Bodegt1 va dap an v1 full

Tính các tích phân sau: xoay được sinh ra... Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y =0 là tiệm cận ngang bên phải, y là tiệm cận xiên bên trái... Tính các tích phân sau: xoa

Trang 1

ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1

BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1

Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Biên soạn: Tài liệu HUST

DANH SÁCH ĐỀ THI

ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 2

ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 4

Trang 2

(TaiLieuHust, 2022)

Trang 3

Câu 9 (1 điểm) Tính 2

0 cot dx x



Trang 4

x x

12lim

x

x o x x

Trang 5

Từ đó ta có được điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi x = 0

Câu 4 Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các

Trang 6

Câu 7 Điều kiện xác định P là y 0

Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z x y( , ) nên:

Trang 7

Đặt t= sinx− cosx dt= (cosx+ sin )dx x

Trang 9

= +

Câu 6 (2 điểm) Tính các tích phân sau:

xoay được sinh ra

Câu 8 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm số 3 3 2

z=x +y − x+y

Trang 11

Thay x = , ta có: 1

4

3 6 (1) 3 (1) 5 (1)[ (1)] + y + y + y y =  + + 0 3 6 3 (1) 5 (1) 0 ( do (1) 1) y + y = y = 9

(1) 8

Trang 12

+) Khi x → − :

(

11

 = là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y =0 là tiệm cận ngang bên phải, y là tiệm cận xiên bên trái

Trang 13

0

'

Trang 14

M  − x y thuộc lân cận của M 2 hàm số không đạt cực trị tại M2

Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là 1 4 4,

Trang 15

= +

Câu 6 (2 điểm) Tính các tích phân sau:

xoay được sinh ra

Câu 8 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm số 3 3 2

z=x +y + x+y

Cách giải tham khảo đề số 3

Trang 18

Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:

Trang 19

Từ bảng biến thiên, suy ra: f x( )  0, x 0

Trang 20

 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Câu 8 Tham số hoá đường tròn 2 2

Trang 21

2 2 2

0 0

2 (2 sin )dt t ( vì 2 sint 0) 2 (2 t cos )t  8 ( dvdt )

Trang 23

Câu 2 (1 điểm) Dùng vi phân tính gần đúng 37,988

Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ

x t t y t

Trang 24

− −  

 

 1

Trang 25

2 2

y x

x

y x

30

y x

00

x y y

Trang 26

Kết luận: Trên miền đã cho thì:

- Giá trị nhỏ nhất của z là 12− , đạt được tại ( , )x y =(0, 3)

- Giá trị lớn nhất của z là 12, đạt được tại ( , )x y = ( 2, 0)

Câu 7 D là miền được gạch chéo như hình bên

18

Trang 27

+) Khi t →  thì lim lim 31 0

+

 +   

Trang 28

+) Với mỗi điểm (0, y0), xét giới hạn:

+

 +   

Còn (0, )z x y không tồn tại

Trang 29

Câu 2 (1 điểm) Dùng vi phân tính gần đúng 38,012

Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ

x

t t y

Trang 30

=+

Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân

Câu 8 (1 điểm) Có một vật thể tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ Người ta

đo được đường kính của miệng ly là 6 cm và chiều cao là 8 cm Biết rằng mặt phẳng qua trục

OI cắt vật thể theo thiết diện là một parabol Tính thể tích ( )3

Trang 31

−+

 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2 khi x → −

Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y =2 (về bên phải) và y = −2 (về bên trái)

Trang 33

Câu 7 1 2

5 0

1 d

 = hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Vì I1và I2hội tụ nên I hội tụ

Câu 8 Chiều dương như hình vẽ

Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng:

Trang 34

22

Trang 37

−

 là tích phân hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh

Câu 4 Ta đi chứng minh 4 2

Trang 38

x x



+

0

x

 = và x = − là các điểm gián đoạn của hàm số 1

- Tại điểm x = − , xét giới hạn: 1

a ctan

x

x y

 = − là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số

- Tại điểm x = , xét các giới hạn: 0

~a

Trang 39

∫01 √1 − 𝑓 2 (𝑥)d𝑥 = ∫01 √1 − 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + 𝑓(𝑥)d𝑥

≤ √∫01 (1 − 𝑓(𝑥))d𝑥 ⋅ ∫01 [1 + 𝑓(𝑥)]d𝑥 = √(1 − ∫01 𝑓(𝑥)d𝑥) ⋅ (1 + ∫01 𝑓(𝑥)d𝑥) = √1 − (∫01 𝑓(𝑥)d𝑥)2

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi 𝑓(𝑥) = 1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trang 41

Câu 6 (1 điểm) Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường

hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −xlnx−ylny, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,

z xe − = Ứng dụng vi phân, tính gần đúng f(0, 02; 0, 99)

Câu 9 (1 điểm) Tính lim 1 (2 1)!

