Tóm tắt lý thuyết chương 2 môn xác suất thống kê và qhtn

Tóm tắt lý thuyết chương 2 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2 2 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên là một hàm số gán giá trị thực cho mỗi kết cục của một phép thử ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên r.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 2

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

- Biến ngẫu nhiên là một hàm số gán giá trị thực cho mỗi kết cục của một phép thử ngẫu nhiên

- Biến ngẫu nhiên rời rạc là BNN nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được giá trị

- Biến ngẫu nhiên liên tục là BNN nhận vô hạn không đếm được giá trị trong một khoảng liên tục

2.2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

- Bảng phân bố xác suất của BNN rời rạc X

- X nhận các giá trị

- Xác suất thuộc [0, 1]

- Tổng

2.3 Phân bố xác suất của biến liên tục

- Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục là hàm thoả mãn các điều kiện:

• (diện tích giới hạn bởi Ox và y = bằng 1)

•

hạn bởi Ox và y = , x = a, x = b)

2.3 Hàm phân bố xác suất của BNN

- Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm:

- Tính chất của hàm phân bố xác suất:

•

• là hàm không giảm trên R

•

• Với X là BNN rời rạc thì:

• Với X là BNN liên tục thì: và

…

x2

P(X = )x i

x3

x1

x1, x2, x3,

p i = P(X = x i)

∑

i

p i= ∑

i P(X = x i) = 1

f X (x)

f X (x) ≥ 0, x ∈ R

∫

+∞

P(X = a) = 0,∀a ∈ R

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = ∫ a b f X (x)d x

f X (x)

F X (x) = P(X < x)

0 ≤ F X (x) ≤ 1,∀x ∈ R

F X(−∞) = lim

x→−∞ F X (x) = 0 F X(+∞) = lim

x→+∞ F X (x) = 1

F X (x)

P(a ≤ X < b) = F X (b) − F X (a)

F X (x) = ∑

x i <x P(X = x i)

F X (x) = ∫−∞x f X (u)du f X (x) = F′ X (x)

2.4 Các số đặc trưng của BNN

2.4.1 Các số đặc trưng đo trung tâm của BNN

- Kỳ vọng (giá trị trung bình) của BNN X là:

- Trung vị của BNN X là giá trị thoả mãn hoặc

Nếu X là BNN liên tục thì thoả mãn

- Mode của BNN X là giá trị mà (với X là BNN rời rạc) hoặc (với X là BNN liên tục) đạt giá trị lớn nhất

- Tính chất: E(X + Y) = E(X) + E(Y); E(aX + b) = aE(X) + b; E(XY) = E(X)E(Y) nếu X, Y độc lập (chương 3)

- Xét Y = g(X) thì:

2.4.2 Các số đặc trưng đo độ phân tán của BNN

- Tính chất:

• Công thức rút gọn:

• Nếu X là BNN rời rạc thì

• Nếu X là BNN liên tục thì

• V(aX + b) = V(X); V(X + Y) = V(X - Y) = V(X) + V(Y) nếu X, Y độc lập (chương 3)

- Độ lêch chuẩn của BNN X là

2.4.3 Số đặc trưng đo vị trí tương đối

- P h â n v ị m ứ c l à g i á t r ị t h o ả m ã n h o ặ c

2.4 Một số phân bố xác suất quan trọng

2.4.1 Phân bố nhị thức và phân bố Poisson

- Dãy phép thử Bernoulli là dãy gồm n phép thử thoả mãn các điều kiện:

• phép thử độc lập

• Xét sự kiện A xảy ra ở mỗi phép thử (kí hiệu là thành công)

μ = E(X ) = ∑

i

x i P(X = x i)

μ = E(X ) = ∫−∞+∞x f X (x)d x

x0.5 x0.5= inf{x : F X (x) ≥ 0.5}

x0.5= sup{x : F X (x) ≤ 0.5} x0.5 F X (x0.5) = 0.5

E(Y ) = ∑

i

g(x i )P(X = x i)

E(Y ) = ∫−∞+∞g(x)f X (x)d x

V(X ) = E{[X − E(X )]2}

V(X ) = E(X2) − [E(X )]2

V(X ) = ∑

i

x2

i P(X = x i ) − μ2

V(X ) = ∫−∞+∞x2f X (x)d x − μ2

a2

σ(X ) = V(X )

x α = sup{x : F X (x) ≤ α}

n

• Xác suất thành công (sự kiện A xảy ra) là trong mỗi phép thử Vậy xác suất không thành công là q = 1- trong mỗi lần thử

