(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu(Luận văn thạc sĩ) Một vài thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ THỊ KIM NGA

MỘT VÀI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN CÂN

BẰNG ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Mục lục

1.1 Kiến thức cơ bản 2

1.1.1 Không gian Hilbert 2

1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 5

1.2 Bài toán cân bằng 12

1.2.1 Phát biểu bài toán 13

1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng 17

2 Hai phương pháp giải bài toán cân bằng đơn điệu 23 2.1 Song hàm giả đơn điệu 23

2.2 Phép chiếu khoảng cách 28

2.3 Hai thuật toán chiếu 32

2.3.1 Phương pháp chiếu cơ bản 32

2.3.2 Phương pháp chiếu tổng quát cho bài toán giả đơn điệu mạnh 38

Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên,Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã manglại cho tôi nhiều kiến thức bổ ích và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vànghiên cứu.

Tôi chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên

Cuối cùng, con cảm ơn Bố Mẹ đã vất vả tạo mọi điều kiện cho con họctập và được kết quả như ngày hôm nay

Thái Nguyên, tháng 4 - 2014Người viết Luận văn

Lê Thị Kim Nga

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng, một số bài toán quyđược về bài toán cân bằng và phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng.Luận văn này gồm mục lục, phần kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Nhắc lại các khái niệm, kết quả cơ bản nhất về không gianHilbert, tập lồi, hàm lồi, sẽ được sử dụng ở chương sau Tiếp theo là giớithiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó

Chương 2: Ta tìm hiểu hai phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằngđơn điệu Trong phần này, trước hết trình bày về song hàm giả đơn điệu tiếptheo là phương pháp chiếu khoảng cách Trong phương pháp chiếu khoảngcách ta tìm hiểu về hai phương pháp chiếu: phương pháp chiếu cơ bản, phươngpháp chiếu tổng quát và thuật toán tương ứng

Trong quá trình viết luận văn cũng như xử lý văn bản chắc chắn khôngtránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy

cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Bài toán cân bằng đơn điệu

Trong chương này ta trình bày các khái niệm cơ bản về không gianHilbert

Ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi Tiếp theo, ta phát biểubài toán cân bằng và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng Kiến thứcđược trình bày trong chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2],[3]

1.1.1 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực

R Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ được ký hiệu

Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian

x(t)y(t)dt

là không gian tiền Hilbert không đủ

Ví dụ 1.3 Không gian l2 với chuẩn

< +∞, x = (ξ1, ξ2 , ξn, )

là một không gian Hilbert

Nhận xét 1.1 Không gian tiền Hilbert có tính chất sau

i) Tính chất hình bình hành

kx + yk2+ kx − yk2 = 2 kxk2+ kyk2
; ii) Bất đẳng thức Schwars

khx, yik ≤ kxk.kyk;

iii) Tích vô hướng hx, yi là một hàm số liên tục đối với biến x và y

Ánh xạ co và nguyên lý điểm bất động

Định nghĩa 1.4 Cho C là tập khác rỗng trong không gian tiền Hilbert thực

H Một hàm f : C → H gọi là ánh xạ co trên, nếu tồn tại θ < 1 sao cho nếu

f (x) là phần tử ứng với x trong ánh xạ f thì với mọi x1, x2 ∈ C ta có

ρ(f (x1), f (x2)) ≤ θρ(x1, x2),

trong đó ρ(x, y) = kx − yk được gọi là "khoảng cách giữa x và y" Một phépánh xạ f có thể có những điểm mà ảnh của nó trùng với chính nó: f (x) = x

được gọi là điểm bất động của ánh xạ

Ví dụ 1.4 Cho hàm f :R→ R với mọi x ∈ R ta có f (x) = 12x là ánh xạ co,với θ = 12

Định lý 1.1 (Định lý Banach) Mọi ánh xạ co P từ không gian Hilbert thực

H vào bản thân nó đều có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy một điểm x0 ∈ H và những điểm

Vìθ < 1 nênρ(xn, xm) → 0khin, m → ∞, tức là{xn}là một dãy Cauchy trong

H và vì H là không gian Hilbertnên{x n } phải dần tới một giới hạnx nào đó

Ta cóx n = P x n−1 mà x n → x, P x n−1 → P xvì ρ(P x n−1 , P x) ≤ θρ(x n−1 , x) → 0.

Vậy P x = x, nghĩa là x là điểm bất động Đó là điểm bất động duy nhất vìnếu y cũng là một điểm bất động thì

ρ(x, y) = ρ(P x, P y) ≤ θρ(x, y).