( 1)!

n n

x x

Trang 42

ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)

Câu 1.

sin1

Trang 43

Câu 5 Ta chứng minh: 2sin2 2 1

Áp dụng: 0 2sin3 2 2sin2 2 | sin | | sin |

sin sin sin sin

Trang 44

y x

F F

Trang 46

f x

= + + Tính đạo hàm cấp cao (50)

Câu 6 (1 điểm) Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường

hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −xlnx−ylny, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,

z − ye = Úng dụng vi phân, tính gần đúng f(0, 99; 0, 02)

Câu 9 (1 điểm) Tính lim 1 (2 )!

!

n n

x x

Trang 47

Lời giải chi tiết tham khảo đề số 1

Câu 1 lim cos 1

x x

Trang 48

Câu 2 (1 điểm) Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số y=xarccotx

Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 4 3

Trang 49

ln(cos sin )lim(cos sin )x lim .

→+ = →+ = đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên bên phải

Trang 50

2 0

Trang 51

b) Xét giới hạn: 2 2

1arctan 0

Trang 52

− , là VCB bậc cao hơn x x khi x →0

 Khi x→0+thì f x( ) ~ x ~ 11/ 2

x

1/ 2 0

Trang 53

Câu 2 (1 điểm) Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số y=xarctanx

Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 4 4

Trang 54

x

x x

Câu 5 Hàm số đạt cực trị tại duy nhất điểm M −( 2, 2) (cực đại), zmax = −z( 2, 2)=8

Câu 6 a) f x y( , ) liên tục tại B(0,1)

Trang 55

ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)

Câu 1 (1 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = : 1

3

, khi 1( )

1

t x t t y t

Trang 56

Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho ( ) 0,g x   x ( , )a b Bài này ta có (0) 0g = , với

0 −( 3,1)thế nên bài này không thoả mãn điều kiện định lý Cauchy → bài này không nằm trong vùng áp dụng định lý Cauchy, không mâu thuẫn

Câu 4 Vì f là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra f x( )g x( )

( ( )) ( ( ))

f f x f g x

  Lại có f g x( ( ))g g x( ( )) (vì f y( )g y( ) )

 đpcm

Trang 57

− Khi 𝑡 → ±∞ thì lim𝑡→±∞ 𝑥 = lim𝑡→±∞ 𝑡3

1−𝑡 3 = −1 ⇒ trường hợp này không có tiệm cận xiên

Trang 58

- Khi t→t0, với t  thì 0 1

0

3 0 3 0

lim

1

t t

t x t

1(1 ) 1

 = là tiệm cận xiên của đường cong đã cho

Câu 9 Giới hạn đã cho được viết lại là:

Trang 60

ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)

Câu 1 (1 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = : 1

3

, khi 1( )

− − Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? Giải thích?

Câu 4 (1 điểm) Cho hai hàm số f x g x( ), ( ) : → thoả mãn f x( ) g x( ) với mọi x Chứng minh rằng nếu g x( ) là hàm đơn điệu tăng thì f f x( ( )) g g x( ( ))

Câu 5 (1 điểm) Tính tích phân

( 2 )0

131

t x

t t y

Trang 61

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm số z=xy+ (  − −x y)(2x+ 3 );y  là tham số thực

Câu 8 (1 điểm) Tính tích phân kép ( )d d

Trang 62

Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với 𝑦 ≥ 0 ) thì sẽ thu được vật

thể đã cho Nửa trên của elip là miền giới hạn bởi:

Trang 64

Câu 9 Giả sử tồn tại hàm f x( ) thoả mãn đề bài

Vì f khả vi tới cấp 2 trên (-2,2)  f khả vi trên (-2,2), liên tục trên [-2,2]

Áp dụng định lý Lagrange cho f x( ) trên [0,1]:

Tồn tại (0,1) sao cho ( ) (1) (0) (1)

1 0

f  = − = f

− (vì f(0)=0 ) Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f x( ) liên tục trên [ 1, 0]− , khả vi trên ( 1, 0)− ta có: Tồn tại  −( 1, 0) sao cho ( ) (0) ( 1) ( 1) (1)

Trang 65

= + + +

Câu 6 (1 điểm) Cho hàm số 2 3 2 2

z=x y +x y − xy+ Tính d (1,1)z

Câu 7 (1 điểm) Tìm cực trị của hàm số z=xy+ (  − −x y)(2x+ 3 );y  là tham số thực

Câu 8 (1 điểm) Tính tích phân kép ( )d d

Tiêu đề	Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
Tác giả	Tài Liệu HUST
Trường học	Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Tài liệu ôn tập
Năm xuất bản	2018-2019
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	1,69 MB