Tóm tắt lý thuyết chương 1 môn xác suất thống kê và QHTN

Tóm tắt lý thuyết chương 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1 1 1 Các khái niệm cơ bản 1 1 1 Phép thử, sự kiện Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép th.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Phép thử, sự kiện

- Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử,

có thể có nhiều kết cục khác nhau

- Tập hợp các kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu, ký hiệu là S

- Mỗi kết cục có thể có của một phép thử ngẫu nhiên gọi là một sự kiện sơ cấp

- Một sự kiện là một tập hợp con của không gian mẫu, tức là tập một số kết cục của phép thử

1.1.2 Quan hệ và các phép toán của các sự kiện

- Hợp (tổng) của 2 sự kiện A và B, kí hiệu bởi A∪B (hoặc A+B) là sự kiện xảy ra khi ít nhất một trong 2 sự kiện A hoặc B xảy ra

- Giao (tích) của 2 sự kiện A và B, kí hiệu là A ∩ B (hoặc AB), là sự kiện xảy ra khi cả A

và B đồng thời xảy ra

- Hai sự kiện A và B gọi là xung khắc nếu A và B không thể đồng thời xảy ra nghĩa là A ∩

B = AB = ∅

- Đối lập của sự kiện A, kí hiệu là hoặc , là sự kiện xảy ra khi A không xảy ra

- Sự kiện A trừ sự kiện B, kí hiệu là A\B, là sự kiện xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra

- Sự kiện A kéo theo sự kiện B, kí hiệu là hoặc nếu sự kiện A xảy ra thì sự kiện B cũng xảy ra

- Hai sự kiện A và B gọi là tương đương (bằng nhau), kí hiệu là A = B, nếu và

1.1.3 Giải tích kết hợp

- Quy tắc nhân: Để hoàn thành một công việc, ta cần thực hiện liên tiếp k hành động, hành động 1 có cách thực hiện, hành động 2 có cách thực hiện, …, hành động k có cách thực hiện Khi đó có tổng số cách thực hiện công việc

- Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã

cho Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là:

!!! Chỉnh hợp chập k từ n phần tử: có thứ tự, không lặp lại

A ⊂ B

B ⊂ A

n1n2…n k

A k

n = n(n − 1) (n − k + 1) = (n − k)! n!

- Chỉnh hợp chập n từ n phần tử gọi là hoán vị của n phần tử (hoán vị của n là một nhóm

gồm n phần tử được sắp xếp theo thứ tự) Số hoán vị của n phần tử là:

- Tổ hợp chập k từ n phần tử là một nhóm (không phân biệt thứ tự) gồm k phần tử khác

nhau lấy từ n phần tử đã cho Số các tổ hợp chập k của n là:

!!! Tổ hợp chập k từ n phần tử: Không lặp lại, không thứ tự

- Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử có thể giống

nhau lấy từ n đã cho Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là

1.2 Các định nghĩa xác suất

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

- Định nghĩa cổ điển của xác suất áp dụng cho các phép thử có hữu hạn kết cục đồng khả

năng (tức là các kết cục có khả năng xảy ra như nhau)

- Xét một phép thử đồng khả năng với không gian mẫu (hoặc ) có phần tử (kết cục): xác suất xảy ra của mỗi kết cục là Khi đó xác suất hiện sự kiện A là:

, với là số kết cục thuận lợi cho A (số kết cục nằm trong A)

1.2.2 Định nghĩa hình học của xác suất

- Định nghĩa hình học của xác suất áp dụng cho các phép thử có vô hạn kết cục đồng khả

năng nằm trong một miền hình học G (đoạn thẳng, miền phẳng, khối không gian,…): tức không gian mẫu Khi đó xác suất của sự kiện là:

, (độ đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích)

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tần suất (định nghĩa thống kê)

- Để tính xác suất của sự kiện A trong một phép thử, ta có thể xấp xỉ bằng tần suất xuất hiện A như sau:

Ta thực hiện lần phép thử, gọi là số lần sự kiện A xảy ra (gọi là tần số xuất hiện A) Tần suất xuất hiện A là:

Theo luật số lớn thì:

Khi đó nếu đủ lớn thì

1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

P n = A n

n = n(n − 1) 2.1 = n!

C k

n = k!(n − k)! n!

