Giáo án Giải tích 12 Chuyên đề 2 bài 4 Phương trình mũ và bất phương trình mũ

Microsoft Word BÃ�i 4 PHƯÆ�NG TRÃ�NH MŨ â�� BẤT PHƯÆ�NG TRÃ�NH MŨ doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 2 BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức + Biết được cách giải một[.]

TOANMATH.com Trang 1

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ

+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ

+ Nếu b  thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 xlogab

+ Nếu b  thì phương trình vô nghiệm 0

Đặc biệt: Phương trình ax ay  x y (biến đổi về cùng cơ số)

2Chọn B

Ví dụ 3 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5x x  2 2  15.3 2 x x 2   1 là

Ta có:

2 2

Vậy tổng các nghiệm là 1

2Chọn D

Ví dụ 4 Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình   2 2  3 2

2 x

TOANMATH.com Trang 5

2

2 2

Ví dụ 2 Phương trình 31  x31  x 10 có hai nghiệm x x Khi đó giá trị biểu 1; 2

x x

xx

Ví dụ 3 Tích các nghiệm của phương trình  2 1  x 2 1 x2 2 0 là

x

x

xx

3 2

log 4log 4

x x

Đặt f x 2x x 3, 'f x 2 ln 2 1 0,x      nên phương trìnhx f x  có tối đa một nghiệm   0

Mà f  1 0 nên phương trình f x  có nghiệm duy nhất   0 x  1

Tóm lại phương trình có nghiệm 1 log ;21 2 1

Ví dụ 2 Phương trình 3 5x 2 1xx 15 có một nghiệm dạng x logab, với a, b

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8 Giá trị của P a 2b bằng

bao nhiêu?

1log 3x log 5xx 0 x 1 x log 5 0

log 5

xx

xx

TOANMATH.com Trang 9

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1 Nếu hàm số y f x   đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b thì có tối đa một ;nghiệm của phương trình f x k trên  a b và ; f u  f v   u v u v, ,  a b;

Tính chất 2 Nếu hàm số y f x   liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y g x  

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x 

không nhiều hơn một

Tính chất 3 Nếu hàm số y f x   đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

f x  có tối đa một nghiệm

Mà f 1 0 nên phương trình f x  có nghiệm duy nhất là   0 x  1

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm

Ví dụ 3 Tổng các nghiệm của phương trình 2 2 223 x 3 x 10 x 2 23x310x2x

gần bằng số nào dưới đây?

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Bước 1 Đặt t a t x 0 , chuyển phương trình

ban đầu về phương trình ẩn t

Bước 2 Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có

nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải

quyết

Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có

Ví dụ 1 Cho phương trình 4xm.2x  12m0 Biết rằng khi m m 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x x1 23 Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình

Phương trình trở thành:

t     t m m t  tXét hàm số f t   t2 2 3t trên khoảng 1;

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4x m.2 2x m  có hai nghiệm trái dấu? 5 0

Nhận xét rằng với một giá trị t  ta tìm được một nghiệm x nên để phương 0

trình có hai nghiệm x1 0 x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  hoặc m 3 m  10 phương trình có

nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m

2 x 16 x  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

B Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

Câu 12: Phương trình 9 5.3 6 0x x  có nghiệm là

A x1,xlog 3.2 B x 1,xlog 2.3 C x1,xlog 2.3 D x 1,x log 2.3

Câu 13: Cho phương trình 4.4 9.2x x 1 8 0 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình trên Khi đó, 1, 2tích x x bằng 1 2

Câu 14: Cho phương trình 4 4x 1  x  Khẳng định nào sau đây sai? 3

A Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42 x3.4 4 0.x 

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình vô nghiệm

Câu 15: Nghiệm của phương trình 2x 2x  13 3x x  1 là

x Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4 13.6 6.9x  x x 0 là

A x 0;1 B 2 3;