Với θ < 1 điều này chỉ xảy ra nếu ρ(x, y) = 0 tức là x = y

1.1.2 Kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.5 Cho dãy {xn}n≥0 và x0 nằm trong không gian Hilbert thực

H Khi đó

i) Dãy {xn} gọi là hội tụ mạnh tới x0 và ký hiệu là xn → x0 nếu

lim

n→+∞ kxn− x0k = 0;ii) Dãy {xn} gọi là hội tụ yếu tới x0 và ký hiệu là xn * x0 nếu

lim

n→+∞ hw, xni = hw, x0i, ∀w ∈ H;

iii) Điểm x 0 được gọi là điểm tụ mạnh (yếu) của dãy {x n } nếu từ dãy này

có thể lấy ra một dãy hội tụ mạnh (yếu) đến x 0

Mệnh đề 1.1 i) Nếu một dãy {xn} hội tụ mạnh đến x0 thì {xn} cũng hội tụyếu đến x0;

ii) Nếu dãy {xn} hội tụ yếu tới x0 và lim

n→+∞ kxnk = kx0k thì dãy {xn} hội

tụ đến x 0;

iii) Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) đều bị chặn và giới hạn tồn tại là duy nhất;

iv) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnh,yếu là tương đương;

v) Nếu {xn}n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta lấy

ra được một dãy con từ dãy {xn} và dãy con này hội tụ yếu;

vi) Nếu {x n } n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilberthữu hạn chiều

H thì ta lấy ra được một dãy con hội tụ mạnh

Định nghĩa 1.6 Một đường thẳng đi qua hai điểm (hai véc-tơ) a, b trongkhông gian Hilbert thực H là tập hợp tất cả véc-tơ x ∈ H có dạng

{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈R, α + β = 1}.

Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng nối hai điểm a và b trong không gian Hilbert

thực H là tập hợp các véc-tơ x có dạng

{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.

Định nghĩa 1.8 Cho tập C trong không gian Hilbert thực H, ta xét toán tử

F : C → C được gọi là toán tử đơn điệu nếu

Định nghĩa 1.9 Trong không gian Hilbert thực H một tập D ⊆ H được gọi

là một tập lồi nếu D chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức

là D lồi khi và chỉ khi

∀x, y ∈ H, λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D.

Hình 1.1: Đa diện lồi.

Định nghĩa 1.10 Tập M ⊆Rn gọi là một tập affine (hay đa tạp tuyến tính)nếu (1 − λ)a + λb ∈ M với mọi a ∈ M, b ∈ M với mọi λ ∈ R, tức là M chứatrọn cả đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó

Nhận xét 1.2 Nếu M là một tập affine và a ∈Rn thì

i) a + M = a + x : x ∈ M cũng là một tập affine

ii) M là một tập affine chứa gốc khi và chỉ khi M là một không gian con,nghĩa là nếu a, b ∈ M thì mọi điểm λa + µb cũng thuộc M với λ, µ ∈R.

Định nghĩa 1.11 Điểm x ∈ H có dạng x = λ1a1+ λ2a2+ + λkak với ai ∈Rn

và λ 1 + λ 2 + + λk = 1 gọi là một tổ hợp affine của các điểm a1, a2, , ak.Nhận xét 1.3 i) M là một tập affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợpaffine các phần tử của nó

ii)Giao của một họ bất kỳ các tập affine cũng là một tập affine

Cho E là một tập bất kỳ trong Rn, có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Một nón đượcgọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng.

Định lý 1.2 Nếu A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, C làtập lồi trong không gian Hilbert thực G thì các tập sau là tập lồi

Định nghĩa 1.17 Trong không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là tập lồi khácrỗng và ánh xạ f : C →R∪ {+∞}

i) Ta nói f là hàm lồi trên C nếu

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1);

ii) Hàm f được gọi là lồi chặt trên C nếu

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0, 1);

iii) Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trên C nếu hàm −f là hàm lồi(lồi chặt) trên C;

iv) Hàm f được gọi là lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu

Hàm f (x) được gọi là hàm mặt cầu và f là hàm lồi trên C

Ví dụ 1.8 Hàm f (x1, x2) = x21+ x22 lồi mạnh Tổng quát ta xét hàm bậc hai

Định nghĩa 1.18 Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H →R Khi

phần tử f0(x) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x;

ii) Hàm f được gọi là khả vi trên H nếu hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc

H

Định nghĩa 1.19 Cho không gian Hilbert thực H, một hàm f : H →R Khi

đó

i) Một hàm f xác định trên tập H được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm

x0 thuộc H nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (x) ≥ f (x0) − ε, với mọi

x thuộc H thoả mãn kx − x0k < δ;

ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H tại x0 ∈ H nếu hàm −f

nửa liên tục dưới trên H tại x 0 ∈ H;

iii) Hàm f được gọi là liên tục trên H tại điểm x 0 ∈ H nếu hàm f vừanửa liên tục dưới trên H tại điểm x0 ∈ H và vừa liên tục trên trên H tại điểm

x0∈ H;

iv) Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục) trên H nếu hàm f liên tục(nửa liên tục) tại mọi điểm trên H

Định nghĩa 1.20 Cho f là một hàm lồi trên tập lồi C Một véc-tơ y∗ ∈ H

được gọi là dưới đạo hàm của f tại x∗∈ C nếu

f (x) ≥ f (x∗) + hy∗, x − x∗i, ∀x ∈ C.

