ABE có:
ABE BAE JAC BAE BAC 90 AEB 90
AEB vuông tại E
Đáp án cần chọn là A
Câu 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE AD Kéo dài CD cắt BE tại I Tính số đo góc BIC
A 30 0
B 45 0
C 60 0
D 90 0
Trang 11Lời giải:
Gọi K là giao của ED và BC
ABC vuông cân tại A(gt) nên C 450
ADE có: DAE 90 ;AD0 AE(gt) nên ADE vuông cân tại A suy ra AED 450 hay CEK 450
Xét CEK có: C CEK 450(cmt) suy ra:
EKC 180 (C CEK) 180 (45 45 ) 90
Vậy EK BC
Xét BCE có: BA EC;EK BC nên D là trực tâm của BCE
Suy ra CI là đường cao thứ ba của BCE hay CI BE
BIC 90
Đáp án cần chọn là D
Câu 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D
15.1: Biết ACB 500, tính HDK
A 130 0
B 50 0
C 60 0
D 90 0
Lời giải:
Trang 12Xét tam giác CHK có HCK CHK CKH 1800 (1) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Xét tam giác DHK có HGD DHK DKH 1800 (2) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra :
0
0
Mà DHC 90 ;DKCo 90 ;HCKo 500
Suy ra HDK 3600 90o 90o 500 1300
Đáp án cần chọn là A
A Cân tại A
B Cân tại B
C Cân tại C
D Đều
Lời giải:
Nếu DA DB thì tam giác DAB cân tại D suy ra DBA DAB (1) (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác AHB có ABH 900 BAH (2)
Xét tam giác ABK có: BAK 900 ABK (3)
Trang 13Từ (1)(2)(3) ta suy ra ABH BAK hay ABC BAC suy ra tam giác ABC cân tại C Đáp án cần chọn là C
Câu 16: Cho ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I Tia AI cắt BC tại
M Khi đó MED là tam giác gì?
A Tam giác cân
B Tam giác vuông cân
C Tam giác vuông
D Tam giác đều
Lời giải:
Xét ABC có BD và CE là đường cao cắt nhau tại I suy ra AI là đường cao của tam giác
đó
Mà AI cắt BC tại M nên AM BC
Vì ABC cân tại A (gt) nên AM là đường cao cũng chính là đường trung trực của tam giác đó (tính chất tam giác cân)
BM MC (tính chất đường trung tuyến)
Vì CE AB BEC BDC 900
Xét vBEC có M là trung điểm của BC nên suy ra EM là trung tuyến của vBEC
BC
EM
2 (1) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)
Xét vBDC có M là trung tuyến của BC nên suy ra DM là trung tuyến của vBDC
BC
DM
2 (2) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)
Từ (1)(2) EM DM EMD cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Đáp án cần chọn là A