¯A k

n = n k

1/n

độ đo của G

f n (A) = n n A

lim

n→+∞ f n (A) = P(A)

Xét một phép thử với không gian mẫu bất kỳ Gọi là tập các sự kiện trên (tức tập các tập con của ) Một hàm thoả mãn 3 tiên đề sau:

i)

ii)

iii) Nếu xung khắc thì

thì gọi là một xác suất (định nghĩa theo tiên đề)

1.2.5 Tính chất của xác suất

i)

ii)

iii) Nếu xung khắc thì

iv)

1.3 Các công thức tính xác suất

1.3.1 Công thức phần bù:

1.3.2 Công thức cộng xác suất:

•

• Nếu A và B xung khắc (i.e, ) thì

•

• Tổng quát,

1.3.3 Công thức xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của sự kiện A với điều kiện B kí

hiệu là , là xác suất cảu A khi biết B đã xảy ra và tính bằng công thức sau:

1.3.4 Công thức nhân xác suất:

•

•

• Tổng quát,

P(A) ≥ 0,∀A ∈ 𝒜

P(Ω) = 1

P

0 ≤ P(A) ≤ 1,∀A ∈ 𝒜

P(Ω) = 1; P(∅) = 0

P( ¯A) = 1 − P(A)

P( ¯A) = 1 − P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )

P(∪ n

i=1 A i) =∑n

i=1

P(A i) − ∑

i<j

P(A i A j) + ∑

i<j<k

P(A i A j A k) − … + (−1)n−1 P(A1A2…A n)

P(A|B)

P(A|B) = P(AB) P(B)

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

P(ABC ) = P(A)P(B|A)P(C |AB)

P(A1A2…A n ) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n |A1…A n−1)

P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(AB) = P(A)P(B)

• Tổng quát, độc lập từng đôi nếu

1.4 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1.4.1 Công thức xác suất toàn phần

• Cho 2 sự kiện A và B, khi đó

• Cho không gian các sự kiện với với mọi và sự kiện A, công thức xác suất toàn phần để tính xác suất của A là

1.4.2 Công thức Bayes

• Cho 2 sự kiện A và B, khi đó xác suất hậu nghiệm P(A|B) là:

• Cho không gian các sự kiện với với mọi và sự kiện A, xác suất hậu

1.5 Công thức Bernoulli

- Một dãy phép thử Bernoulli là dãy phép thử độc lập, mỗi phép thử có 2 kết quả là “thành công”

và “thất bại”, xác suất thành công ở các phép thử là bằng nhau và bằng

- Khi đó xác suất để trong dãy gồm phép thử Bernoulli có đúng k lần thành công là:

- Khi n lớn và p rất nhỏ thì ta có thể xấp xỉ Poa-xông:

- Khi n lớn và p không quá bé và quá lớn thì ta có thể xấp xỉ chuẩn:

1)

- Khi n lớn và p không quá bé và quá lớn thì ta có thể xấp xỉ chuẩn:

A1, A2, …, A n P(A i A j ) = P(A i )P(A j ), ∀i ≠ j

P(B) = P(AB) + P( ¯AB) = P(A)P(B|A) + P( ¯A)P(B| ¯A)

{A1, A2, …, A m} P[A i] > 0 i

P(A) = P(A A1) + P(A A2) + … + P(A A n)

= P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + … + P(A n )P(A|A n)

P(A|B) = P(A)P(B|A) P(B) = P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A) + P( ¯A)P(B| ¯A) {A1, A2, …, A m} P[A i] > 0 i P(A i |A)

P(A i |A) = P(A i P(A) )P(A|A i) = P(A P(A i )P(A|A i)

1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + … + P(A n )P(A|A n)

p n

P n (k) = C k

n p k (1 − p) n−k

P n (k) = C k

n p k (1 − p) n−k ≈ e −np (np) k

k!

P n (k) = C k

n p k (1 − p) n−k ≈ φ(x k)

npq x k = k − np npq φ(x) = 1 2π e−

x2

2

, với và

là hàm Láp-la-xơ (bảng 2)

P n (k1, k2) = ∑k2

k=k1

C k

n p k (1 − p) n−k ≈ ϕ(x2) − ϕ(x1) x j = k j − np

npq ϕ(x) = 1 2π ∫

x

0 e−t22 dt