Tập tất cả các điểm y∗ thỏa mãn bất đẳng thức trên được ký hiệu là ∂f (x∗).

Tập ∂f (x∗) nhìn chung thường chứa nhiều điểm tức là ∂f (x∗) 6= ∅ Trongtrường hợp ∂f (x∗) chỉ chứa duy nhất một điểm ta nói rằng f khả vi tại x∗.Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x∗ nếu ∂f (x∗) 6= ∅. Theo định nghĩa,một điểmy∗ ∈ ∂f (x∗) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng

thức tuyến tính Như vậy∂f (x∗)là giao các nửa không gian đóng Vậy ∂f (x∗)

luôn là tập lồi đóng (có thể rỗng) và được ký hiệu

dom(∂f (x∗)) = {x∗: ∂f (x∗) 6= ∅}.

Ví dụ 1.10 Ví dụ về dưới vi phân của một số hàm

Hàm affine f (x) = ha, xi + α(a ∈Rn, α ∈R) có ∂f (x) = {a}, ∀x ∈Rn.

Định lý 1.3 Cho không gian Hilbert thực H Một hàm lồi chính thường f

trên H có dưới vi phân khác rỗng tại mỗi điểm x0 thuộc int(domf ) và ∂f (x0)

Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vựctrong thực tiễn Hơn thế nữa, bài toán còn là sự mở rộng của một số bài toán

như: Bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằngN ash, bài toán tối

ưu Trong phần này, ta sẽ tìm hiểu về bài toán cân bằng và một số bài toán

có thể quy về bài toán cân bằng

Ta giả sửH là không gianHilbertthực với tô pô yếu được định nghĩa bởi h., i

và chuẩn k.k

1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert thực H Đặt f : C × C →

R∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0, ∀x ∈ H Khi đó, ta xét bài toán sau được gọi

là bài toán cân bằng hay là bất đẳng thức Ky Fan

Tìm x∗∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP )

Trong đó C được gọi là tập chấp nhận hay tập chiến lược Hàm f là hàmcân bằng của Bài toán (EP ), hàm f thỏa mãn điều kiện f (x, x) = 0 được gọi

là song hàm cân bằng

Định lý 1.6 (Định lý minimax) Cho C, D là lồi đóng khác rỗng trong khônggian Hilbert thực H và f : C × D −→R. Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f (., y) tựalồi, nửa liên tục dưới trên C và với mọi x ∈ C, hàm f (x, ) tựa lõm, nửa liêntục trên D Khi đó nếu có một trong hai điều kiện sau

(A) Có một tập hữu hạn N∗ ∈ D và một số η∗ > γ sao cho tập

Mệnh đề 1.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và song hàm cân bằng f có các tính chất: f (x, ) là hàm tựa lồi, nửa liêntục dưới trên C, f (., y) là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C Giả sử

(B1) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ C sao cho tập

Giả sử điều kiện (B1) thỏa mãn, tức là có N∗ ⊂ C sao cho

Ta nhắc lại một định lý điểm bất động Kakutani và định lý điểm bất động

Brouwer để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Định lý 1.7 (Điểm bất độngKakutani) Cho C là tập lồi com-pắc trong khônggian Hilbert H và F : C −→ 2C là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và F (x)

lồi, đóng, khác rỗng với mọi x ∈ C Khi đó F có điểm bất động, tức là tồn tại

vào C Khi đó tồn tại x∗∈ C thỏa mãn x∗∈ F (x∗)

Định lý 1.9 (Định lý cực đại của Berge) Cho X, Y là các không gian tô-pô,

F : X −→ 2Y là ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (X) com-pắc Giả

sử g : X × Y −→R là hàm số nửa liên tục trên trên X Khi đó hàm giá trị tốiưu

h(x) := max{g(x, y) : y ∈ F (x)},

nửa liên tục trên và ánh xạ tập nghiệm tối ưu

S(x) := {y ∈ F (x) : g(x, y) = h(x)},

nửa liên tục trên

Dựa vào định lý điểm bất động Kakutani và định lý cực đại của Berge, ta

có định lý sau nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Mệnh đề 1.3 Cho C là một tập lồi, com-pắc khác rỗng trong không gian

Hilbert thực H và song hàm cân bằng f : C × C −→R∪ {+∞} có các tính chất

(i) f (., y) nửa liên tục trên với mọi y ∈ C,

(ii) g(x, ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C.Khi đó Bài toán (EP ) có nghiệm