2.4.2 Phân bố đều trên [a, b]

- Biến X có phân bố đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ xác suất của X là:

- Tính chất cảu phân bố đều: Nếu thì:

• E(X) =

•

• Hàm phân bố xác suất của X là:

2.4.3 Exponential distribution

- Biến X có phân bố mũ với tham số nếu hàm mật độ xác suất của X là:

- Tính chất của phân bố mũ: Nếu thì

• E(X) =

•

• Hàm phân bố xác suất của X là:

2.4.4 Normal distribution

p p

ĐN: X là số lần thành công trong n lần thử

Bernoulli

ĐN: X là số lần thành công trong một khoảng thời gian nhất định

X nhận các giá trị: 0, 1, 2, …, n X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, …,

P(X = k) = C k

n p k (1 − p) n−k

E(X ) = V(X ) = λ

P(X = k) = e −λ λ k

k!

E(X) = np; V(X) = npq; σ(X ) = npq

f X (x) =

{

1

b − a nếu a ≤ x ≤ b

0 trái lại

X ∼ U([a, b])

a + b

2

V(X ) = (b − a)12 2

F X (x) =

0 nếu x ≤ a

x − a

b − a nếu a < x < b

1 nếu x ≥ b

λ > 0

f X (x) = { λe0 −λx nếu nếu x ≥ 0 x < 0

X ∼ ℰ(λ)

1

λ

V(X ) = 1 λ2

F X (x) = {01 − e −λx if if x ≤ 0 x > 0

- Biến X có phân bố chuẩn với tham số kỳ vọng và phương sai nếu hàm mật độ xác suất của X là:

- Nếu thì X có phân bố chuẩn tắc, ký hiệu là Z Hàm mật độ xác suất của Z

l à : v à h à m p h â n b ố x á c s u ấ t c ủ a Z l à :

- Tính chất của phân bố chuẩn: Nếu thì:

• E(X) =

• Hàm mật độ xác suất của X là:

• Hàm phân bố xác suất của X là:

•

•

•

2.4.5 Xấp xỉ phân bố nhị thức

Cho X có phân bố nhị thức B(n, p)

- Nếu n lớn và p rất nhỏ thì with

Khi đó:

•

•

=

f X (x) = 1

σ 2π e

−(x − μ)2 2σ2

μ = 0,σ = 1

f Z (z) = φ(z) = 1

2π e

−z22

F Z (z) = Φ(z) = 1

2π ∫

z

−∞e−t22 dt = 0.5 + ϕ(z) ϕ(z) = 1

2π ∫

z

0 e−t22 dt

Φ(−x) = 1 − Φ(x) ϕ(−x) = − ϕ(x)

X ∼ 𝒩(μ, σ) μ

V(X ) = σ2 σ(X ) = σ

f X (x) = 1

σ 2π e

−(x − μ)2 2σ2 = 1σ φ( x − μ σ )

F X (x) = Φ( x − μ σ ) = 0.5 + ϕ( x − μ σ )

P(X < a) = F X (a) = Φ( a − μ σ ) = 0.5 + ϕ( a − μ σ )

P(X > a) = 1 − F X (a) = 1 − Φ( a − μ σ ) = 0.5 − ϕ( a − μ σ )

P(a < X < b) = F X (b) − F X (a) = Φ( b − μ

σ ) − Φ( a − μ σ ) = ϕ( b − μ σ ) − ϕ( a − μ σ )

X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ P(λ) λ = np P(X = k) ≈ e −np (np) k

k!

X ∼ B(n, p) ≈ Y ∼ N(μ, σ2) μ = np; σ2 = npq

P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0.5) = Φ( k + 0.5 − np

npq ) = 0.5 + ϕ( k + 0.5 − np npq ) P(k1 ≤ X ≤ b) ≈ P(k1− 0.5 < Y < k2+ 0.5) = Φ(k2+ 0.5 − np

k1− 0.5 − np

npq ) ϕ( k2+ 0.5 − np

k1− 0.5 − np

npq )