3 2

x   

  C x  1;0  D x  1;1

Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3 3.15 5x x x 120 là

A x log 3 1.5  B x log 5.3 C x log 5 1.3  D x log 5 1.3 

Câu 18: Phương trình 9 5.3 6 0x x  có tổng các nghiệm là

Câu 20: Phương trình 7 4 3  x  2 3x 6 có nghiệm là

A xlog2 32 B x log 3.2 C x log 22  3  D x  1

Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x 2   3 2 x 4x 2   6 5 x 42 x 2   3 7 x 1

A x   5; 1;1;2  B x   5; 1;1;3  C x   5; 1;1; 2   D x5; 1;1;2  

Câu 22: Phương trình  3 2 x 3 2  x  10 x có bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 27: Phương trình 2x  33x 2   5 6 x có hai nghiệm x x1, 2 trong đó x x1 2 hãy chọn phát biểu đúng?

A 3x12x2log 54.3 B 2x13x2log 8.3 C 2x13x2 log 54.3 D 3x12x2 log 8.3

Câu 28: Phương trình 4sin 2 x4cos 2 x 2 2 sin xcosx có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;15 ? 

Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3 5x  1 2 2xx m  m 15,m là tham số khác 2

A S 2; log 5 m 3  B S2;mlog 5 3  C S  2 D S 2;mlog 5 3 

Câu 33: Biết rằng phương trình 3 252 1 1 3

2x  2x x   x1 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 42: Cho phương trình 4x 2   2 1 x m.2x 2   2 2 x 3m 2 0 với m là tham số thực Tìm các giá trị của m

để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Ta thấya  3 1 0;1   nên ta có: x 1 log 3 1 4 2 3     x 1 2 x 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;1

x Chọn A

Ví dụ 4 Tập nghiệm của bất phương trình  5 2  x2x1 5 2 x là

xxxx

TOANMATH.com Trang 20

Hướng dẫn giải

1 1

xx

TOANMATH.com Trang 21

Phương pháp giải

Cho 0 a 1 và ,x y  ta có: 0

+ Nếu 0 a 1 thì x y logaxlog ay

+ Nếu a  thì 1 x y logaxlog a y

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

31

xx



  Vậy S     ;1 2;

xx

xx



 

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4 Bất phương trình 2 5x x2x110 có tập nghiệm là    ; b  a a;  Khi đó b a bằng

A log 5.2 B log 25 C 1 D 2 log 5. 2

xx

xx

Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung Ta có A B AC A B C     

Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải

x x

xx

xx

xVậy a1,b3 nên a b 4

Thay vào bất phương trình ta được: 2u2v   u v 0 2u u 2v v.

Xét hàm f t  2t t ta có f t 2 ln 2 1 0,t      suy ra hàm sốt , f t đồng biến trên   

xx

Bài toán 6 Bất phương trình chứa tham số

Phương pháp giải

 Đặt t a t x 0

TOANMATH.com Trang 27

+ Chuyển về bất phương trình ẩn t

+ Sử dụng định lý Vi-ét và điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết

 Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc x x ta giải như sau: 1; 2

+ Xét hàm f t  tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận

   

,

max

a b f x m Đúng với mợi x a b,





Xét hàm số   2 3

Dựa vào bảng biến thiên, ta có m  thì bất phương trình nghiệm đúng 2    x

Do đó có một giá trị nguyên dương của tham số m thỏa đề

32

 



 

Câu 4: Tập hợp các số x thỏa mãn 2 4 3 2

 



 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 32 2 5 6 1





 

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 2



 

Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình 3 3x    x 2  là 8 0

A ;0  B 0; C ;1  D 1;

Câu 26: Bất phương trình 5 5x 3  x 20 có tập nghiệm là

 



 

Câu 41: Giải bất phương trình   2   2

A log 3;0 5  B log 5;0 3  C log 3;0 5  D log 5;0 3 

Câu 54: Tập nghiệm của bất phương trình 2 1x   là x