Chứng minh Với mỗi x ∈ C, ta gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán

min{f (x, y) : y ∈ C}. (1.1)

Do C com-pắc và f (x, ) nửa liên tục dưới, nên theo định lý W eistrass, bàitoán này tồn tại nghiệm Hơn nữa, do C lồi, com-pắc, f (x, ) lồi, nên S(x) lồi,com-pắc Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạ g nửa liên tục trên và S làánh xạ từ C vào C Vậy theo định lý điểm bất động Kakutani, tồn tại x∗ ∈ C

thoả mãn x∗ ∈ S(x∗) Bây giờ ta chỉ ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng

(EP ) Thật vậy, do f (x, ) lồi, khả dưới vi phân, theo điều kiện cần và đủ củatối ưu quy hoạch lồi, ta có

1.2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán tối ưu

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

g : C →R là một hàm số xác định trên C Khi đó, bài toán tối ưu được phátbiểu như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho g(x∗) ≤ g(y), y ∈ C. (1.2)Nếu ta đặt f (x, y) = g(y) − g(x)với mọix, y ∈ C thì bài toán tối ưu có thể quy

về bài toán cân bằng (EP )

Thật vậy, ta giả sử x∗∈ C là nghiệm của Bài toán (1.1) nên ta có

Vậy x∗∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).

Ngược lại, nếu x∗∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) thì ta có

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

Theo cách đặt ta có

f (x∗, y) = g(y) − g(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ C

⇒ g(y) ≥ g(x∗), ∀y ∈ C.

Vậy x∗∈ C là nghiệm của Bài toán (1.1)

Bài toán điểm yên ngựa

Định nghĩa 1.21 Cho C, D là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian

Hilbert thực H và f : C × D →R Một điểm (x∗, y∗) ∈ C × D được gọi là điểmyên ngựa của hàm f trên C × D nếu

f (x∗, y) ≤ f (x∗, y∗) ≤ f (x, y∗), ∀(x, y) ∈ C × D.

Hình 1.3: Điểm yên ngựa A(x, y).

Bài toán

Cho C, D là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

f : C × D →R Bài toán điểm yên ngựa được phát biểu như sau

Vậy (x∗, y∗) là điểm yên ngựa

Ngược lại, giả sử nếu (x∗, y∗) là điểm yên ngựa của f trên C × D, ta có

f (x∗, y) ≤ f (x∗, y∗) ≤ f (x, y∗), ∀(x, y) ∈ C × D,

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

• Cho I = {1, 2, 3, , p} là tập hữu hạn p - người chơi

•ChoCi là tập lồi khác rỗng trong không gianHilbertthựcHi là tập chiếnlược của người chơi thứ i. Đặt C := C1× C2× × Cp.

• Hàm fi : C →R là hàm thiệt hại của người chơi thứ i khi vi phạm chiếnlược của những người chơi còn lại, với mọi i ∈ I.

Cho x = (x1, x2, , xp) ∈ C và y = (y1, y2, , yp) ∈ C là phương án của củangười chơi

Ta định nghĩa x[yi]j ∈ C như sau

x[yi]j =

( xj, ∀j 6= i,

y i , ∀i = j.

Khi đó, bài toán cân bằng N ash được phát biểu như sau

Tìm x∗ ∈ C sao cho f i (x∗) ≤ f i (x∗[y i ]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ C. (1.3)Điểm thỏa mãn Bài toán (1.3) gọi là điểm cân bằng N ash Về ý nghĩa kinh

tế ta thấy rằng, nếu một đối thủ i nào đó chọn phương án ra khỏi điểm cânbằng trong khi các đối thủ khác vẫn giữ phương án cân bằng thì đối thủ i sẽ

Thật vậy, giả sử x∗ là nghiệm của Bài toán (1.3) nên ta có

Vậy x∗∈ C là nghiệm của Bài toán (EP )

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) nhưng không

là nghiệm của Bài toán (1.3).

Do x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) nên

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

F : C → 2H là một ánh xạ đa trị Tức là với mỗi x ∈ C thì giá trị F (x) là mộttập khác rỗng trong H Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).

Ngược lại, giả sử x∗∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) ta có

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

Theo cách đặt ta có

f (x∗, y) = max

δ ∗ ∈F (x ∗ ) hδ∗, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C.

Vậy x∗∈ C là nghiệm của Bài toán (V I)

Bài toán điểm bất động Kakutani

Cho K : C → 2C, C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert

thực H Điểm x được goi là điểm bất động của K nếu x ∈ K(x) Giả sử vớimọi x ∈ C, K(x) lồi, com-pắc, khác rỗng khi đó bài toán tìm một điểm bấtđộng của K có thể quy về dạng bài toán cân bằng (EP ) với song hàm

f (x, y) := max

v∈K(x) hx − v, y − xi.